二次根式的混合运算 (4)

16.3二 次 根 式 的 加 减 二 次 根 式 化 简 为 最 简 二 次 根 式 以 及 同类 二 次 根 式 的 判 定 。 二 次 根 式 的 加 减 、 乘 除 、 乘 方 等 运 算规 律 。 由 整 式 运 算 知 识 迁 移 到 含 二 次 根 式 的运 算 。 教 学 重 难 点 加 法 交 换 律 ： a + b = b + a乘 法 交 换 律 ： a b = b a加 法 结 合 律 ： a + b + c = (a + b )+c= a + (b +c)乘 法 结 合 律 ： (a b) c = a (b c)左 分 配 律 ： c (a + b) = (c a) + (c b)右 分 配 律 ： (a + b) c = (a c) + (b c)部 分 运 算 律 二 次 根 式 计 算 时 ， 化 简的 结 果 符 合 什 么 要 求 ？（ 1） 被 开 方 数 不 含 分 母 ； 分 母 不 含 根 号 ； （ 2） 被 开 方 数 中 不 能 含 开 得 尽 方 的 因 数 或 因 式 . 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 二 次 根 式 的 乘 法 法 则 是 怎 样 的 ？ ba ab （ a 0 ， b0）二 次 根 式 的 除 法 法 则 是 怎 样 的 ？ ba ab （ a 0 ， b 0） 几 个 二 次 根 式 化 成 最 简 二 次 根 式 以后 ， 如 果 被 开 方 数 相 同 ， 这 几 个 二 次根 式 就 叫 做 同 类 二 次 根 式 .判 断 同 类 二 次 根 式 的 关 键 是 什 么 ？(1)化 成 最 简 二 次 根 式 ，(2)被 开 方 数 相 同 ,根 指 数 相 同 (都 是 2) 把 下 列 各 根 式 化 简 25 23 34 32 332 53 24 22 311(8) 45(7) 32(6) 21)5( 50(4) 18(3) 48(2) 12)1( 例 1: 下 列 各 式 中 ,哪 些 是 同 类 二 次 根 式 ?12 45 31121 50 例 题 解 析18 3248注 意 ： 判 断 一 组 式 子 是 否 为 同 类 二 次 根 式 ， 只 需 看化 为 最 简 二 次 根 式 后 的 被 开 方 数 是 否 相 同 ， 与 最 简 二次 根 式 前 面 的 因 式 和 符 号 无 关 25 23 34 32 332 53 24 22 下 列 3组 根 式 各 有 什 么 特 征 ? 23221522232)1( ， 3132,317,36,35,3)2( 21,32,185,8,2)3( 几 个 二 次 根 式 化 成 最 简 二 次 根 式 以后 ， 如 果 被 开 方 数 相 同 ， 这 几 个 二次 根 式 就 叫 做 同 类 二 次 根 式 .判 断 同 类 二 次 根 式 的 关 键 是 什 么 ？(1)化 成 最 简 二 次 根 式 ，(2)被 开 方 数 相 同 ,根 指 数 相 同 (都 等 于 2) 例 1: 下 列 各 式 中 ,哪 些 是 同 类 二次 根 式 ?2 75 5012713 3832 ab bab 26 例 题 解 析 注 意 ： 判 断 一 组 式 子 是 否 为 同 类二 次 根 式 ， 只 需 看 化 为 最 简 二 次根 式 后 的 被 开 方 数 是 否 相 同 ， 与最 简 二 次 根 式 前 面 的 因 式 及 符 号无 关 1 75453 9 25a a例 计 算 ：（ 1） 12（ 2） 80（ ） 35327512.1 解 ： 373)52( 53544580.2 55)34( aaaa 53259.3 aa 8)53( 比 较 二 次 根 式 的 加 减与 整 式 的 加 减 ， 你 能得 出 什 么 结 论 ？二 次 根 式 的 加 减 实 质 是合 并 同 类 二 次 根 式 整 式 的 加 减 的 实 质 是 合并 同 类 项 先 化 简 ,后 合 并 ba bb baba abbbab abbb abbab 2332 271501 22 22 32432332 9333 1271 10 225 1501 2 68 3752 2366 228 353575 ， ， ， 解 ： 是 同 类 二 次 根 式是 同 类 二 次 根 式是 同 类 二 次 根 式 与 合 并 同 类 项 类 似 ,把 同 类 二 次 根 式 的 系数 相 加 减 ,做 为 结 果 的 系 数 ,根 号 及 根 号 内 部都 不 变 , 29 2432 242322 24188 总 结 二 次 根 式 加 减 运 算 的 步 骤计 算 : 如 何 合 并同 类 二 次根 式 ? （ 3） 合 并 同 类 二 次 根 式 。 一 化 二 找 三 合 并二 次 根 式 加 减 法 的 步 骤 ：（ 1） 将 每 个 二 次 根 式 化 为 最 简 二 次 根 式 ；（ 2） 找 出 其 中 的 同 类 二 次 根 式 ；交 流 归 纳 1.在 下 列 各 组 根 式 中 ， 是 同 类 二 次 根 式 的是 （ ）A . B . C. D.122, 212 ,24 ab,ab 11 a,a3.如 果 最 简 二 次 根 式 与 是 同 类 二 次 根 式 ,求 m、 n 的 值 . 2 2 nm nm B12 27162432 1252. 与 是 同 类 二 次 根 式 的 是 ( )A. B. C. D. D 计 算 2 2 33 2a a a （ 4） 2 3x x（ 1） 2 2 22 3 5x x x （ 2） 3 2 3x x y （ ） 以 上 ， 是 我 们 以 前 所 学 的 整 式 加 减 同 类 项 合 并 。 同 类 项 合 并 就 是 字 母 不 变 ， 系数 相 加 减 。 5x 24x 3 3x y 2 3a a 回 顾 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 合 作 探 究（ 1） 3x+2x （ 2） 3x-2x （ 1） 2223 2223 （ 2） 与 合 并 同 类 项 类 似 ,我 们 可 以 把 相 同 二 次 根 式 的 项 合 并 . 以 前 我 们 学 过 的 整 式 运 算 的 其 它 法 则 和 方法 也 适 用 于 二 次 根 式 的 运 算 . 9 2x x x (9 2 1)x 6x9 5 2 5 5 (9 2 1) 5 6 5 对 比二 次 根 式 的 加 减 整 式 的 加 减 在 有 理 数范 围 内 成 立 的运 算 律 ， 在 实数 范 围 内 仍 然成 立 。比 较 二 次 根 式 的 加 减与 整 式 的 加 减 ， 你 能得 出 什 么 结 论 ？ 二 次 根 式 的 加 减 实 质 是合 并 同 类 二 次 根 式 整 式 的 加 减 的 实 质 是 合并 同 类 项 8 182 2 3 2 2 3 2 （ ）5 2 9 5 2 5 5 (9 2 1) 5 6 5 9 5 20 5 归 纳 二 次 根 式 加 减 时 ， 可 以 先 将 二次 根 式 化 成 最 简 二 次 根 式 ， 再 将被 开 方 数 相 同 的 二 次 根 式 进 行 合 并 。知 识 要 点 与 合 并 同 类 项 类 似 ,把 同 类 二 次 根 式 的 系数 相 加 减 ,做 为 结 果 的 系 数 ,根 号 及 根 号 内 部都 不 变 , 29 2432 242322 24188 总 结 二 次 根 式 加 减 运 算 的 步 骤计 算 : 如 何 合 并同 类 二 次根 式 ? （ 3） 合 并 同 类 二 次 根 式 。 一 化二 找三 合 并二 次 根 式 加 减 法 的 步 骤 ：（ 1） 将 每 个 二 次 根 式 化 为 最 简 二 次 根 式 ；（ 2） 找 出 其 中 的 同 类 二 次 根 式 ；交 流 归 纳注 意 :不 是 同 类 二 次 根 式 的 二 次 根 式(如 与 )不 能 合 并2 3 2 16 3 483(2)( 12 20) ( 3 5)2 1(3) 9 6 23 4xx x x 例 计 算 ：(1)2 12 483316122.1 3123234 314解 ： 532012.2 535232 533 xxxx 1246932.3 xxx 232 x3 练 习 1： (1) 18 8(2) 75 271(3) 48 6 3(4) 2 3 .4 5 5 4C 下 列 计 算 正 确 的 是 （ ）A. 5 .8 3 2 11 23 1. 2 2BD a a a 2 38 36 例 题 计 算4 5 2 5 5 4 2 1 5 3 5（ 1） （ 1） 如 果 几 个 二 次 根 式 的 被 开 方 数 相 同 ，那 么 可 以 直 接 根 据 分 配 律 进 行 加 减 运 算 。注 意 （ 2） 如 果 所 给 的 二 次 根 式 不 是 最 简 二次 根 式 ， 应 该 先 化 简 ， 再 进 行 加 减 运 算 。注 意（ 2） 12 20 3 5 2 3 2 5 3 5 3 3 5 2 3 3 2 5 5 交 换 律 在二 次 根 式 运 算中 仍 然 成 立 。 32411821821 )( 68132221242 )( 32411821821 )( 222324 21234 )( 2 29 0 310310 339752 32737521 )( 22329 2232326 22318722 )( 2 215 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 4 6 10 2 3 2 3 2 2 4 10 7 3 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 2、 下 列 计 算 哪 些 正 确 ， 哪 些 不 正 确 ？ 3 2 5 a b a b a b a b ( )a a b a a b a 1 13 2 03 2a a a a （ 不 正 确 ）（ 不 正 确 ）（ 不 正 确 ）（ 正 确 ） （ 不 正 确 ） 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 3.下 列 二 次 根 式 中 ， 可 与 合 并 的 二 次 根 式是 （ ）18 3 12 35 94.下 列 各 式 中 ， 计 算 正 确 的 是 （ ） 134 )(777 3232 532 xx baba 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ CC 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 例 1、 先 化 简 ， 再 求 出 近 似 值 （ 精 确 到 0.01）解 ： 原 式 = 222 3 343332 33233132 3) 32312( 73.13 3113112 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 例 2、 计 算 3)2748).(3( 63383).2( 26327).1( 解 ： （ 1） 33 3633 12333 原 式 292318349)2( 原 式 134916)3( 原 式 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ (2) (2 2 3 3)(3 3 2 2) (1) (2 2)(3 2 2) 2(3) (2 3 3 2) 22423246 原 式 192783322 22 ）（）（原 式 612301861212 232332232 22 ）（）（原 式 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 2a( ) ( )( )21 2 1a a a =（ 1+ ） （ 1-a）2=-（ 1+ ） a+（ 1+ ）22解 ： 原 式 =a2-2a+1-（ a2-a+ a- ）22 2 2=（ 1+ ） （ 1- ）=1-2=-1 4. 两 个 圆 的 的 圆 心 相 同 ， 它 们 的 面 积分 别 是 12.56 cm2 和 25.12 cm2 ， 求 圆 环 的宽 度 d（ 取 3.14， 精 确 到 0.01 cm） 。所 以 圆 环 的 宽 度 为 1.414 cm。dR r 解 ： 设 大 圆 半 径 为 R， 小 圆 半 径 为 r ，则 宽 度 d = R r 。由 圆 面 积 公 式 S =R2 ，25.12 8 2 2R 12.56 4 2r 2 2 2 2 1.414d R r cm 5. 若 最 简 根 式 与 根 式 是 同 类 二 次 根 式 ， 求 a、 b 的 值 。ba ba 3 34 232 62 bbab 解 ： 2 3 22 6ab b b 化 简 2 (2 6)b a b 2 6b a b 则 2 6b a b 与 3 4 3a b a b 是 同 类 二 次 根 式 。4a 3b = 2a b 63a b = 2 b = 1a = 1 3. 已 知 求 010644 22 yxyx 2 232 19 53 x yx x y x xy x x 。解 ： 1 , 3 2x y 2 24 4 6 10 0 x y x y 2 24 4 1 6 9 0 x x y y （ ） （ ） 2 22 1 3 0 x y 2 232 19 532 56 x yx x y x xy x xx x xy x x xyx x xy 2 3 64 原 式当 时 ， 原 式 1 , 32x y 1 1 16 32 2 2 3. 有 理 化 因 式 ： （ 1） 单 独 一 项 的 有 理 化 因 式 就 是 它 本 身 。（ 2） 出 现 和 、 差 形 式 的 ： 如 的 有 理 化 因 式 为 a aa ba b 。 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 与 合 并 同 类 项 类 似 ,我 们 可 以 把 相 同 二 次 根 式 的 项 合 并 . 以 前 我 们 学 过 的 整 式 运 算 的 其 它 法 则 和 方 法也 适 用 于 二 次 根 式 的 运 算 ：运 算 顺 序 ： （ 有 括 号 有 时 也 可 以 先 算 括 号 内 ） 含 有 二 次 根 式 的 代 数 式 相 乘 ， 我 们 可 以 把 它 看 作 多项 式 相 乘 ， 运 用 多 项 式 的 乘 法 法 则 或 乘 法 公 式 .二 次 根 式 加 减 的 基 本 步 骤 ： 先 化 简 ， 再 合 并 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 1、 比 较 根 式 的 大 小 . 137146 和拓 展 提 高解 : 137146 146 （ ） 2 6+2 +14=20+2 84 84 （ ）137 220+2 910146 0137 又 新 课 标 教 学 网 （ ） -海 量 教 学 资 源 欢 迎 下 载 ！ 观 察 下 列 各 式 及 其 验 证 过 程 ：2 22 2 ,3 3 验 证 ： 2 2 (2 2) 2 2(2 2) 2 22 23 3 2 1 2 1 3 3 3 22 23 33 38 8 验 证 ： 3 3 (3 3) 3 3(3 1) 3 33 38 8 3 1 3 1 8 3 33 2 2 2 按 上 述 两 个 等 式 及 其 验 证 过 程 的 基 本 思 路 ， 猜 想 的 变 化 结 果 并 进 行 验 证 。 针 对 上 述 各 式 反 映 的 规 律 ， 写 出 n（ n为 任 意 自 然 数 ， 且 n2） 表 示 的 等 式 并 进 行 验 证 。 44 15 拓 展 提 高