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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7.4 不变子空间,1,定义：设 是 的一个子空间， 是,的一个线性变换。若 ，则称,在线性变换 之下不变。,若 在 之下不变，则 叫做 的,一个不变子空间。,例1、 本身和零空间 在任意线性变换下不变，称为平凡不变子空间。,注：要证明 ，即证：,。,2,例2、令 是 的一个线性变换。证明： 和 在 之下不变。,例3、令 是数域 上的一切一元多项式所成的向量空间，,是求导数运算。令 表示一切次数不超过 的多项式连同零多项式所成的子空间。证明： 在 之下不变。,3,现在看一看，不变子空间和简化线性变换的矩阵有什么关系。,设 是数域 上的一个 维向量空间， 是 的一个线性变换。假设,有一个非平凡的不变子空间 ，那么取 的一个基 ，再补充成为 的一个基 。,在 之下不变,4,所以，,5,关于基 的矩阵为：,6,由此可见，如果线性变换 有一个非,平凡子空间，那么适当选取 的基，可以使与 对应的矩阵中有一些元素是零。特别地，若 可以表成两个非平凡子空间 与 的 直和： ，,那么选取 的一个基 和 的,一个基 ，凑成 的一个基,。当 与 在 之下不变时， 关于这样选取的基的矩阵是,。,7,一般地，若向量空间 可表成 个不,变子空间 的直和，那么在每一个子空间中选一个基，凑成 的一个基，则 关于这个基的矩阵就有形状,。,8,因此，给了 维向量空间 的一个线性变换，只要能够将 分解成一些在,之下不变的子空间的直和，那么就可以适当地选取 的基，使得 关于这个基的矩阵有较简单的形状。显然，这些不变子空间的维数越小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，如果能够将 分解成 个在 之下不变的一维子空间的直和，那么与 对应的矩阵就有对角形式。,9,
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