线性代数经典教程ppt 1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线性代数,线性代数,2024/9/16,1,第一章 行列式（8节）,2024/9/16,2,第,1,次课,1.11.2,目的要求,:,1.,了解排列与逆序的定义，会求排列的逆序数,2.,掌握二、三阶行列式的对角线展开法,3.,了解,n,阶行列式的定义,注意：,n,阶行列式的展开式的特点,2024/9/16,3,一、,n,元排列,（前）,n,个自然数的一个有序数列称为一个,n,元排列。,所有,n,元排列共有,n!,种,1.1,排列与逆序,2024/9/16,4,二 、逆序与逆序数,1.逆序：一个排列中，任意两数大前小后排列构成一个逆序；如,132中32构成一个逆序,14325中43、42、32各构成一个逆序,2.逆序数：一个排列的逆序总数；,n,元排列逆序数记为,如：三元排列有3！=6种：,123，132；213，231；312，321。,五元排列有5！=120种：,14325，15342，等,2024/9/16,5,B.,逆序数计算方法：,由后往前，算大数：,由前往后，算小数：,3.例,A.（,123,）=0， （,132,）=1； （,213,）=1，,（231）=2； （312）=2， （321）=3。,（,14325,）=3，（,15432,）=6；,go 9,无逆序,43、42、32,各构成一个逆序,21构成一个逆序,32构成一个逆序,54、53、52、43、42、32各构成一个逆序,2024/9/16,6,4.,逆序数计算,1.,2.,3.,2024/9/16,7,三、,奇偶排列及其性质,1.奇偶排列：逆序数为奇（偶）数的,排列称奇（偶）排列。,2.对换：某两数位置互换称排列的一次对换。,例：确定奇偶排列；,go,6,2024/9/16,8,1.定理：,经过一次对换，排列的奇偶性改变。,P2,2.定理:,所有,n!,个,n,元排列中，奇偶排列各占一,半，均为 个。,P3,2024/9/16,9,例,若排列,j,1,j,2,j,n,的逆序数,(j,1,j,2,j,n,)=K,证明：,2024/9/16,10,2024/9/16,11,练习：求,i,，,j,使25,i4j1,为偶排列。,解：6元排列使,i,、,j,只能取3或6；由于,所以，,i,=6,j=3,。,奇排列,偶排列,2024/9/16,12,练习：,计算,2024/9/16,13,1.2,二阶、三阶行列式,（一）二阶行列式的引进与计算,1.消元法解线性方程组，引入行列式,）,（,1,2024/9/16,14,简记为,其中,二阶,（,系数）,行列式,2024/9/16,15,二阶行列式计算方法：（对角线法则）,取,“,-,”,号,（副,对角线,）,取,“,+,”,号,（主,对角线,）,D,D,x,D,D,x,D,2,2,1,1,1,0,=,=,）的解记为：,时，方程组（,当,2024/9/16,16,例题：解线性方程组,解：,故方程组的解为：,2024/9/16,17,（二）三阶行列式及其对角线法则,1.消元法解线性方程组,哇！好简洁啊！,注意写法规律！,）,（,2,2024/9/16,18,其中：,2024/9/16,19,2.三阶行列式的引入,三阶,（系数）,行列式,D,D,x,D,D,x,D,D,x,D,3,3,2,2,1,1,2,0,=,=,=,，,）的解为：,时，方程组（,当,2024/9/16,20,行列式引入图,2024/9/16,21,记：,三阶,（系数）,行列式,取,“,-,”,号,（副,对角线,）,取,“,+,”,号,（主,对角线,）,Go2,6,2024/9/16,22,例：解三元线性方程组,解：,1,1,1,5,1,3,1,4,2,-,-,-,=,D,2024/9/16,23,36,1,1,2,5,1,0,1,4,1,1,-,=,-,-,=,D,18,1,2,1,5,0,3,1,1,2,2,-,=,-,=,D,18,2,1,1,0,1,3,1,4,2,3,-,=,-,-,-,=,D,2024/9/16,24,，,1,18,18,2,2,=,-,-,=,=,D,D,x,，,2,18,36,1,1,=,-,-,=,=,D,D,x,1,18,18,3,3,=,-,-,=,=,D,D,x,2024/9/16,25,1.3 n,阶行列式,（,一）,n,阶行列式的定义,1.三阶行列式的特点（它表示一个数）,（1）一般项：取自不同行列的三元素之积，,共3！=6项。,（2）各项下标：某一个三元排列（6种）,（3）各项符号：设行标为自然序列，则,列标偶排为正，列标奇排为负。,注意：在各项乘积中，调整元素的位置，,总可以使行标成为自然序列！,Go2,2,2024/9/16,26,2.,n,阶行列式的特点,（1）一般项：取自不同行列的,n,个,元素之积；,（2）各项下标：使行标自然序，则列标为,n,元,排列，共有,n!,项，奇偶排列各半；,（3）各项符号：列下标奇排为负，偶排为正。,3.,n,阶行列式的定义,n,阶,行列式,行列式展开式、一个数,2024/9/16,27,例题：计算上三角行列式,解：根据定义，从每项元素取自不同行列,入手，可知其值等于主对角线元素之积。,2024/9/16,28,结论：上、下三角、对角行列式的值都等于,主,对角线元素之积！这提供了一种简便,常用的行列式计算方法。,2024/9/16,29,结论：副上下三角、副对角行列式的值都等于,副,对角线元素之积，并考虑相应的符号！,2024/9/16,30,4.,n,阶行列式的等价定义,（行列下标都可任意排列）,（1）,（2）,行标,逆序,列标逆序,行标,逆序,视情况灵活选用定义,2024/9/16,31,例题1：用定义计算行列式,解：用树图分析,-1,1,3,3,1,2,3,-1,-2,-2,-1,故,1,1,3,0,2,3,0,0,2,1,0,1,1,2,1,0,-,-,-,-,=,D,2024/9/16,32,例,2,下列各项中,为五阶行列式带正号的项,:,(A) a,13,a,44,a,32,a,41,a,55,(B) A,21,a,32,a,41,a,15,a,54,(C) a,31,a,25,a,43,a,14,a,52,(D) a,15,a,31,a,22,a,44,a,53,解,:,由定义可知,(A),、,(B),不是五阶行列式的项,(C),、,(D),是五阶行列式的项,而,(C),可写成,a,14,a,25,a,31,a,43,a,52,(,行标按自然排列,),(45132)=7,(C),为带负号的项,(D),可写成,a,15,a,22,a,31,a,44,a,53,(,行标按自然排列,),(52143)=2+1+2+1=6,选,(D),2024/9/16,33,小结：,1.排列的逆序数、奇偶排列；,2.二、三阶行列式、对角线法则；,3.,n,阶行列式定义及其计算。注意，,三阶以上行列式无对角线法则！,作业布置：,P8 T1 T2 T3,2024/9/16,34,