定积分的概念课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,第一节,一、,定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的性质,定积分的概念,第,五,章,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积,S,.,矩形面积,梯形面积,第一步：分割,任意引入分点,称为区间的一个分法 T,第二步：近似代替,对每个小曲边梯形均作上述的代替,第三步：求和,第四步：取极限,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间 内物体所经过的路程,S,.,解决步骤:,1) 分割,将它分成,在每个小段上物体经,2) 近似代替,得,已知速度,n,个小段,过的路程为,3) 求和,4) 取极限,上述两个问题的,共性,:,解决问题的方法步骤相同 :,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义,任一种,分法,任取,总趋于确定的极限,I,则称此极限值,I,为函数,在区间,上的,定积分,即,此时称,f,(,x,) 在 ,a,b, 上,可积,.,记作,积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,关于定积分定义的几点说明,定积分的几何意义：,在区间,a,，,b,上，当,f,(,x,),0时，积分,在几何上表示由曲线,y,f,(,x,)、两条直线,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成的,曲边梯形的面积；,b,a,y,=,f,(,x,),x,y,O,当,f,(,x,),0时，由曲线,y,f,(,x,)、两条直线,x,a,、,x,b,与,x,轴所围,成的曲边梯形位于,x,轴的下方，,x,y,O,y,=,-,f,(,x,),b,a,y,=,f,(,x,),定积分在几何上表示上述曲线,边梯形面积的负值：,=-,S,=-,=-,我们对面积赋以正负号：在,x,轴上方的图形面积赋以正号，在,x,轴下方的图形面积赋以负号,它是介于,x,轴、函数,f,(,x,)的图形及两条直线,x,a,、,x,b,之间的各部,分面积的代数和,a,b,O,y,x,+,-,+,y,=,f,(,x,),在一般情形下，定积分,的几何意义为：,例1.,利用定义计算定积分,解:,将 0,1,n,等分, 分点为,取,喂！请问什么样的函数可积？,下面是几个关于函数可积性的定理.,运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明.,喂!,且只有有限个,间断点,四、定积分的性质,可以推广至有限个可积函数的情形.,1,证,所以,则由,性质,7,可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,证,说明：,该性质的几何意义是：,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,例,6,解,内容小结,1.,定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,作业,P267 1 (2)(4) ,2,