21.2.1二次函数的图象和性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,21.2.1,二次函数图象和性质,知识回顾,1,、,二次函数的一般形式是怎样的？,y=a,x,+b,x,+c,(a,b,c,是常数,a 0),2.,下列,函数中,哪些是二次函数？,探究新知,你会用描点法画二次函数,y=,x,2,的图象吗,?,观察,y=,x,2,的表达式,选择适当,x,值,并计算相应的,y,值,完成下表：,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y=,x,2,9,4,1,1,0,4,9,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,-2,描点,连线,y,=,x,2,?,二次函数,y=,x,2,的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做,抛物线,这条抛物线关于,y,轴对称,y,轴就,是它的对称轴,.,对称轴与抛物,线的交点叫做,抛物线的顶点,.,议一议,(2),图象 与,x,轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么,?,(4),当,x,0,呢？,(3),当,x,取什么值时,y,的值最小,?,最小值是什么,?,你是如何知道的？,观察图象,回答问题：,x,y,O,(1),图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么,?,请你找出几对对称点？,当,x0 (,在对称轴的,右侧,),时, y,随着,x,的增大而,增大,.,当,x=-2,时，,y=4,当,x=-1,时，,y=1,当,x=2,时，,y=4,当,x=1,时，,y=1,抛物线,y=x,2,在,x,轴的,上方,(,除顶点外,),顶点,是它的最低点,开口,向上,并且向上无限,伸展,;,当,x=0,时,函数,y,的值最小,最小值是,0.,(1),二次函数,y=-,x,2,的图象是什么形状？,做一做,你能根据表格中的数据作出猜想吗,？,(2),先想一想，然后作出它的图象,(3),它与二次函数,y=,x,2,的图象有什么关系？,x,y=-,x,2,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y=-,x,2,x,-9,-4,-1,0,-1,-4,-9,在,学,中,做,在,做,中,学,做一做,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,y,=-,x,2,?,当,x0 (,在对称轴,的右侧,),时, y,随着,x,的增大而减小,.,y,当,x= -2,时,y= -4,当,x= -1,时,y= -,1,当,x=2,时,y= -4,当,x= 1,时,y= -1,抛物线,y= -x,2,在,x,轴的,下方,(,除顶点外,),顶点,是它的最高点,开口,向下,并且向下无限,伸展,;,当,x=0,时,函数,y,的值最大,最大值是,0.,画一画,在同一坐标系中画出函数,y=3x,2,和,y=-3x,2,的图象,1.,抛物线,y=ax,2,的顶点是原点,对称轴是,y,轴,.,2.,当,a0,时，抛物线,y=ax,2,在,x,轴的上方,(,除顶点外,),它的开口向上,并且向上无限伸展；,当,a0,时,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而减小；在对称轴右侧,y,随着,x,的增大而增大,.,当,x=0,时函数,y,的值最小,.,当,a0,时，在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而增大；在对称轴的右侧,y,随着,x,增大而减小,当,x=0,时,函数,y,的值最大,.,二次函数,y=ax,2,的性质,归纳,做一做,(1),抛物线,y=2x,2,的顶点坐标是,对称轴是,在对称轴,侧,y,随着,x,的增大而增大；在对称轴,侧,y,随着,x,的增大而减小,当,x=,时,函数,y,的值最小,最小,值是,抛物线,y=2x,2,在,x,轴的,方,(,除顶点外,).,(2),抛物线 在,x,轴的,方,(,除顶点外,),在对称轴的左侧,y,随着,x,的,；在对称轴的右侧,y,随着,x,的,当,x=0,时,函数,y,的值最大,最大值是,当,x,0,时,y0.,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,解,:(1),列表,9,4,1,0,1,4,9,(2),描点,(3),连线,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,y,=,x,2,画最简单的二次函数,y,=,x,2,的图象,你还记得描点法的一般步骤,?,列表时应,注意,什么问题？,描点法,列表,描点,连线,描点时应以哪些数值作为点的坐标？,连线时应注意什么问题？,二次函数,y,=,x,2,的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做,抛物线,y,=,x,2,，,二次函数,y,=,x,2,的图象是轴对称图形，,一般地，二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,（,a,0,）,的图象叫做,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,抛物线 与它的对称轴的交点,（,0,，,0,）叫做抛物线 的顶点,它是抛物线 的,最低点,实际上,二次函数的图象都是,抛物线,，,对称轴是,y,轴,这条抛物线是轴对称,图形吗？如果是，,对称轴是什么？,抛物线与对称轴,有交点吗？,例题与练习,x,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,y= x,2,例,1.,在同一直角坐标系中画出函数,y,=,x,2,和,y,=2,x,2,的图象,解,: (1),列表,(2),描点,(3),连线,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,1,2,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,1,2,x,y=2x,2,8,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,4.5,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,函数,y,=,x,2,y,=2,x,2,的图,象,与函数,y,=,x,2,(,图中虚线图形,),的图,象,相比,有什么共同点和不同点,?,1,2,观察,共同点,:,不同点,:,开口都向上,;,顶点是原点而且是抛物线,的最低点，对称轴是,y,轴,开口大小不同,;,|,a,|,越大，,在对称轴的左侧，,y,随着,x,的,增大,而,减小。,在对称轴的右侧，,y,随着,x,的,增大,而,增大,。,抛物线的开口越小,。,探究,画出函数 的图象,x,1,y,解,: (1),列表,(2),描点,(3),连线,x,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,y=,x,2,y=,x,2,y=,2x,2,1,2,-,-2.25,-,-0.25,-0.25,-,-2.25,-,-2,-2,-,-,-,-,-,.,-,.,-,.,-,.,-,.,-,.,-,.,-,.,-4. 5,-4. 5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,x,1,y,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,观察,函数,y,=,x,2,y,=,2,x,2,的图象与函数,y,=,x,2,(,图中蓝线图形,),的图象相比,有什么共同点和不同点,?,1,2,共同点,:,开口都向下,;,不同点,:,顶点是原点而且是抛物线,的最高点，对称轴是,y,轴,开口大小不同,;,|a|,越大，,在对称轴的左侧，,y,随着,x,的,增大,而,增大,。,在对称轴的右侧，,y,随着,x,的,增大,而减小,。,抛物线的开口越小,对比抛物线，,y,=,x,2,和,y,=,x,2,.,它们关于,x,轴对称吗？一般地，抛物线,y,=,ax,2,和,y,=,ax,2,呢？,在同一坐标系内,抛物线 与,抛物线 是关于,x,轴对称的,.,1,、根据左边已画好的函数图象填空,：,（,1,）抛物线,y=2x,2,的顶点坐标是,对称轴是,，在,侧，,y,随着,x,的增大而增大；在,侧，,y,随着,x,的增大而减小，当,x=,时，,函数,y,的值最小，最小值是,抛物,线,y=2x,2,在,x,轴的,方（除顶点外）。,（,2,）抛物线 在,x,轴的,方（除顶点外），在对称轴的,左侧，,y,随着,x,的,；在对称轴的右侧，,y,随着,x,的,，当,x=0,时，函数,y,的值最大，最大值是,，,当,x,0,时，,y0,a0,图,象,开口方向,顶点坐标,对称轴,增,减,性,极值,x,y,O,y,x,O,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y,轴,y,轴,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而减小。,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而,增大,。,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而减小。,抛物线的开口就越小,.,|a|,越小,抛物线的开口就越大,.,1,、二次函数,y=a,x,2,的图象是什么？,2,、,二次函数,y=a,x,2,的图象有何性质？,3,、抛物线,y=a,x,2,与,y=,-,a,x,2,有何关系？,小结,归纳,二次函数 的图象及性质：,1.,图象是一条抛物线，对称轴是,y,轴，,顶点是原点。,归纳,二次函数 的图象及性质：,2.,当,a,0,时，开口向上，顶点是最低点，,a,值越大，抛物线开口越小；,在对称轴的左侧，,y,随,x,的增大而减小，,在对称轴的右侧，,y,随,x,的增大而增大。,归纳,二次函数 的图象及性质：,3.,当,a,0,，点,(,m,+1,，,y,1,),、,(,m,+2,，,y,2,),、,y,1,、,y,2,、,y,3,的大小关是,。,(,m,+3,，,y,3,),在抛物线 上，则,6,、已知点,A(1,y,1,),、点,B(-3,y,2,),、点,C(2,y,3,),在,抛物线,y=-3x,2,上，则,y,1,、,y,2,、,y,3,的大小是,。,下课了,!,再见,只有不断的思考,才会有新的发现,;,只有量的变化,才会有质的进步,.,结束寄语,