第一次数学危机课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,3,第一次数学危机,2,历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的,挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意,味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。,数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危,机，都是,数学的基本部分,受到质疑。实际上，也恰,恰是这,三次危机，引发了数学上的三次思想解放,，,大大推动了数学科学的发展。,一、什么是数学危机,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学,上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。,人类最早认识的是,自然数,。从引进零及负数就经,历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就,行不通；,引进分数使乘法有了逆运算,除法。,接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用,有理数来表示,?,于是发现无理数就导致了,第一次数学,危机,，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的,体系化。,方程,的解导致了,虚数,的出现，虚数从一开始就被,认为是,“,不实的,”,。可是这种不实的数却能解决实数,所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。,几何学,的发展从,欧几里得几何,的一统天下发展到,各种非欧几何学。,5,二、毕达哥拉斯学派和他们的,“,万物皆数,”,1.,毕达哥拉斯,Pythagoras,(,约前,570,年,前,500,年）,毕达哥拉斯是公元前,500,多年古希腊的哲学家、,数学家、天文学家。,6,毕达哥拉斯,(,公元前,570,年公元前,500,年,),7,毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，,也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和,理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德,的思想产生很大影响。,8,相传“哲学”,（希腊原词,意为,“,智力爱好,”）,和“数学”,（希腊原,词,意为“,可学到的知识,”）,这两个词是毕达哥拉斯本人所创。,?,?,9,2.,毕达哥拉斯学派在数学上的贡献,1,）,数学证明的起始,泰勒斯,?,毕达哥拉斯,?,欧几里得,证明是要有假设的,:,公设、公理及定义。,许多人推测，欧几里得几何原本前两,卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。,10,2,）,数学抽象的提出,从实物的数与形，抽象到数学上的数与,形，本身就把数学推向了科学。,3,）,毕达哥拉斯定理,即“直角三角形两条直角边的平方和等,于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股,定理。,11,周髀算经,中的,“,勾股定理,”,（约公元前,700,年）,周髀算经,卷上记载,西周开国,时期,周公与大夫,商高,讨论勾股测量的对,话，商高答周公问时提到,“,勾广三,股修四,经隅五,”,，,这是勾股定理,的特例。,卷上另一处叙述,周公后人,荣方与陈,子（约公元前,6,、,7,世纪）的对话,中，则包含了勾股定理的一般形式,：,“,以日下为勾，日高为股，,勾股各自乘，并而开方除之，得邪,至日。,”,12,中国数学史上最先完成勾股定理证明：,公元,3,世纪三国时期的赵爽。赵爽注周髀,算经，作,“,勾股圆方图,”,，其中的弦图，,相当于运用面积的,“,出入相补,”,方法,（刘,徽）,，证明了勾股定理。如图,13,14,西方文献中称此定理为,毕达哥拉斯,定理,。,曾经有人编书，收集了勾股定理的,370,种证法。,15,3.,毕达哥拉斯学派的,“,万物皆数,”,学说,1,）,“,万物皆数,”,学说,数，是世界的法则,毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整,数，同时还包含它们的比，即正分数,。,任意两条线段,a,、,d,都是可公度的,“可公度的”，意即有公共的度量单位,t,。,n,m,a,d,t,a,mt,?,d,nt,?,16,2,）,实例,形数,三边形数、四边形数、五边形数、,六边形数；,17,(,1),1,2,2,n,n,n,?,?,?,?,?,L,2,1,3,(2,1),n,n,?,?,?,?,?,L,(3,2),1,4,(3,2),2,n,n,n,?,?,?,?,?,?,L,2,1,5,(4,3),2,n,n,n,?,?,?,?,?,?,L,?,?,三边形数,四边形数,五边形数,六边形数,3,6,10,15,M,4,9,16,25,M,5,12,22,35,M,6,15,28,45,M,?,?,18,“形数”体现了数与形的结合；,让我们从又一个侧面了解“,万物皆数,”。,毕达哥拉斯学派的“,万物皆数,”学说，,加强了数学中的理论化倾向。,19,多个场合下的小整数比,产生谐音的各个弦的长度成小整数比,绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数,比，就会发出谐音。例如，,1,2,时短弦的音高,8,度，,2,3,时短弦音高,5,度，,3,4,时短弦音高,4,度；当三根弦的长度之比为,3,4,6,时，就得,到谐音。,20,同名正多边形复盖平面的情形（即铺正,多边形地砖的情形）,只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地,放,6,个正三角形，或者,4,个正方形，或者,3,个正六边形,，如图：,21,22,毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和,谐在于数”，神是以数的规律创造世界,的。,“,万物皆数,”,学说产生了很大的影响。,23,三、,与第一次数学危机,对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是,毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的,符号，这就是,。,2,2,24,1.,的发现和危机的产生,2,C 1,1,根据毕达哥拉斯定理，边长为,1,的正方形，其对,角线长度若记为,，则,，推出,2,2,2,1,1,2,c,?,?,?,c,2,2,c,?,1,）一个不能表成整数比的数,25,下边证明，当,时，,不能表成整数比。,2,2,c,?,c,由此知,是偶数。由于偶数的平方是偶,数，奇数的平方是奇数，,是偶数。,2,n,n,如果不然，有两个正整数,和,使,（不妨设,是既约分数即,）。两端,平方得,，即,。,n,c,m,?,n,m,2,2,2,n,m,?,2,2,2,m,n,?,m,n,(,),1,m,n,?,26,因,“,既约,”,，,不能再是偶数，于是,是奇,数。这样,的左端，因,是奇数而不能,被,4,整除，右端却因,是偶数而可以被,4,整除。这,个矛盾说明开始的假设,是错误的。从而,不能表成两个整数的比。证毕。,2,2,2,m,n,?,n,c,m,?,n,m,m,m,m,n,c,注,：,这是,“,反证法,”,的,开始,。,27,2,）不可公度的线段,设正方形的边长为,，对角线长为,，如图：,a,d a,a,d,28,根据毕达哥拉斯定理，,。如果存在第三,个线段长为,，使得,和,都是,的整数倍，,如,，,，这里,，,是整数,.,2,2,2,d,a,?,a,mt,?,d,nt,?,t,a,d,t,m,n,a,d,t,a,mt,?,d,nt,?,29,由,得,，从而，又可以,类,似于上一个证明,导出矛盾。,2,2,2,d,a,?,2,2,2,2,2,n,t,m,t,?,于是，,与,就是不可公度线段。,a,d,所以，不可能存在长度为,的线段，使得,且,。,t,a,mt,?,d,nt,?,（,严重：,“,可公度,”,涉及,“,成比例,”,，进一步还涉及,“,相似,形,”,）,30,3,）,危机产生，封锁消息,希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。,一个正方形的对角线与其,一边的长度是不可公度的,希帕索斯,(Hippasus),31,4,）,无理数,像,这样的数,，和其它一些不能表成整,数比的数，称为,无理数,。,称两个整数之比为,有理数,，而把,那样的一,类数叫做,无理数,，即,没有道理的数,，原来是,翻,译,出了问题。,2,2,c,?,c,2,32,rational number,是有理数的英文名称，而,rational,是,一个多义词，含有“,比的,”，“有理的”意思。,而词根,ratio,来自希腊文，完全是“比”的意思。对,“rational number”正确的翻译应该是“,比数,”。,“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数,之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道,的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。,把由自然数产生的数,叫做,比数，,其实才符合古人,的原意。,n,m,33,在东方，最早把,rational number,翻译过来的,是日本人。可能是那个日本人英文不好，数,学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日,本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个,字照搬过来，沿用至今，形成习惯。,如果正确地把两个整数之比叫做“,比数,”，,那么像,一类的数称为“,非比数,”，还是颇,有道理的。,2,34,2. “,两个量的比相等,”,的新定义,部分地消除了危机,35,两个量的比相等，即,。,约公元前,370,年，希腊数学家,欧多克索斯,和,阿契,塔,的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第,三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量,的,任何相同的倍数,，第二个和第四个量的任何其他,的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小,于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个,量的倍数的相应关系”。,a,c,b,d,?,36,“,两个量的比相等,”,的,这一,定义，是正确的、严,格的，部分地解决了危机，,使几何的基础牢靠了，,几何从全部数学中脱颖而出。,欧几里得的几何原本中也采用了这一定,义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是,全部严密数学的基础。,但是彻底解决这一危机是在,19,世纪，依赖于数,系的扩充和实数理论的建立。,37,3.,无理数与数系的扩张,危机的解决,1,）,有理数的稠密性,定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在,数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么,小的区间（,）中都存在着这个数集中的点。,定理：有理数集在数轴上是稠密的。,a,b,38,2,）,数轴,古代观点：数轴?有理数,现代观点：数轴?实数,2,1,0,39,3,）,数系的扩张,危机的解决,自然数系,有理数系,实数系,40,实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具,有连续性。,数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。,数系的,稠密性,，通俗说成“到处都有”、“密密,麻麻”；数系的,连续性,，通俗说成“一个挨一个”,、“针插不进，水泼不进”。,连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续,性”的概念，给出严格的数学定义，就那么容易了,。,?,数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就,彻底解决了。,?,因为数的范围扩充以后，,“,万物皆数,”,的命,题就是正确的了；不能表成整数比的数，即,无理数，也是实数系中的数了。,41,42,思,：,能说,“,任何两个有理数之间都有,无理数,”,吗？为什么？,43,四、反证法与无理数,1.,反证法,1,）反证法的威力,44,例：有数学书、物理书、外语书共十本。,证明：在这三种书籍中，有一种书籍,至少有四本。,穷举法：,数学书,10,9 9 8 8 8 7 7 7 7,0,0,物理书,0,0 1 0 1 2 0 1 2 3,0,10,外语书,0,1 0 2 1 0 3 2 1 0,10,0,反证法：,45,2,）反证法的依据和步骤,依据,：逻辑里的,“,排中律,”,（命题,A,与,命题非,A,中，必有一个是正确,的）,。,步骤,：,否定原命题,推导出矛盾,原命题成立。,3,）哈代对反证法的评论,“,反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略。,棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整,个一盘棋。,”,46,47,2.,定理：设,是大于,1,的自然数，,写成不同素数方幂的乘积为,，,则,是有理数,全是偶数。,思,：证明该定理。,1,1,r,n,n,r,m,p,p,?,L,L,m,1,r,n,n,?,L,L,m,m,11,醉翁亭记,1,反复朗读并背诵课文，培养文言语感。,2,结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。,3,把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。,4,体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己,“,先天下之忧而忧，后天下之乐而乐,”,的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者,北宋大文学家、史学家欧,阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇,醉翁亭记。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新,课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修,(1007,1072),，字永叔，自号醉翁，晚年又号,“,六一居士,”,。吉州永丰,(,今属江西,),人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以,“,庐陵欧阳修,”,自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、,苏辙、曾巩合称,“,唐宋八大家,”,。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称,“,千古文章四大家,”,。,关于,“,醉翁,”,与,“,六一居士,”,：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：,“,六一何谓也？,”,居士曰：,“,吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。,”,客曰：,“,是为五一尔，奈何？,”,居士曰：,“,以吾一翁，老于,此五物之间，岂不为六一乎？,”,写作背景：宋仁宗庆历五年,(1045,年,),，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥,“,宽简而不扰,”,的作风，取得了某些政绩。醉翁亭记就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文,顺字,1,初读文章，结合工具书梳理文章字词。,2,朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例,环滁,/,皆山也。其,/,西南诸峰，林壑,/,尤美，望之,/,蔚然而深秀者，琅琊也。山行,/,六七里，渐闻,/,水声潺潺，而泻出于,/,两峰之间者，酿泉也。峰回,/,路转，有亭,/,翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者,/,谁？山之僧,/,曰,/,智仙也。名之者,/,谁？太守,/,自谓也。太守与客来饮,/,于此，饮少,/,辄醉，而,/,年又最高，故,/,自号曰,/,醉翁,也。醉翁之意,/,不在酒，在乎,/,山水之间也。山水之乐，得之心,/,而寓之酒也。节奏划分思考,“,山行,/,六七里,”,为什么不能划分为,“,山,/,行六七里,”,？,明确：,“,山行,”,意指,“,沿着山路走,”,，,“,山行,”,是个状中短语，不能将其割裂。,“,望之,/,蔚然而深秀者,”,为什么不能划分为,“,望之蔚然,/,而深秀者,”,？明确：,“,蔚然而深秀,”,是两个并列的词，不宜割裂，,“,望之,”,是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在,划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练,1,学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文,意后把握节奏划分。,2,以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用,“,直译,”,与,“,意译,”,两种方法译读文章。,3,教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，,水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水,面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是,山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见我的积累本。目标导学四：解读文段，把握文本内容,1,赏析第一段，说说本文是如何引出,“,醉翁亭,”,的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。,明确：首先以,“,环滁皆山也,”,五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将,“,镜头,”,全景移向局部，先写,“,西南诸峰，林壑尤美,”,，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山,“,蔚然而深秀,”,，,点山,“,秀,”,，照应上文的,“,美,”,。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。,“,醉翁亭,”,的名字便暗中透出，然后引出,“,醉翁亭,”,来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。,2,第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第,二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的,“,乐亦无穷,”,。第二段是第一段,“,山水之乐,”,的具体化。,3,第三段同样是写,“,乐,”,，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：,“,滁人游,”,，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；,“,太守宴,”,，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；,“,众宾欢,”,，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。,4,作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在,游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，,“,政通人和,”,才能有这样的乐。,5,第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个,“,乐,”,字贯穿全篇，却有两个句子别出深,意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：,“,醉能同其乐，醒能述以文者，太守,也。,”,此句与醉翁亭的名称、,“,醉翁之意不在酒，在乎山水之间也,”,前后呼应，并与,“,滁人游,”“,太守宴,”“,众宾欢,”“,太守醉,”,连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色,1,在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。,2,反复朗读，请同学,说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。,(1),句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如,“,野芳发而幽香，佳木秀而繁阴,”“,朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也,”,。,(2),文章多用判断句，层次极其分明，抒,情淋漓尽致，,“,也,”“,而,”,的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。,(3),文章写景优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词,“,而,”,的用法用法,文本举例表并列,1.,蔚然而深秀者；,2.,溪深而鱼肥；,3.,泉香而酒洌；,4.,起坐而喧哗者表递进,1.,而年又最高；,2.,得之心而寓之酒也表承接,1.,渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；,2.,若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；,3.,野,芳发而幽香，佳木秀而繁阴；,4.,水落而石出者；,5.,临溪而渔；,6.,太守归而宾客从也；,7.,人知从太守游而乐表修饰,1.,朝而往，暮而归；,2.,杂然而前陈者表转折,1.,而不知人之乐；,2.,而不知太守之乐其乐也虚词,“,之,”,的用法用法,文本举例表助词,“,的,”,1.,泻出于两峰之间者；,2.,醉翁之意不在酒；,3.,山水之乐；,4.,山间之朝暮也；,5.,宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性,而不知太守之乐其乐也表代词,1.,望之蔚然而深秀者；,2.,名之者谁,(,指醉翁亭,),；,3.,得之心而寓之酒也,(,指山水之乐,),【教学提示】,更多文言现象请参见我的积累本。三、板书设计路线：环滁,琅琊山,酿泉,醉翁亭风景：朝暮之景,四时之景,山水之乐,(,醉景,),风俗：滁人游,太守宴,众宾欢,太守醉,宴游之乐,(,醉人,),心情：禽鸟乐,人之乐,乐其乐,与民同乐,(,醉情,),可取之处,重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注,“,直译,”,原则，同时培养学生的,“,意译,”,能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有,助于培养学生的核心素养。,不足之处,文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。,会员免费下载,