3 第三节二维随机变量条件分布

3.3.1,二维离散型随机变量的条件分布律,3.3.2,二维连续型随机变量的条件分布律,第三节,二维随机变量条件分布,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念,.,在事件,B,发生的条件下事件,A,发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个,r.v X,Y,，,在给定,Y,取某个或某些值的条件下，求,X,的概率分布,.,这个分布就是条件分布,.,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以,X,和,Y,表示其体重和身高,.,则,X,和,Y,都是随机变量，它们都有一定的概率分布,.,体重,X,身高,Y,体重,X,的分布,身高,Y,的分布,现在若限制,1.7,Y,0,，,则称,为在,Y,=,y,j,条件下,X,的条件概率函数,.,P(,X,=,x,i,|,Y,=,y,j,)=,，,i,=1,2, ,类似定义在,X,=,x,i,条件下,Y,的条件概率函数,.,作为条件的那个,r.v,认为取值是,给定的，在此条件下求另一,r.v,的,概率分布,.,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质,.,正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质,.,例如：,i,=1,2, ,例,1,一射手进行射击，击中目标的概率为,p,，,(0,p,1),，,射击进行到击中目标两次为,止,.,以,X,表示首次击中目标所进行的射击次数,，以,Y,表示总共进行的射击次数,.,试求,X,和,Y,的联合分布及条件分布,.,解：依题意，,Y,=,n,表示在第,n,次射击时击中目标,且在前,n,-1,次射击中有一次击中目标,.,X,=,m,表示首次击中目标时射击了,m,次,n,次射击,击中,2,n,1,.,m,击中,n-1,n,=2,3, ;,m,=1,2, ,n,-1,由此得,X,和,Y,的联合概率函数为,不论,m,(,m,1|,Y,=,y,),例,2,设,(,X,Y,),的概率密度是,解,:,P,(,X,1|,Y,=,y,),为此,需求出,由于,于是对,y,0,故对,y,0,P,(,X,1|,Y,=,y,),例,3,设,(,X,Y,),服从单位圆上的均匀分布，概率,密度为,求,解：,X,的边缘密度为,当,|,x,|1,时,有,即 当,|,x,|1,时,有,X,作为已知变量,这里是,y,的,取值范围,X,已知下,Y,的,条件密度,前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,.,可以证明，对二维正态分布，已知,X=x,下，,Y,的条件分布，或者已知,Y=y,下，,X,的条件分布都仍是正态分布,.,这一讲，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布,.,请课下通过练习进一步掌握,.,