5-3-4刚体的角动量1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,设刚体绕,z,轴作定轴转动， 体元,m,i,对轴的角动量,l,zi,=,r,i,m,i,v,i,是,角速度,v,i,=,r,i,。,l,zi,=,r,i,2,m,i,或,整个刚体对转轴的角动量,L,z,等于转动惯量与角速度的乘积。,一、刚体对转轴的角动量,(Angular momentum ),r,i,v,i,O,i,z,m,i,5-3,定轴转动刚体的角动量守恒定律,2,注意：,2.,在刚体对转轴的角动量的表达式中， 所涉及的三个物理量都是相对于转轴的，所以不用写成矢量式。,3.,对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋转的刚体。整个刚体对转轴上任意一点的角动量,L,必定沿转轴并与角速度的方向相同，故可写成矢量式,1.,与质点动量表达式对比,3,二、刚体对转轴的角动量定理,将转动定理,M,z,=,J,a,写成下面的形式,:,实验表明,此式更具普遍性。,由上式得到,刚体对转轴的角动量定理,作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。,4,角动量定理也,可以写为,M,z,d,t,称为,冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的,时间的乘积。,对上式积分得到角动量定理的,积分形式,该式表示：动量的增量等于力矩对定轴转动刚体的时间累积效应,5,刚体对转轴的角动量守恒定律,当定轴转动的,刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一,转轴的角动量不随时间变化。,刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：,一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；,另一种是转动惯量改,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变,。,恒量,如果,M,z,= 0,则,三、刚体对转轴的角动量守恒定律,6,注意：,1.,该定律的应用条件，是刚体或刚体组必须满足所受外力的合力矩为零；,2.,角动量、转动惯量和角速度必须相对同一轴；,3.,若将该定律应用于刚体组，刚体组中各个刚体之间可以发生相对运动，但是它们必须是相对于同一转轴在转动,.,7,1.,转动定理,2.,力矩作的功,3.,动能定理,小 结,在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩,8,设刚体绕,z,轴作定轴转动， 体元,m,i,对轴的角动量,l,zi,=,r,i,m,i,v,i,是,角速度,v,i,=,r,i,。,l,zi,=,r,i,2,m,i,或,整个刚体对转轴的角动量,L,z,等于转动惯量与角速度的乘积。,一、刚体对转轴的角动量,(Angular momentum ),r,i,v,i,O,i,z,m,i,5-3,定轴转动刚体的角动量守恒定律,9,二、刚体对转轴的角动量定理,将转动定理,M,z,=,J,a,写成下面的形式,:,实验表明,此式更具普遍性。,由上式得到,刚体对转轴的角动量定理,作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。,10,角动量定理也,可以写为,M,z,d,t,称为,冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的,时间的乘积。,对上式积分得到角动量定理的,积分形式,该式表示：动量的增量等于力矩对定轴转动刚体的时间累积效应,11,刚体对转轴的角动量守恒定律,当定轴转动的,刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一,转轴的角动量不随时间变化。,刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：,一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；,另一种是转动惯量改,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变,。,恒量,如果,M,z,= 0,则,三、刚体对转轴的角动量守恒定律,12,刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ，,如人手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。,13,花样滑冰中常见的例子,花 样 滑 冰,收臂,大,小,I,w,张臂,J,w,大,小,先使自己转动起来,收臂,大,小,J,w,14,L,w,J,万向支架,受合外力矩为零,回转体质量呈轴对称分布；,轴摩擦及空气阻力很小。,角动量守恒,L,w,J,恒矢量,回转仪定向原理,w,J,其中转动惯量,为常量,若将回转体转轴指向任一方向,使其以角速度 高速旋转,则转轴将保持该方向不变,而不会受基座改向的影响,基 座,回转体,（转动惯量 ）,J,w,15,例,1,:,一根长为,l,、质量为,m,的均匀细直棒，一端有,一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最,初棒静止在水平位置，,求由此下摆,角时的角加速,度和角速度,。,解,:,棒下摆为加速过程，,外力矩为重力对,O,的力矩。,重力作用在棒的重心,当,棒处在下摆,角时,，,重力,矩为：,l,/2,x,O,）,P,16,棒处于,角时的角加速度为：,由角加速度的定义,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质,心所产生的力矩一样。因为,棒绕轴,O,的转动惯量,为：,l,/2,x,O,）,P,17,作如下变换,将上式两边积分,角速度为,18,例题,2,一个质量为,100kg,的圆盘状平台，以,1.05rad s,-1,的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边缘站着一个质量为,60kg,的人。问当人从平台边缘走到盘的中心时，平台的转速时多少？,解：,因为带人的平台是自由转动的，即不受外力矩的作用。若,把人和平台看成一个系统,，应满足角动量守恒定律，则,当人站在平台的边缘时，刚体组的转动惯量为：,19,当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量，即,将,J,1,和,J,2,代入角动量守恒定律,20,质点,直线,运动或刚体平动,刚 体 的,定 轴,转 动,速度,角速度,加速度,角加速度,位移,角位移,v,r,r,1,t,2,r,(,),t,r,(,),r,1,t,2,(,),t,(,),q,q,q,w,d,d,t,w,d,d,t,q,a,a,d,d,t,v,d,d,t,匀速直线运动,s,r,v,t,匀角速定轴转动,q,w,t,匀变速直线运动,匀变角速定轴转动,s,0,2,1,+,v,t,2,a,t,q,w,0,+,t,2,1,a,2,t,2,v,v,0,2,2,a,s,w,2,w,0,2,2,a,q,v,v,0,+,a,t,w,w,0,+,a,t,21,刚体的平动,刚体的转动,转动定理,转动动能,动能,牛顿定律,功,力矩的功,动能定理,转动动能定理,22,刚体的平动,刚体的转动,冲量,冲量矩,M,z,d,t,动量定理,角动量定理,动量守恒定理,角动量守恒定律,恒量,机械能守恒定律,机械能守恒定律,23,一、固体在外力作用下的一般情形,形变,固体受外力作用所发生的形状变化，分为,弹,性形变,和,塑性形变,。,应力,固体横截面单位面积,上内力的改变量。应力是固体,在单位横截面上产生的弹性力。,应变,固体在外力作用下所,发生的,相对,形变量。,固体受力作用而被拉伸的整,个过程如图所示。,B,C,E,P,P,E,B,o,o,5-4,固体的形变和弹性,24,曲线,OP,为直线，应力,与应变,成正比，点,P,的应力是满足比例关系的最大应力，称,比例极限,（,P,）。点,E,的应力,E,是发生弹性形变的最大应力，称,弹性极限,。当应力,E,时，发生塑性形变。,点,C,对应的应力为,C,，若,把外力撤除，固体的应力与,应变的关系沿,O,C,变化，留下一定的剩余形变,OO,。,当应力达到点,B,对应的应力,B,时，固体就断裂，,B,称,强度极限,。,B,C,E,P,P,E,B,o,o,25,有些固体的弹性极限与强度极限十分接近，因,而塑性形变很小，称为,脆体,；有些固体的弹性极,限与强度极限相距较远，可以产生很大的塑性形,变，称为,可塑体,。,实验发现，固体发生塑性形变后的硬度增大了，,若再要使它发生塑性形变，需要的外力比先前要,大。称为,加工硬化,。,二、固体的弹性形变,(Elastic deformation ),弹性形变有多种，最简单的是长变和剪切。,长变,固体在外力作用下沿纵向拉伸或压缩。,26,设有一均匀棒，如图所示。,拉力规定为正力，形变,L,也,是正的，固体被拉伸，如图,(a),。,压力规定为负力，形变,L,也,是负的，固体被压缩，如图,(b),。,在长变的情况下，固体的,拉,伸应变,n,为,固体受到力,F,n,发生长变，在任一横截面上出现的,应力,n,为,L,L+,L,F,n,F,n,(a),L+,L,F,n,F,n,(b),27,根据胡克定律，在比例极限内，,n,与,n,间存在,线性关系,n,=,Y,n,比例系数,Y,称为材料的,长变弹性模量,，或,杨氏模,量,，它决定于固体材料自身的性质。,剪切,当固体受到大小,相等、方向相反、相距很,近的两个平行力作用时，,在两力间的固体各横截面,将沿外力方向发生相对错,动。物体错动的角度称为,剪切角,，如图所示。,F,t,F,t,）,A,B,S,A,B,C,D,28,固体的,剪应变,t,为,当,很小时，近似有,t,=,根据胡克定律，应有,t,=,G,t,比例系数,G,称为固体材料的,剪切模量,，简称,剪模量,。,若横截面的面积为,S,，则剪应力,由于外力,与作用面是平行的，故固体横截面上,产生的应力都与该截面相切，因而称为,剪应力,，如,图所示。,）,）,t,t,F,t,F,t,S,F,t,F,t,）,A,B,S,A,B,C,D,29,思考题：,外力、内力和应力，这三个力的区别与联系,。,对于一定物体，外界物体对它的作用力就是外力,;,物体内部各部分之间的相互作用属于内力。,对于固体而言，组成固体的物质粒子之间存在强烈的相互作用，这种相互作用就是内力的来源。,当物体受外力作用而形变时，组成固体的物质粒子之间将发生相对移动，致使内力改变。这种内力的改变就是弹性回复力的来源，当外力撤出后，固体在弹性回复力的作用下，恢复形变。,30,固体横截面单位面积上内力的改变量就是应力，或者说，固体横截面单位面积上所产生的弹性回复力就是应力。,