4_2能控性定义及其判别准则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定义：,若存在一个任意的控制向量,能在有限的时间 内，把系统从初始状态,(,t,0,可为,0,),转移到终止状态 ，则称系统状态在,t,0,时刻是能控的；若系统对任意一个初始状态都能控，则称系统的状态完全能控的，或简称系统是能控的,.,第二节,能控性定义及其判别准则,线性定常能控性的定义,设线性定常系统的状态方程为：,1,由定义可知：,1),系统能控性定义中的初始状态,x,(,t,0,),是状态空间中任意的非零有限点，控制的目标是状态空间的原点,.,2),如果在时间区间,t,0,t,1,内存在控制向量,u,(,t,),，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态,x,(,t,1,),，则称状态能达。系统的能控性与能达性是等价的。,2,1),对于线性时变系统，由于,A(t,),，,B(t,),是时变矩阵，系统状态向量,的转移，与初始时刻,的选取有关。,注意：,2),在上述定义中提到的控制向量,u,(,t,),是任意的，其选择并非唯一的，关心的只是能否将系统状态从,x,(,t,0,),转移到,x,(,t,1,),，并不关心转移的运动轨迹。,3,2.,线性定常连续系统的能控性判别准则,判别线性系统能控性的问题实际是判别状态方程式解的存在问题。根据系统状态方程和任意指定的初始状态，能否求得任意的控制向量，把初始状态 在有限的时间内转移到状态空间的原点。,状态方程的解的表达式为：,（,1,）,卡尔曼（,Kalman,）,准则,：,4,设 上式化为,或：,根据哈密尔顿定理，可将 展开为：,故可得：,5,设,因此：,若对任意给定的初始状态 ，都能解出 ，则,系统具有能控性,。,要求矩阵 的秩为,n,。,（,n,为系统阶次，系统矩阵,A,的维数）,能控性矩阵,6,A,B,称为能控对。,参考例题可看到：,能控标准型的能控性矩阵是三角阵,，可证明系统是完全能控的。,卡尔曼准则,：,线性定常连续系统状态能控的充分必要条件是，其能控性矩阵 的秩为,n,，,或者说， 线性无关。,7,例,:,以三阶系统为例，证明具有能控标准型状态方程的系统必定是状态完全能控的。,解,:,三阶系统能控标准型的状态方程为,根据卡尔曼准则，此系统状态完全能控的充要条件是能控性矩阵 满秩。,8,上式是一个三角形矩阵，其对角线元素为,1,，可以证明，无论 为何值，此矩阵均为满秩，故给定系统为状态完全能控的。,9,（,2,）,吉伯特,(Gilbert),准则,：,卡尔曼能控性准则物理含义不很明显，下面介绍,Gilbert,准则。当系统的状态方程可化为对角线型或亚当标准型时，此方法比较方便。,下面给出将状态方程化为对角线型或亚当标准型的方法，同时根据能控性定义，给出吉伯特准则。,10,设矩阵,A,的各特征值互不相同，则有一个,n,n,维非奇异阵,V,将,A,化为对角线矩阵,首先考虑单变量系统（线性定常），其状态方程为：,即,11,经过变换后的状态方程为：,式中,用这种相似变换后得到的状态方程中状态变量是彼此解耦的，即每个状态变量都不受其它状态变量的影响，而只受控制作用的直接控制，显然，,系统状态能控的条件是控制矩阵每个元素均不为零,即,12,推广到多变量系统，变换后，状态方程为,:,系统状态能控的条件是 矩阵中没有全零的行,。,式中,13,以上能控性条件只适用于特征值不同的系统，一般说来，这种系统状态方程能化为对角线型。,注意：,某些具有重根特征值的矩阵也可变换为对角线阵。此时，上述条件不适用。,吉伯特准则,：,对于一个具有不同特征值的控制系统，系统矩阵,A,化为对角线矩阵以后，状态完全能控的条件是，,矩阵中的行向量不为,0,。,14,若系统矩阵,A,有重特征值，并且可以用一个非奇异矩阵,V,将其变换为亚当标准型矩阵时，有：,设系统的特征值为,这时亚当,矩阵,J,为：,15,在这种情况下，,Gilbert,提出的,系统状态完全,能控的条件,为：,V,-1,B,中与每个亚当块最后一行相对应的行向量不为,0,；,V,-1,B,中与不同特征值相对应的各行中元素不全为,0,；,解释,：,第二个条件完全和无重特征值情况一致；,第一个条件只考察与亚当块最后一行对应的那一行，其它行可以为零。,16,以上述亚当矩阵,J,为例，假设是单变量系统，来说明第一个条件的合理性。,状态方程的前三个式子（对应于三重特征值 ）为：,状态耦合,解耦,17,因此对于重根，只需,V,-1,B,阵中对应亚当块的最后一行不全为,0,，就可保证该亚当块的其它状态变量能控。,若 ，则从第三式可知， 受 直接控制，第二式中 不受 控制，但包含 ， 能控则 能控， 也是同理。,18,例,:,用,Gilbert,准则判断系统的能控性。,解,:,系统的特征方程为,系统特征值为：,19,选择范德蒙矩阵（,Vandmont,）,为变换矩阵,20,给定系统的状态方程可化为以下对角线型：,式中,从对角线形状态方程来看，控制向量 的各元素都不为,0,，故此系统是状态完全能控的。,P,64,21,作业,P,107,第一题,P,108,第二、三、六题,P,109,第八题,22,