(微积分)4微分中值定理与导数的应用

返回,上页,下页,微分中值定理,与导数的应用,第四章,第一节 微分中值定理,定理,1,(,费马,(Fermat),定理,),设,f,(,x,),在,U,(,x,0,),，内有定义，若,f,(,x,),在,x,0,可导且对任意的,x,U,(,x,0,),，有,f,(,x,),f,(,x,0,),（或,f,(,x,),f,(,x,0,),），则,f,(,x,0,),=,0.,通常称,f,(,x,)=0,的根为,函数,f,(,x,),的驻点,.,可导函数的极值点一定是驻点,定理,2,(,罗尔,(,Rolle,),中值定理,),如果函数,f,(,x,),满足：,(1),在,a,b,上连续,(2),在,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),则至少存在一点,(,a,b,),使得,f,(,)=0,在曲线上至少存在一点,C,在该点曲线具有水平切线或者说，该点的切线平行于弦,AB,.,证,因为,f,(,x,),在,a,b,上连续,f,(,x,),在,a,b,上必取得最大值,M,和最小值,m,(1),如果,M,=,m,则,f,(,x,),在,a,b,上恒等于常数,M,因此,对一切,x,(,a,b,),都有,f,(,x,)=0.,于是定理自然成立,.,(2),若,M,m,由于,f,(,a,)=,f,(,b,),因此,M,和,m,中至少有一个不等于,f,(,a,).,设,M,f,(,a,),则,f,(,x,),应在,(,a,b,),内的某一点,处达到最大值,即,f,(,)=,M,由费马定理知,f,(,)=0,例,1,验证罗尔定理对函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,+3,在区间,-1,3,上的正确性,显然函数,f,(,x,)= -2,x,+3,在,-1,3,上满足罗尔定理的三个条件,解,由,f,(,x,)=2,x,-2=2(,x,-1),可知,f,(1)=0,因此存在,=1(-1,3),使,f,(1) =0,定理,3(,拉格朗日,(Lagrange),中值定理,),若函数,y,=,f,(,x,),满足下列条件,:,(1),在闭区间,a,b,上连续；,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,则至少存在一点,(,a,b,),使得,证,作辅助函数,F,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,F,(,x,),满足罗尔定理的条件,故至少存在一点,(,a,b,),使得,F,(,)=0,即,因此得,拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,也可以写成,f,(,b,)-,f,(,a,)=,f,(,)(,b,-,a,) (,a,b,),是,(,a,b,),中的一个点,=,a,+,(,b,-,a,)(0,1),拉格朗,日中值公式还可写成,f,(,b,)-,f,(,a,)=(,b,-,a,),f,a,+ (,b,-,a,) (0,1),例,3,证,推论,1,如果,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内可导,且,f,(,x,)0,则在,(,a,b,),内,f,(,x,),恒为一个常数,证,在,(,a,b,),内任取两点,x,1,x,2,设,x,1,x,2,显然,f,(,x,),在,x,1,x,2,上满足拉格朗日中值定理的条件,因为,f,(,x,)0,所以,f,(,)=0 .,从而,f,(,x,2,)=,f,(,x,1,) .,例,5,证,推论,2,若,f,(,x,),及,g,(,x,),在,(,a,b,),内可导,且对任意,x,(,a,b,),有,f,(,x,)=,g,(,x,),则在,(,a,b,),内,f,(,x,)=,g,(,x,)+,C,(,C,为常数,).,证,因,f,(,x,)-,g,(,x,),=,f,(,x,)-,g,(,x,)=0,由推论,1,有,f,(,x,)-,g,(,x,)=,C,即,f,(,x,)=,g,(,x,)+,C,x,(,a,b,),定理,4,(,柯西,(,Canchy,),中值定理,),若函数,f,(,x,),和,g,(,x,),满足以下条件,:,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,且,g,(,x,)0,那么在,(,a,b,),内至少存在一点,使得,证,若,g,(,a,)=,g,(,b,),则由罗尔定理,至少存在一点,1,(,a,b,),使,g,(,1,)=0,这与定理的假设矛盾,.,故,g,(,a,),g,(,b,).,作辅助函数,F,(,x,),满足罗尔定理的三个条件,于是在,(,a,b,),内至少存在一点,使得,从而有,例,6,证,第二节 洛必达法则,一、 型未定式,定理,1,设,f,(,x,),g,(,x,),满足下列条件：,(1),f,(,x,)=0,g,(,x,)=0,；,(2),f,(,x,),g,(,x,),在 内可导,且,g,(,x,)0,；,(3),存在,(,或为,),则,证,由条件,(1),设,f,(,x,0,)=0,g,(,x,0,)=0.,由条件,(1),和,(2),知,f,(,x,),与,g,(,x,),在,U,(,x,0,),内连续,设,x, ,则,f,(,x,),与,g,(,x,),在,x,0,x,或,x,x,0,上满足柯西定理的条件,当,x,x,0,时,显然有,x,0,由条件,(3),得,注意,:,(1),如果 仍为 型未定式,且,f,(,x,),g,(,x,),满足定理条件，则可继续使用洛必达法则；,(2),洛必达法则仅适用于未定式求极限,运用洛必达法则时,要验证定理的条件,当 既不存在也不为,时,不能运用洛必达法则,应该注意：求极限时应将洛必达法则和无穷小代换等技巧结合使用，才能使求解过程更加简便。,例,2,解,例,3,解,上式右端的极限不存在且不为,，所以洛必达法则失效,推论,1,设,f,(,x,),与,g,(,x,),满足,(1),f,(,x,)=0,g,(,x,)=0;,(2),存在,X,0,当,x,X,时,f,(,x,),和,g,(,x,),可导,且,g,(,x,)0;,(3),存在,(,或为,),则,证,令,x,=1/,t,则,x,时,t,0,例,4,解,二、 型未定式,定理,2,设,f,(,x,),g,(,x,),满足下列条件：,(1),f,(,x,)=,g,(,x,)=,；,(2),f,(,x,),和,g,(,x,),在 内可导,且,g,(,x,)0,；,(3),存在,(,或为,),则,推论,2,设,f,(,x,),与,g,(,x,),满足,(1),f,(,x,)=,g,(,x,)=,;,(2),存在,X,0,当,x,X,时,f,(,x,),和,g,(,x,),可导,且,g,(,x,)0;,(3),存在,(,或为,),则,例,5,解,解,例,6,三、 其他未定式,若对某极限过程有,f,(,x,)0,且,g,(,x,),则称,lim,f,(,x,),g,(,x,),为,0,型未定式,若对某极限过程有,f,(,x,),且,g,(,x,),则称,lim,f,(,x,)-,g,(,x,),为,-,型未定式,若对某极限过程有,f,(,x,),且,g,(,x,),则称,lim,f,(,x,),g,(,x,),为,0,0,型未定式,若对某极限过程有,f,(,x,)1,且,g,(,x,),则称,lim,f,(,x,),g,(,x,),为,1,型未定式,若对某极限过程有,f,(,x,),且,g,(,x,)0,则称,lim,f,(,x,),g,(,x,),为,0,型未定式,例,9,解,例,10,解,例,13,解,这是 型未定式,第三节 泰勒公式,一、 泰勒公式,将一个复杂函数,f,(,x,),用一个多项式,P,n,(,x,),a,0,a,1,x,+,+,a,1,x,n,来近似表示,当,x,很小时,有,e,x,1+,x,sin,x,x,两点不足：,(1),精度不高,误差仅为,x,的高阶无穷小,o,(,x,);,(2),没有准确好用的误差估计式,设,f,(,x,),在,U,(,x,0,),内有直到,n,+1,阶导数,(1),试求一个关于,x,-,的,n,次多项式,使得在,x,0,附近,有,f,(,x,),p,n,(,x,),换言之,要求,即,f,(,x,),和,p,n,(,x,),在,x,=,x,0,处的函数值及,k,阶,(,k,n,),导数值相等,.,(2),给出误差,f,(,x,)-,p,n,(,x,),的表达式,将,x,=,x,0,代入,p,n,(,x,),的表达式,得到,对,p,n,(,x,),求导,再将,x,=,x,0,代入,得到,对,p,n,(,x,),求导,再将,x,=,x,0,代入,得到,定理,(,泰勒中值定理,),设函数,f,(,x,),在,(,a,b,),内具有直到,n,+1,阶导数,x,0,(,a,b,),则对于任意,x,(,a,b,),有,其中,(,介于与,x,之间,),证,令,G,(,x,)= (,x,=,x,0,),n,+1,函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,点的,n,阶泰勒展开式,.,在,(,a,b,),内具有直到,n,+1,阶的导数,由前面的公式知,对,R,n,(,x,),与,G,(,x,),在相应区间上使用柯西定理,n,+1,次,有,拉格朗日型余项,拉格朗日中值定理可看作是零阶,(,n,=1),拉格朗日型余项的泰勒公式,对于多项式,p,n,(,x,),近似表达函数,f,(,x,),对于某个固定的,n,当,x,在开区间,(,a,b,),内变动时有,M,(,M,为常数,),则其误差有估计式,.,而且,=0.,从而当,x,x,0,时,R,n,(,x,),是关于 的高阶无穷小,即余项又可以表示为,称这种形式的余项为,皮亚诺,(,Peano,),余项,当,x,0,=,0,时的泰勒公式,又称为,马克劳林公式,具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成,二、 函数的泰勒展开式举例,例,1,求,f,(,x,)=,e,x,的,n,阶马克劳林公式,.,解,例,2,求,f,(,x,)=,sin,x,的,n,阶马克劳林公式,.,解,第四节 函数的单调性与极值,一、 函数的单调性,定理,1,设,f,(,x,),C,(,a,b,),且在,(,a,b,),内可导,则,(1),若对任意,x,(,a,b,),有,f,(,x,),0,则,f,(,x,),在,a,b,上严格单调增加,;,(2),若对任意,x,(,a,b,),有,f,(,x,),0,则,f,(,x,),在,a,b,上严格单调减少,.,证,对任意,x,1,x,2,a,b,设,x,1,0, x(-,/2,/2),所以,y,=,sin,x,在,(-,/2,/2),上严格单调增加,.,例,1,证明,y,=,sin,x,在,(-,/2,/2),上严格单调增加,.,函数单调增减区间的分界点是导数为零的点或导数不存在的点,.,如果函数在定义域区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在,那么只要用,f,(,x,) =0,的点及,f,(,x,),不存在的点来划分函数的定义域区间,在每一区间上判别导数的符号,便可求得函数的单调增减区间,例,6,证,二、 函数的极值,定义,1,设,f,(,x,),在,x,0,的某邻域,U,(,x,0,),内有定义,.,若对任意,x, (,x,0,),有,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,),f,(,x,0,),则称,f,(,x,),在点,x,0,处取得,极大值,(,极小值,),f,(,x,0,),称为,极大值点,(,极小值点,),极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点,例,8,解,例,9,解,第五节 最优化问题,一、闭区间上连续函数的最大值和最小值,求一个函数,(,称为目标函数,),的最大值或最小值问题,.,例,1,解,二、经济学中的最优化问题举例,1.,最大利润与最小成本问题,设某种产品的总成本函数为,C,(,Q,),总收益函数为,R,(,Q,) (,Q,为产量,),则总利润,L,可表示为,L,(,Q,),R,(,Q,)-,C,(,Q,),假如,L,(,Q,),在,(0,+),内二阶可导,则要使利润最大,必须使产量,Q,满足条件,L,(,Q,)=0,即,R,(,Q,)=,C,(,Q,),表明产出的边际收益等于边际成本,还要求,L,(,Q,)=,R,(,Q,)-,C,(,Q,),0,即,R,(,Q,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上是严格下凸的,;,(2),若在,(,a,b,),内,f,“,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上是严格上凸的,.,例,2,解,定义,2,设,f,(,x,),C,(,U,(,x,0,),若曲线,y,=,f,(,x,),在点,(,x,0,f,(,x,0,),的左右两侧凸性相反,则称点,(,x,0,f,(,x,0,),为该曲线的拐点,例,5,解,若,(,x,0,f,(,x,0,),是曲线,y,=,f,(,x,),的拐点,则,f,(,x,0,)=0,或,f,(,x,0,),不存在,.,二、 曲线的渐近线,1.,水平渐近线,定义,3,设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为无限区间,如果,f,(,x,) =,A,或,f,(,x,)=,A,(,A,为常数,),则称直线,y,=,A,为曲线,y,=,f,(,x,),的水平渐近线,例,6,解,2.,垂直渐近线,定义,4,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处间断,如果,f,(,x,)=,或,f,(,x,)=,则称直线,x,=,x,0,为曲线,y,=,f,(,x,),的垂直渐近线,例,7,解,3.,斜渐近线,定义,5,设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为无限区间,且它与直线,y,=,ax,+,b,有如下关系：,f,(,x,)-(,ax,+,b,)=0,或,f,(,x,)-(,ax,+,b,)=0,则称直线,y,=,ax,+,b,为曲线,y,=,f,(,x,),的斜渐近线,例,8,解,三、 函数图形的描绘,(1),确定,y,=,f,(,x,),的定义域,;,(3),求出,f,(,x,)=0,和,f,(,x,)=0,的根及其不存在的点,并将它们作为分点划分定义域为若干个小区间,;,(2),讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等,;,(4),列表确定函数的单调区间和极值及曲线的凸向区间和拐点；,(5),确定曲线的渐近线；,(6),算出方程,f,(,x,)=0,f,(,x,)= 0,的根所对应的函数值,定出图形上的相应点,.,(7),作图,.,例,10,解,凹、单调增,凹、单调减,凸、单调增,凸、单调减,描绘,的图形,.,(1),定义域为,(-,+),且,f,(,x,),C,(-,+),(3),列表如下,:,x,0,(0,1),1,(1,+),f,(,x,),0,-,-,-,f,(,x,),-,-,0,+,f,(,x,),极大值,拐点,