希尔伯特和他的23个问题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,希尔伯特和他的23个问题,*,第二节希尔伯特和他的23个问题,1,希尔伯特和他的23个问题,一、 希尔伯特的23个问题,希尔伯特（德国，18621943年）是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远。,那是,1900年,8月在,巴黎,召开的,国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题为数学问题的著名讲演，,根据19世纪数学研究的成果和发展趋势,提出23个问题，,成为数学史上的一个重要里程碑。,2,希尔伯特和他的23个问题,3,希尔伯特和他的23个问题,在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用。,4,希尔伯特和他的23个问题,希尔伯特的23个问题,1.证明“连续统假设”，即证明“可数基数”,与“连续统基数”之间不存在任何基数。,2.研究算术公理的相容性。,3.两个等底等高的四面体的体积相等。,4.直线作为两点间最短距离的问题。,5,希尔伯特和他的23个问题,5.李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要,定义群的函数的可微性假设。,6.物理学的公理化。,7.某些数的无理性和超越性。,8.素数问题。,9.在任意数域中证明最一般的互反定律。,10.丢番图方程的可解性。,11.系数为任意代数数的二次型。,6,希尔伯特和他的23个问题,12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代,数有理域上的推广。,13.不可能用仅有两个变数的函数解一般,的七次方程。,14.证明某类完全函数系的有限性。,15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基,础。,16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。,7,希尔伯特和他的23个问题,17.正定形式的平方和表示。,18.用全等多面体构造空间。,19.正则变分问题的解一定是解析的吗？,20.一般边值问题。,21.具有指定单值群的线性微分方程解的,存在性证明。,22.通过自守函数使解析关系单值化。,23.变分法的进一步发展。,8,希尔伯特和他的23个问题,二、 适当的问题对科学发展的价值,1 有问题的学科才有生命力,问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。,正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。,提出数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽罗瓦理论；代数不变量理论。,9,希尔伯特和他的23个问题,2 提出一个“好的问题”是不容易的,这是因为在解决问题前，要想预先判断一个问题的价值是困难的，,问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。,因此，只有对该学科的知识有,广泛,而,深入,了解的学者，对该学科的发展有,清醒,的认识和,深刻,洞察力的学者，才能提出有较大价值的“好的问题” 。,10,希尔伯特和他的23个问题,3 “好的问题”的标准,尽管有困难，人们仍希望给出“好的,问题”的一般标准。希尔伯特在他的演讲,中就提出了这样的标准。我们把它归纳叙,述如下：,11,希尔伯特和他的23个问题,1）清晰易懂,即，问题本身应很容易解释清楚，让别人听懂。希尔伯特说：“一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。”,2）难而又可解决,希尔伯特说：“为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但又不应是完全不可解决，而使我们劳而无功。”,3）对学科发展有重大推动意义,问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。,12,希尔伯特和他的23个问题,“好的问题” 举例,费马大定理,五次方程根式解,最速降线问题,三体问题,13,希尔伯特和他的23个问题,三、“希尔伯特问题”解决的现状,经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，,将近一半已经解决或基本解决。,有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。,能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。,14,希尔伯特和他的23个问题,希尔伯特问题的研究与解决，,大大推动了许多数学分支的发展,，这些分支包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。,15,希尔伯特和他的23个问题,重要的“问题”，历来是推动科学前进,的杠杆。但,一位科学家，如此,自觉,、如此,集中,地提出如此,一整批,问题，并且如此,持,久,地影响了一门学科的发展，这在科学史,上是仅有的。,16,希尔伯特和他的23个问题,在20世纪末，人们也想模仿19世纪,末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问,题。但由于20世纪数学的发展，数学的分,支越来越细，已没有一个人能像当年的希,尔伯特那样涉足数学的广泛领域。于是人,们想到了组成一个数学家的小组，来做这,件事，并且已经付诸行动，但最终并没有,做成这件事。这也反衬出希尔伯特的伟,大。,17,希尔伯特和他的23个问题,当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美,的。一些评论者认为，其,局限性,是，希尔,伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这,两者在20世纪也成了数学的前沿和热点，,这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔,伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数,学。,18,希尔伯特和他的23个问题,四希尔伯特的人品,希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是他的数学成就，也包括他优秀的人品。,19,希尔伯特和他的23个问题,1第一次世界大战时拒绝在“宣言”,上签字,在第一次世界大战爆发时，德国政府,让它的一批最著名的科学家和艺术家出来,发表一个“宣言”，声明他们拥护德国皇帝,威廉二世。“宣言”的第一句是：“说德国,人发动了战争，这不是事实”。,20,希尔伯特和他的23个问题,“宣言”的题目是告文明世界，邀,请了一批知名人士签字。当局认为，知名,人士中的数学家，大半只是为他们的同行,所了解而不为外界熟知，因而数学家中,只邀请了,世,界声望最高的,希尔伯特和克莱因两人签,名。,前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用,不变量观点统一几何学的那位数学家克莱,因，未有什么怀疑就签了名。但,希尔伯特,仔细阅读后，,却,表示他不能判断“宣言”内,容的真实性，从而,拒绝签字。,21,希尔伯特和他的23个问题,在宣言上签字的，除了克莱因，还有,德国的另一些著名的科学家，如普朗克，,伦琴等。这份1914年10月15日发表的“宣,言”，使文明世界震惊：,那些素来受人尊,敬的科学家们怎么会同意在这样一份欺骗,文明世界的“宣言”上签字？,22,希尔伯特和他的23个问题,希尔伯特拒绝签字，也特别引人注,目。在国内，似乎他是一个卖国贼。当,1914年11月开学时，许多学生不再来听,希尔伯特的课。但是希尔伯特的大多数同,行理解和同情他。克莱因也很快就后悔自,己的所谓“爱国”行动。,当时世界上最著名,的巴黎科学院开除了克莱因，希尔伯特则,更加受到尊重。,23,希尔伯特和他的23个问题,2为法国数学家达布写悼念文章,“达布上和”、“达布下和”，在定积分,理论中为大家所熟知。达布是法国人，而,当时法国是与德国交战的敌国。所以1917,年达布逝世时，德国人不敢悼念他。而希,尔伯特对达布非常敬佩，他写了一篇悼念,文章。,24,希尔伯特和他的23个问题,文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示威，要他收回和销毁这篇悼念“敌人数学家”的文章。希尔伯特断然拒绝这一无理要求，并且到校长那里提出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼念达布的文章也继续刊登。,希尔伯特一生只写过四篇悼念文章,，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯（创造 语言者）、闵可夫斯基（苹果树下散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。,25,希尔伯特和他的23个问题,魏尔斯特拉斯(18151897),德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。,26,希尔伯特和他的23个问题,闵可夫斯基,（Hermann Minkowski，18641909）出生于俄国的 Alexotas (现在变成立陶宛的 Kaunas)。1873年，闵可夫斯基进入艾尔斯塔特预科学校读书。 1884年，年方25的数学家Hurwitz来到Konigsberg大学当副教授，很快地便和闵可夫斯基及Hilbert建立起友谊，共同的科学爱好把他们紧密地结合在一起。,闵可夫斯基,27,希尔伯特和他的23个问题,赫尔维茨,28,希尔伯特和他的23个问题,3对女数学家爱米诺特的支持,当时的德国，对女科学家和资历较浅的学,者是有一定歧视的。现在公认的著名女数学家,爱米诺特，1916年从埃尔朗根来到哥廷根，,就遇到这样的歧视。但希尔伯特和克莱因很重,视她，要为诺特争取一个讲师的职位，却遭到,大学评议会的反对。希尔伯特在会上说：“我,无法想象候选人的性别，竞成了反对她升任讲,师的理由。”,29,希尔伯特和他的23个问题,后来，,希尔伯特以自己的名义申请了,一门课，让爱米诺特来讲授。,诺特很快显,示出她的才能，后来也成为世界著名的数,学家，在代数方面有巨大的贡献，做了许,多奠基性的工作。,30,希尔伯特和他的23个问题,通常把诺特1921年发表的环中的理想论，看作现代抽象代数的开端。,由于对概念的准确抽象及表述，诺特的理论具有令人惊叹的普遍性。,31,希尔伯特和他的23个问题,4对康托集合论的支持,康托的集合论打出,实无限,的旗帜，遭到另一些持,潜无限,观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的反对。克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威望和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。而希尔伯特则客观、公正地评价康托的学术成就，并给予支持，这,表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。,32,希尔伯特和他的23个问题,康托,(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯德国数学家、19世纪数学伟大成就之一集合论的创立人。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。,33,希尔伯特和他的23个问题,5攻克果尔丹问题中的表现,果尔丹问题是关于二次型不变量的一个问,题。果尔丹解决了二次型的有限完备不变,量系，下一个问题是：对于给定的二次,型，是否存在一组有限的基，使所有不变,量都能够用这组基的有理整式表达。称之,为果尔丹问题。,34,希尔伯特和他的23个问题,果尔丹本人后来解决了二元、三元二,次型的这一问题，用的是“构造性证明”。,后人继续用这一思路，德、英、法、意许,多数学家，经过20年的努力，也未最终解,决果尔丹问题。而,希尔伯特另辟奚经，出,奇制胜，,统一地对任意元的给定的型，证,明了果尔丹定理。当时希尔伯特还是讲,师，,学术权威们认为，没有构造的存在性,证明不算是数学上的存在性证明,。,35,希尔伯特和他的23个问题,希尔伯特不畏权势，坚持真理。,随着,时间的推移，人们逐渐认识到，这种纯存在,性证明比构造性证明更有价值、更本质。,希尔伯特本人，后来也在这种纯存在性证明,的思路启发下，给出了一个构造性证明。,这有力地改变了人们的看法，果尔丹也从,过去说希尔伯特的方法“是神学”，转而表,示敬意。,36,希尔伯特和他的23个问题,思考题,如果只要求找出次品乒乓球，并不要,求判断次品是过重还是过轻，那么三次使,用不带砝码的天平，最多可以,从多少个,乒乓球,中,找出,唯一,的次品？,37,希尔伯特和他的23个问题,趣题,找次品,：,1）,有5个外形相同的乒乓球，其中只有,1个重量不标准的次品乒乓球。,现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球。,38,希尔伯特和他的23个问题,趣题,找次品,：,2）,有12个外形相同的乒乓球，其中只有,1个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球。,39,希尔伯特和他的23个问题,思考题,如果只要求找出次品乒乓球，并不要,求判断次品是过重还是过轻，那么三次使,用不带砝码的天平，最多可以,从多少个,乒乓球,中,找出,唯一,的次品？,40,希尔伯特和他的23个问题,趣题,填骨牌：,用个 矩形骨牌挤满 矩形盒，,有多少种方法？如下图。,（,矩形骨牌,）,（,矩形盒,）,41,希尔伯特和他的23个问题,用个 矩形骨牌挤满 矩形盒，,有多少种方法？如下图。,42,希尔伯特和他的23个问题,提示,问题一般化,问题特殊化,猜测规律,证明规律,43,希尔伯特和他的23个问题,问题一般化,n,2,44,希尔伯特和他的23个问题,示,:(1),；,(2) ， ；,(3) ， ， ；,45,希尔伯特和他的23个问题,用个 矩形骨牌挤满 矩形盒，,有多少种方法？如下图。,46,希尔伯特和他的23个问题,本节结束,谢谢,47,希尔伯特和他的23个问题,