(定稿)第一讲 早期数学

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一讲,早期算术与几何,（河谷文明与早期数学）,数与形概念的产生和发展,埃及和巴比伦的数学,中国的早期数学,数的概念的产生,数和形是数学最早的研究对象，考古研究发现，人类在,5,万年前就已经有了一些计数的方法。现代人的研究认为，人类数的概念的发展过程是，先有原始的数感（狩猎数目，食物种类等），再形成一一对应的计数方法，最后通过集合的等价关系建立,抽象,的数的概念。,记数符号的产生,中国周易,系辞中载：,“,上古结绳而治，后世圣人易之以书契,”,。结绳记数，是指在绳子上打一个结表示一个数或一件事，绳结的多少，根据事物多少而定。而所谓的,“,书契,”,，就是刻划，,“,书,”,是划痕，,“,契,”,是刻痕。古人常常在各种动物骨头、金属、泥版上刻痕记数。如中国殷商时期常将文字刻划在牛的肩胛骨或龟甲上，故称甲骨文。,数与形概念的产生,从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。人从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。,手指计数（不敷用）,-,石子计数（不易保存）,-,结绳计数（,1972,年在秘鲁出土，现保存在美国自然史博物馆藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人称之为基普）,-,文字计数约,5000,年前。,结绳计数,几种古老文明的早期计数系统,几种古老文明的早期计数系统,古埃及数学,从公元前,3500,年左右开始，直到公元前,332,年亚历山大大帝征服埃及为止。埃及人创造了连续,3000,多年的辉煌历史，建立了国家，有了相当发达的农业和手工业，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，来自现实生活的数学问题集。,古埃及数学,埃及大金字塔,纸草书,纸草书是研究古埃及数学的主要来源,莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏于伦敦大英博物馆又称阿姆士纸草书，阿姆士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经流传了两个世纪的著作含84个数学问题,莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于莫斯科博物馆产生于公元前1850年前后，含有,25,个数学问题,古埃及纸草书,莱茵德纸草书 莫斯科纸草书,古埃及算术与几何,古埃及的计算技术具有迭加的特征，乘除法运算，往往用连续加倍来完成由于方法较为繁复，古埃及算术难以发展到更高的水平,相对于算术，古埃及的几何具有更高的成就古代埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，可以说明古埃及几何学的发达,古埃及几何,埃及几何产生于土地测量，是一种实用几何埃及几何被称为尼罗河的赠礼。,对面积、体积的计算，他们给出了一些计算的法则，有准确的也有粗略的在莫斯科纸草书中有一个正四棱台体积的计算所用的公式，用现在的符号表示是,这是埃及几何中最出色的成就之一,古巴比伦的数学,古巴比伦（美索不达米亚）数学,美索不达米亚文明,两河（迪特里斯河与幼发拉底河）流域的美索不达米亚文明可以上溯到距今,6000,年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。,了解古代美索不达米亚文明的主要文献是泥版，迄今已有约,50,万块泥版出土。现存泥版文书中大约有,300,多块是数学文献。,泥版楔形文 普林顿,322,泥版书,古巴比伦的数学的特点与成就,六十进制位值制记数法。,长于计算，编制了许多数表：乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊的指数（对数）表。,能解二次方程。,掌握了三角形、梯形等平面图形面积和棱柱、平头方锥等立体图形体积的计算，并知道利用图形相似的概念。,中国的早期数学,中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千年史记中记载，夏禹治水，,“,左规矩，右准绳,”,这可以看作是中国古代几何学的起源在殷商甲骨文中已经使用了完整的十进制记数法，春秋战国时代又出现了十进位值制筹算记数法而战国时代的考工记、墨经、庄子等著作中则探讨了许多抽象的数学概念，并记载了大量实用几何知识,殷墟甲骨上数学,(,商代,公元前,1400-,前,1100,年, 1983-84,年间河南安阳出土,),殷墟甲骨上数学,周易中的数学,周易是中国古代专讲卜筮（,shi,）的书，也可以看作是古人探索自然的朴素的哲学著作，约成书于殷商时期。周易由易经和易传两部分组成，先有易经，后有易传，两部分成书的时间相距七八百年。易经包括古代占卜的卦辞及爻,(,yo,),辞，易传由系辞、说卦等十篇文章组成，是对易经中卦辞及爻辞的解释。,卜筮是原始人类共有的社会现象。中国古代常用龟甲和兽骨作为占卜工具，以决定事情的吉凶。筮，是按一定的规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶。周礼称：,“,凡国之大事，先筮后卜。,”,史记,龟策列传则说：,“,王者决定诸疑，参与卜筮，断以蓍,(,sh,),龟，不易之道也。,”,筮的工具起初是竹棍（以后出现的筹算数码则形成了中国古代用竹棍表示数字的传统），后来改用蓍草,-,一种有锯齿的草本植物。,周易中的数学,在中国古代众多的儒、道典籍中，周易是包含数学内容最丰富的著作，因而对中国古代数学家产生了极大的影响。比如，刘徽在九章算术注的序中就写道：,“,昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之数，以合六爻之变。,”,实际上就把数学方法与周易中的六爻（,y,o,）、八卦等内容联系起来了。,周易中的数学,八卦,乾,巽,离,- -,艮,- -,- -,- -,- - - - - - - -,坤,- -,震,- -,坎,兑,- -,- -,计算机的发明与周易中的八卦有着十分密切的联系。众所周知，现代电子计算机最基本的数学基础是二进制数。二进制符号是德国数学家莱布尼茨（,Leibniz,，,1646,1716,）,发明的。莱布尼茨于,1679,年撰写了二进制算术，阐述了二进制理论。莱布尼茨自称，他之所以会想到二进制数，就是因为受到了八卦符号的启发。他还说：,“,可以让我加入中国籍了吧,”,。,周易中的数学,太极图,周易中的另一重要概念是太极。周易中写道：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”,太极即太一，这段话讲的是,八卦产生的原理，也试图解,释,天地造分，化成万物的原,理。后经宋代陈抟的发展，,便有了太极图。,周易,太极,周易,太极,周易中另一个与数学相关的内容是,“,河图洛书,”,。周易中有,“,河出图，洛出书，圣人则之,”,的记载。以后，孔安国等人又把河图洛书与八卦及九数联系起来。孔安国认为：,“,河图者，伏羲氏王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦。洛书者，禹治水时，神龟负文，而列于背，有数至九，禹遂因而第之，以成九类。,”,也就是说，在古人看来，八卦与九数实出于河图洛书。,河图洛书,宋代陈抟所作的,“,洛书图,”,（,九宫图）,洛书 纵横图,4,9,2,3,5,7,8,1,6,公元前,500,年左右的战国时代，中国人创造了具有十进位值制特征的筹算数码。,筹算数字的摆放方法规定，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，万位又用纵式，如此纵横相间，以免发生误会。并规定用空位表示零。,到了,13,世纪，中国数学家又明确地用,“,”,表示零，从而使中国记数法完全位值化。,筹算,算筹,(1971,年陕西千阳县西汉墓出土,),算筹,筹算记数法,筹算记数法,乘法口诀表,(2002,年湖南龙山里耶出土,),拉普拉斯对十进位值制的评价,这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大。,