24.1.4 圆周角(3)

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.4,圆周角（三）,圆心角、圆周角与弧的度数,复 习,1,、,圆周角：,顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做,圆周角,.,2,、,圆周角定理：,在,同圆,或,等圆,中,同弧或等弧所对的,圆周角,相等，都等于这条弧所对的,圆心角的一半,.,3,、,圆周角定理的推论：,在,同圆,或,等圆,中,如果两个,圆周角,相等，它们所对的弧一定相等,.,半圆（或直径）,所对的圆周角,是直角，,90,度,的圆周角所对的弦,是直径,.,4,、,圆内接多边形：,如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做,圆内接多边形,.,这个圆叫做这个,多边形的外接圆,.,5,、,定理：,圆内接四边形的对角互补,.,6,、,定理：,如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形,.,重 要 结 论,1,、,圆心角：,圆心角等于它所对弧的度数,.,2,、,圆周角：,圆周角等于它所对弧所对弧的度数的,一半,.,3,、,圆内角：,圆内角等于它及它的对顶角所对弧的度数,和,的,一半,.,分析：连接,BC,APC=B+C,4,、,圆外角：,圆外角等于它所夹两条弧的度数,差,的,一半,.,分析：连接,BC,APC=BCD,B,重 要 结 论,1,、,圆心角：,圆心角等于它所对弧的度数,.,2,、,圆周角：,圆周角等于它所对弧所对弧的度数的,一半,.,3,、,圆内角：,圆内角等于它及它的对顶角所对弧的度数,和,的,一半,.,4,、,圆外角：,圆外角等于它所夹两条弧的度数,差,的,一半,.,1,如图，,C,经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点,A,与点,B,，点,A,的坐标为（,0,，,4,），,M,是圆上一点，,BMO=120,（,1,）求证：,AB,为,C,直径,（,2,）求,C,的半径及圆心,C,的坐标,E,F,（,1,）,证明：,AOB=90,AB,为,C,直径,（,2,）解：过,C,作,CFBO,于,C,过,C,作,CEAO,于,E.,ABMO,是,C,的内接四边形, ,BMO+BAO=180,又,BMO=120, BAO=60, ABO = 90,0,BAO=30,在,RtABO,中,ABO=30,AB=2AO=24=8,C,半径为,4.,由勾股定理得,2.BC,为,O,的直径,ADBC,于点,D,P,是弧,AC,上的一动点,连结,PB,分别交,AD,、,AC,于点,E,，,F,。,（,1,）当,=,时，求证：,AE=BE,；,（,2,）当点,P,在什么位置时，,AF=EF,？证明你的结论。,（,1,）,证明：,连接,AB,BC,为,O,的直径,BAD+DAC=90,0, ADBC ADC=90,0, C+DAC=90,0,BAD = C, =,ABP = C,ABP =BAD,AE=BE,（,2,）当,=,时,AF=EF.,证明：,=,PBC = C,ADBC,ADB = ADC=90,0,PBC +BED,=C+ DAC=90,0,又,PBC = C,BED=DAC,又,BED = AEF,AEF=DAC,AF=EF,3,如图，,AOB=90,，,C,、,D,是弧,AB,三等分点，,AB,分别交,OC,、,OD,于点,E,、,F,，求证：,AE=BF=CD,证明：连接,AC,、,BD,C,、,D,是弧,AB,三等分点,练习,课本,88,页,5,、,13,、,14,、,15,习题评讲,第,88,页第,6,题,求证：圆内接平行四边形是矩形,.,已知：,ABCD,是,O,内接四边形,求证：,ABCD,是矩形,证明,: ABCD,是,O,内接四边形,A+C=180,0,又,ABCD,中,A=C,A=C =90,0,ABCD,是矩形,课本,122,第,9,题,答：,M,、,N,、,G,、,H,在以,O,为圆心的同一圆上,.,证明：连接,OM,、,ON,、,OG,、,OH,菱形,ABCD,ACBD,AOB,中,AOB=90,0,又,M,是,AB,的中点,OM= AB,课本,122,第,9,题（类似）,9,、求证：菱形四条边的中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上,.,已知：,M,、,N,、,G,、,H,分别是菱形,ABCD,四条边的中点,AC,、,BD,相交于点,O.,求证,:M,、,N,、,G,、,H,在以,O,为圆心的同一圆上,.,证明：连接,OM,、,ON,、,OG,、,OH,菱形,ABCD,ACBD,AOB,中,AOB=90,0,又,M,是,AB,的中点,OM= AB,11,、如图，,P,为,O,外一点，且,AB=CD,求证：,APO=CPO,AP=PC,证明： 过,O,作,OEAB,于,E,OFCD,于,F.,连接,OA,OC., OEAB,，,OE,过圆心,AE= AB,同理,CF= CD,又,AB=CD,AE=CF,在,RtAEO,和,RtCFO,中,AE=CF,，,AO=CO,RtAEORtCFO(HL,), OE=OF,又,OEAB,，,OFCD, APO=CPO,在,RtPEO,和,RtPFO,中,OE=OF,，,PO=,PO,RtPEORtPFO(HL,),E,F,PE=PF,又,AE=CF, PE,AE=PF,CF,即,PA=PC,名师学案,52,页,14,、如图，,CD,为,O,直径，以,D,为圆心，,DO,为半径作弧，交,O,于,A,、,B,两点，连接,OA,、,OB,探究,O,中弧,AC,、,AB,、,BC,所对圆心角的大小关系,.,解：连接,AD,、,BD,在,O,中,AO=DO,，,在,D,中,AD=DO, AO=DO=AD,AOD,是等边三角形,AOD=60,0, AOC=180,0,AOD=120,0,同理,BOD=60,0, BOC=120,0,AOB=AOD+BOD,=60,0,+60,0,= 120,0, AOC= BOC =AOB,名师学案,52,页,名师学案,54,页,8.BC,为,O,的直径,ADBC,于点,D,P,是弧,AC,上的一动点,连结,PB,分别交,AD,、,AC,于点,E,，,F,。,（,1,）当,=,时，求证：,AE=BE,；,（,2,）当点,P,在什么位置时，,AF=EF,？证明你的结论。,（,1,）,证明：,连接,AB,BC,为,O,的直径,BAD+DAC=90,0, ADBC C+DAC=90,0,BAD = C, =,ABP = C,ABP =BAD,AE=BE,（,2,）当,=,时,AE=EF.,证明：,=,PBC = C,ADBC,PBC = C=90,0,PBC +BED,=C+ DAC=90,0,又,PBC = C,BED=DAC,又,BED = AEF,AEF=DAC,AF=EF,课堂小结,1,、,圆心角,：圆心角等于它所对弧的度数,.,2,、,圆周角,：圆周角等于它所对弧所对弧的度数的一半,.,3,、,圆内角,：圆内角等于它及它的对顶角所对弧的度数和的一半,.,4,、,圆外角,：圆外角等于它所夹两条弧的度数差的一半,.,作业,课本,89,页,13,、,14,课本,122,页,11,