决策理论与方法之多属性决策

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,决策理论与方法,第九章 多属性决策,1,第九章 多属性决策,第二节 确定权的常用方法,第三节 加权和法,第五节 TOPSIS法,2,第二节 确定权的常用方法,一、权的概念,二、常用的确定各属性权的方法,（一）最小二乘法,（二）本征向量法,三、最底层目标权重的计算,3,简单回顾,目标间不可公度：各目标没有统一的衡量标准或计量单位，因而难以进行比较。,目标间的矛盾性：如果采用一种方案去改进某一目标的值，很可能会使另一目标的值变坏。,4,为什么要引入权？,多目标决策问题的特点也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性值不可公度，求解多属性决策问题同样需要解决这两个难点。,其中不可公度性可通过,属性矩阵的规范化,得到部分解决, 但这些规范化方法无法反映目标的重要性。,因此，引入权的概念，以衡量目标的重要性。,属性矩阵的规范化：,就是对决策数据进行预处理。主要有6种方法，即线性变换、标准0-1变换、最优值为给定区间时的变换、向量规范法、原始数据的统计处理、专家打分数据的预处理。,5,为什么要引入权？,6,一、权的概念,权是目标重要性的度量, 即衡量目标重要性的手段。 权这一概念包含并反映下列几重因素：,决策人对目标的重视程度,各目标属性值的差异程度,各目标属性值的可靠程度,权应当综合反映三种因素的作用，而且通过权，可以通过各种方法将多目标决策问题化为单目标问题求解。,7,一、权的概念,如前所述，权是目标重要性的,数量化,表示；但在目标,较多时，决策人往往难于直接确定每个目标的权重。,因此，通常的做法是让决策人首先把各目标作,成对比,较,，这种比较可能不准确，也可能不一致。 例如，决,策人虽然认为第一个目标的重要性是第二个目标重要,性的 3 倍，第二个目标的重要性是第三个目标重要性,的 2 倍，但他并不认为第一个目标的重要性是第三个,目标重要性的 6 倍。,因此，需要用一定的方法把目标间的成对比较结果聚,合起来确定一组权，常用的有,最小二乘法、本征向量法,。,8,二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法,首先由决策人把目标的重要性作成对比较，设有 n,个目标，则需比较 次。把第 个目标对第,个目标的相对重要性记为 ，并认为，这就是属性,的权 和属性 的权 之比的近似值 ，,个目标成对比较的结果为矩阵A。,（9.8）,9,二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法,若决策人能够,准确,估计 ，则有：,（9.9）,且 （9.10）,（9.11）,10,二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法,若决策人对 的估计,不准确,，则上列各式中的等号应为近似号。这时可用最小二乘法求,即解：,（9.12）,受约束于：,11,二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法,用拉格朗日乘法解这一有约束纯量优化问题，则拉格朗日函数为,对 求偏导数，并令其为0，得 个代数方程：,（9.13）,由式（9.13）及 共 个方程，其中有,及 共 个变量，因此可以求得,12,二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法,式9.13的推导：,找出含 的项：,对,求偏导,13,二、常用的确定各属性权的方法 本征向量法,由式（9.8），得,即,式中 是单位矩阵，如果目标重要性判断矩阵A中的值估计准确，,上式严格等于 0( n维 0 向量)，如果A的估计不够准确，则A中元素,的小的摄动意味着,本征值,的小的摄动，从而有 （9.14）,是矩阵 A 的最大本征值。由（9.14）式可以求得本征向量即,权向量 这种方法称为本征向量法。,14,二、常用的确定各属性权的方法 本征向量法,与最小二乘法类似，使用这种方法同样需要求得矩阵 A，为了便于比较第 i 个目标对第 j 个目标的相对重要性，即给出 的值，Saaty根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要性等级表，见表 9.9，利用该表取 的值，方法虽粗略，但有一定的实用价值。,15,二、常用的确定各属性权的方法 本征向量法,在用该法确定权时，可以用 来度量 A 中各元素,的估计的一致性。为此引入一致性指标CI：,（9.15）,CI与与表 9.10 所给同阶矩阵的随机指标 RI之比称为一致,性比率 CR，即 CR=CI/RI （9.16）,比率 CR可用来判定矩阵 A 能否被接受。 若 CR0.1，,说明 A 中各元素的估计一致性太差,应重新估计。若,CR0.1，则可认为 A 中各元素的估计基本一致,这时可以,用(9.14)式求得 ,作为 n 个目标的权。,16,二、常用的确定各属性权的方法 本征向量法,由 CR=0.1 和表 9.10 中的 RI值,用式(9.15)和式(9.16)可以求得与 n 相应的临界本征值：,由上式算得的 见表 9.10。一旦从矩阵 A 求得最大本征值 大于 ，说明决策人所给出的矩阵 A中各元素 的一致性太差，不能通过一致性检验，需要决策人仔细斟酌，调整矩阵 A 中元素 的值后重新计算 ，直到 小于 为止。,17,三、最底层目标权重的计算,比较复杂的多属性决策问题的目标往往具有层次结构。 根据不同层次的目标间的关系，可以把多层次的目标体系分成两类。一种是树状结构，如图 9.2(a)所示，另一种是网状结构，如图 9.2(b)所示。,下面分别介绍这两种结构的最低层权重的设定方法。,18,三、最底层目标权重计算树状结构,对于树状结构的目标体系，只要自上而下，即由树干,向树梢，求树杈各枝相对于树杈的权，如图 9.2(a)所示,的系统，首先用第二分节介绍的方法确定第二层中的三,个目标 B 、C 、D 相对总目标 A 的权 且使,；其次确定与第二层各目标相关联的第三层,目标的权，共三组，使 直到最低层目标,相对上一层次目标的各组权全部设定为止。,在求出上述各组权后，只要将上一层次目标的权与该,目标相关的下一层目标的权相乘即得下一层目标关于总,目标的权。例如目标 H 关于总目标的权 ，,这样依次进行即可获得最低层各目标相对于总目标的权。,19,三、最底层目标权重计算网状结构,对网状结构目标体系，可用下述递推方法求最低层次各目标的权。,设多目标决策问题的目标共有 k+1 级，其中第 k-1、 k 和 k+1 级如图 9.3 所示， 我们构造一个 “第k+1 级的某个元素 对 k-1 级的某个元素 z 的优先函数” （优先函数表示第 k+1 级中各元素 对第 k-1 级中的元素 z 的相对的重要即优先性），我们将此函数记作 ，则,20,三、最底层目标权重计算网状结构,（9.17）,显然，这就是用 对z的总要性 乘以 对 的重要性,去衡量 对于z的优先性。,21,三、最底层目标权重计算网状结构,如果令 （9.18）,则,（9.19）,即,（9.20）,可以记作： （9.21）,22,三、最底层目标权重计算网状结构,23,第三节 加权和法,一、一般加权和法,二、字典序法,三、层次分析法（AHP）,24,一、一般加权和法,加权和法的求解步骤很简单：,属性表规范化，得,确定各指标的权系数，,令 （9.23）,根据指标 的大小排出方案 的优劣。,示例 用加权和法求解例 9.2 研究生院试评估。,为了取得经验，先选5所研究生院收集有关数据资料进行了试评估。表9.3中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了数据。,25,一、一般加权和法,对例 9.2 中的属性值表 9.3，其中属性 2 用式（9.5）,进行数据预处理 ，其他属性用线性变换作数据预处理；,设决策人设定各属性权重分别为0.2,0.3,0.4,0.1，则可得,各属性的处理结果及加权和 ，如表9.11-1所,示。,26,一、一般加权和法,由上表知，方案集 X 中的各方案排序为,。而方案 之所以能比 优，是,因为属性 1 远比方案 优；若用式(9.7)对属性 1 作处,理，所得结果见表 9.11-2，这时方案 比 优。,27,一、一般加权和法,28,一、一般加权和法,加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了、直观，是人们最经常使用的多目标评价方法。采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表，有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体系和设定权上。,29,一、一般加权和法,使用加权和法意味着承认如下假设：, 指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上 级指标相关联, 每个属性的边际价值是线性的(优劣与属性值大小成比例)每两个,属性都是相互价值独立的；, 属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他,属性来补偿。,事实上，这些假设往往都不成立。,首先,，指标体系通常是网状,的，即至少有一个下级指标同时与二个或二个以上的上级指标相,关联。,其次,，属性的边际价值的线性常常是局部的，甚至有最优,值为给定区间或点的情况存在，属性间的价值独立性条件也极难,满足，至少是极难验证其满足。,至于属性间的可补偿性通常只是,部分的、有条件的。,因此，使用加权和法要认识到加权和法本身,存在的种种局限性并采取相应的补救措施，这样加权和法才不失,为一种简明而有效的多目标评价方法。,30,二、字典序法,字典序法是在 （符号表示远远大于）时的加权和法，即某个目标 特别重要,它与重要性处于第二位的目标相比重要得多，重要性处于第二位的目标又比重要性处于第三位的目标重要得多。,实质上，字典序法是单目标决策, 首先只根据最重要目标的属性值的优劣来判断方案集X 中各方案的优劣；只有当两个或多个方案的最重要目标的属性值相同时，再比较它们的第二重要的目标的属性值；如此继续，直到排定所有方案的优劣次序为止。,这种决策方法虽然看起来并无道理，但是它与实际生活中某些人的决策方式很接近，因为有些人倾向于在最重要的目标得到满足之后再去考虑重要性较差的目标。例如许多家庭主妇在选购家用电器时用的就是字典序法。,显然，这种方法不适于重大问题的决策。,31,二、字典序法,例,方案,属性,（权重）,32,三、层次分析法,层次分析法的求解步骤如下：,第一步 由决策人利用表 9.9 构造矩阵 A。,第二步 用本征向量法求 和 。,第三步 矩阵 A 的一致性检验。若最大本征值 大于表 9.10 中给,出的同阶矩阵相应的 时不能通过一致性检验,应重新估计,矩阵A直到 小于 通过一致性检验时，求的 有效。,第四步 方案排序。, 各备选方案在各目标下属性值已知时, 可以根据指标的大,小排出方案 i ( i =1, m)的优劣。, 各备选方案在各目标下属性值难以量化时, 可以通过在各,目标下优劣的两两比较(仍利用表 9.9)求得每个目标下各方,案的优先性（亦即权重），再计算各方案的总体优先性,（即总权重）, 根据总体优先性的大小排出方案的优劣。,33,三、层次分析法,例 9.3 设某高校拟从三个候选人中选一人担任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是：健康状况业务知识书面表达能力口才道德水平和工作作风。关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵 A 为,34,三、层次分析法, , , ,35,三、层次分析法,用本征向量法可以求得矩阵 A 的最大本征值 。但是，求 要解 n 次方程，当 时计算比较麻烦，可以用近似算法。 例如 Saaty 给出了求 近似值的方法， 这种近似算法的精度相当高，误差在 数量级。Saaty 给出的求 的近似算法如下：, A 中每行元素连乘并开 n 次方：,（9.24）,求权重：,（9.25）,36,三、层次分析法,A,中每列元素求和,：,计算 的值：,（9.26）,用上述近似算法求得例 9.3 中矩阵 A 的,小于 6 阶矩阵的临界值 ，可以通过一致性检,验，这时的本征向量为,37,三、层次分析法,38,三、层次分析法,三阶矩阵的 =3.116，由表 9.12 可知书面表达能力和工作作风这两个属性的比较矩阵不能通过一致性检验。由决策部门讨论后调整如下：,书面表达能力,工作作风,39,三、层次分析法,这两个新的比较矩阵的最大本征值 分别为 3.0328 与 3.0213，均小于 3.116，通过一致性检验。六个属性的本征向量构成如下的决策矩阵：,健康状况 业务知识 书面表达 口才 道德水平 工作作风,由 知，,应选择候选人X担任该职务。,40,第五节 TOPSIS法,一、TOPSIS法的求解思路,二、 TOPSIS法的算法步骤,三、示例,41,一、TOPSIS法的求解思路,TOPSIS 是逼近理想解的排序方法的英文缩略。它借助多属性问题的,理想解,和,负理想解,给方案集 X 中各方案排序。,设一个多属性决策问题备选方案集为,衡量方案优劣的属性向量为 ；这时,方案集X中的每个方案 的n个属性值构成,的向量是 ，它作为n维空间中的一,个点，能惟一地表征方案,42,一、TOPSIS法的求解思路,理想解,是一个方案集 X 中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值；而,负理想解,则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差的值。,在 n维空间中将方案集 X 中的各备选方案 与理想解,和负理想解 的距离进行比较，既靠近理想解又远离负理想解的方案就是方案集 X 中的最佳方案，并可以据此排定方案集 X 中各备选方案的优先序。,用理想解求解多属性决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案与理想解。TOPSIS 法所用的是欧氏距离。既用理想解又用负理想解是因为？TOPSIS 法的思路用图9.5 来说明。,43,一、TOPSIS法的求解思路,图9.5 理想解和负理想解,44,二、 TOPSIS法的算法步骤,TOPSIS 法的具体算法如下：,步骤一 ，用向量规范法求得规范决策矩阵。,设多属性决策问题的决策矩阵 ，规范化决策矩阵,则,（9.32）,步骤二，构成加权规范阵 。,设由决策人给定 ，则,（9.33）,45,二、 TOPSIS法的算法步骤,步骤三，确定理想解 和负理想解 。,设理想解 的第j个属性值为 ，负理想解 第j个属性值为 则,46,二、 TOPSIS法的算法步骤,47,三、示例,用 TOPSIS 法求解例 9.2。,第一步，对表 9.3 所示属性值向量规范化，所得属性矩阵见表 9.7。,第二步，设权向量仍为 w=0.2, 0.3, 0.4, 0.1,得加权的向量规范化属性矩阵如下：,48,三、示例,49,三、示例,50,谢谢观映,51,