CH5 Z变换应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,南京大学 计算机科学与技术系,南京大学计算机科学与技术系,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,CH5: Z,变换应用,主讲教师 王崇骏,主要内容,离散时间系统,利用,Z,变换解差分方程,离散系统,的系统函数,离散系统,的频率响应,系统,频率响应的几何确定,法,离散时间系统,定义：将输入序列,x(n),映射成输出序列,y(n),的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。,式中，,H.,表示一个离散时间系统,离散时间系统,x(n,y(n),离散时间系统的分类,线性,/,非线性,时变,/,时不变,因果,/,非因果,脉冲响应及卷积和,稳定性,1.,线性,/,非线性,线性离散系统，当且仅当对任何常数,a,，任何序列,x(n),、,x1(n),、,x2(n),，满足：,1,）,Ha*x(n)=a*,Hx(n),2,）,Hx1(n)+x2(n)=Hx1(n)+Hx2(n),则系统是线性系统。,例题,分析,y(n)=3x(n)+4,是不是线性系统,.,解：因为,Hx1(n)=y1(n)=3x1(n)+4,Hx2(n)=y2(n)=3x2(n)+4,Hx1(n)+x2(n)=3(x1(n)+x2(n)+4,Hx1(n)+x2(n)!= Hx1(n)+ Hx2(n),因此，,y(n)=3x(n)+4,不,是线性系统,例题,分析,y(n)=3x(n),是不是线性系统,.,解：因为,Hx1(n)=y1(n)=3x1(n),Hx2(n)=y2(n)=3x2(n),Hx1(n)+x2(n)=3(x1(n)+x2(n),Hx1(n)+x2(n) = Hx1(n)+ Hx2(n),H(a.x(n)=3.a.x(n)=a.y(n),因此，,y(n)=3x(n),是线性系统,2.,时变,/,时不变,时不变离散时间系统，当且仅当对任何输入序列,x(n),和整数,m,，满足：,Hx(n-m)=y(n-m),式中，,y(n)=Hx(n),移不变性质保证：,对给定的输入，系统的输出和输入施加的时间无关,。,因为离散系统函数不必是时间取样的，因此，是不变性也叫做移不变性。,例题,分析,y(n)=3x(n)+4,是不是移不变系统,.,解：因为,Hx(n)=y(n)=3x(n)+4,所以,Hx(n-m)=3x(n-m)+4,又,y(n-m)=3x(n-m)+4,所以,Hx(n-m)=y(n-m),因此，,y(n)=3x(n)+4,是移不变系统,3.,脉冲响应及卷积和,假设,H.,是一个线性系统，激励为,x(n),，则：,称为系统在,n=,m,时的脉冲响应,假设,H.,还是一个时不变系统，则：,表明：,1,）线性时不变系统的特性可以由其单位脉冲响应,h(n),来完全反映,2,）,y(n),可以看做是激励,x(n),与系统脉冲响应,h(n),卷积的结果。,对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。,线性移不变系统的性质,1.,交换律,2.,结合律,3.,加法的分配率,例题,h,1,(x),h3(x,),h2(x,),x(n,),y(n,),4.,因果,/,非因果,因果离散时间系统满足，当且仅当对于,nn0,，,x1(n)=x2(n),时，有以下等式：,Hx1(n)=Hx2(n), nn0,因果性意味着系统在,n,上的输出只能和当前时刻的输入、过去时刻的输入有关，而不能和将来时刻的输入与输出有关。,因果性,y(n),与,x(n-l),l0),无关,因果序列,5.,稳定性,如果系统对于任何幅度有限的输入，其输出幅度也有限，则这个系统被称为有界输入有界输出（,BIBO,）稳定系统。,一个系统,BIBO,稳定的充要条件是：,充要条件的描述,1,）充分条件：在输入有限的前提下，如果,则输出也有限。,2,）必要条件：在输入有限的前提下，如果输出也有限，则,充分性,输入有限表示为：,必要性,反证法证明其必要性：,假设它不是必要的，那么,令：,输出为无界的，必要性得证。,3,差分方程与时频响应,线性移不变离散时间系统可以用一个常系数线性差分方程来表示：,式中，,a(k),k=1,2,N,和,b(r),r=1,2,M,是方程的系数。,给定输入信号,x(n),和系统的初始条件，可以求出,y(n),，从而得到系统的输出,离散系统差分方程表示法有两个主要用途,由差分方程得到系统结构；,求解系统的瞬态响应；,例：由一阶差分方程画网络结构,y(n) = ay(n-1) + x(n),由此得到它的网络结构如图：,延时,T,x(n),y(n),例题：由差分方程获得系统结构,例题：求解系统的瞬态响应,在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解，例，一阶差分方程系统：,输入为：,初始条件为：,y(n) = 0,，,n0,上面两个例子所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即：,用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。,利用,Z,变换解差分方程,离散时间系统，可用如下的差分方程来描述：,给定输入序列,x(n),及,y(n),的初始条件，我们希望能得到序列,y(n),的闭合表达式，这即是差分方程的求解问题。,复习：移位特性,双边序列,假设：,x(n),是因果序列，令,y(n)=x(n-k),k0,假设：,x(n),是因果序列，令,y(n)=x(n+k),k0,例题,用,Z,变换法求下面方程的解：,初值,解：对原方程作,Z,变换,例题,故有：,离散时间系统的传递函数,前面课中，,两边做,Z,变换,根据,Z,变换卷积定理,第一章：,传递函数,H(z),是系统脉冲响应的,z,变换,传递函数,广泛应用于描述离散时间系统,因果性：,h(n),对于,nr1,，极点在单位圆内,稳定系统的传输函数,H(z),一定包含单位圆,非因果稳定系统：收敛域是,|z|r2,，极点在单位圆外（,0,极点除外）,可以通过极点位置判断线性系统的稳定性,离散时间系统,x(n),y(n),表明：输出信号也是指数函数，但是幅度乘上了一个复杂的函数,频率响应,对一个复正弦的响应是其幅度乘以,A,，相位加上,f(w),分别对应为：幅度响应和相位响应,例题,求下列系统的频率响应：,解：,y(n),的,Z,变换为：,例题,一个离散时间系统的脉冲响应如下，求其频率响应。,解：,h(n),的,Z,变换为：,频率响应的几何确定法,频率响应的零极点表达式：,分子、分母中的因式可以看成是矢量 和相应的零点,/,极点相减得到,幅频特性：,相频特性：,意义：,幅频特性是所有的零点到固定那个点的长度之积除以所有的极点到固定那个点的长度之积,相频特性是：所有的零点到固定那个点的矢量角之和减去所有的极点到固定那个点的矢量角之和,举例：,图中，有两个基点,z1,，,z2,和两个零点,p1,，,p2,，他们至单元圆上某点构成的矢量为,C1,，,C2,，,D1,，,D2,，则：,改变单元上点的位置，就得到系统的频率响应特征,p1,p2,z2,z1,1,2,1,2,C2,C1,D1,D2,举例：,图中，有两个基点,z1,，,z2,和两个零点,p1,，,p2,，他们至单元圆上某点构成的矢量为,C1,，,C2,，,D1,，,D2,，则：,改变单元上点的位置，就得到系统的频率响应特征,p1,p2,z2,z1,1,2,1,2,C2,C1,D1,D2,几点说明：,p1,p2,z2,z1,1,2,1,2,C2,C1,D1,D2,原点处零极点，它到单位圆的距离恒为,1,，故对幅度响应不起作用，对相位有影响。,当单位圆上的点旋转到某个极点,Pi,附近时，相应的矢量长度变的很短，因此幅频特性在该点出现峰值。若,Pi,落在单位圆上，幅频特性趋于无穷大，发生不稳定。,单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响，当零点位于单位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外,举例：,离散时间系统函数如下，用几何法求系统的频率响应。,解：该系统有一个零点,z=0,，有两个极点,p1=0.5,、,p2=-0.5,。,逐点计算便可求出整个频率响应曲线。,！谢谢 ！,