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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.6,二阶常系数线性微分方程与,Euler,方程,在二阶线性微分方程,非齐次线性微分方程。而称方程,（,6.49,）,则称（,6.49,）为二阶常系数,（,6.50,）,为与方程（,6.49,）对应的齐次线性微分方程。,6.6.1,二阶常系数齐次线性微分方程,形如,的,方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，,即,特征方程,二阶常系数齐线性微分方程,的,特征方程为,是,方程,(1),的两个线性无关的解，故方程,(1),的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的,特征方程为,由,求根公式,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程,( 1 ),的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的,特征方程为,3),特征方程有一对共轭复根：,是,方程,( 1 ),的两个线性无关的解，其通解为,利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位,i,。,欧拉公式：,由,线性方程解的性质：,均为方程,( 1 ),的解，且它们是线性无关的：,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,例,解,例,解,例,解,故,所求特解为,例,解,此时弹簧仅受到弹性恢复力,f,的作用。求反映此弹,突然放手，,开始拉长，,簧,运动的规律（设其弹性系数为,k,）。,取,x,轴如如图所示。,由,力学的虎克定理，有,（ 恢复力与运动方向相反 ）,由,牛顿第二定律，得,（略）,它能正确描述我们的问题吗？,记,拉长后，突然放手的时刻为,我们要找的规律是下列初值问题的解：,从而，所求运动规律为,简谐振动,n,阶常系数齐线性微分方程,形如,的,方程，称为,n,阶常系数齐线性微分方程，,n,阶常系数齐线性微分方程的特征方程为,特 征 根,通 解 中 的 对 应 项,例,解,例6.50,求下列方程的通解：,解,故原方程的通解为,故原方程的通解为,6.6.2,二阶常系数非齐线性微分方程,形如,的,方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，,它对应的齐方程为,我们只讨论函数,f,(,x,),的几种简单情形下，,(2),的特解。,方程,(2),对应的齐方程,(1),的特征方程及特征根为,单根,二重根,一对共轭复根,你认为方程应该有什么样子的特解？,假设方程,有,下列形式的特解：,则,代入方程,(2),，得,即,方程,(3),的系数与方程,(2),的特征根有关。,由,方程,(3),及多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解,:,由,多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解,:,由,多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解,:,定理,1,当,二阶常系数非齐线性方程,它有下列形式的特解：,其中：,例,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它,代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,例,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它,代入原方程，得,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,例,解,对应的齐方程的通解为,综上所述，原方程的通解为,例6.54,解,代入原方程得,所以,故原方程的通解为,例6.55,解,根据定理,6.7,（,P315,），,原方程的特解由,代入原方程得,故原方程的特解为,故原方程的通解为,例6.56,解,代入原方程得,于是,故原方程的通解为,故原方程满足初始条件的特解为,欧拉公式：,定理,6.8,的,一个特解。,例,解,代入上述方程，得,从而，原方程有一特解为,例,解,代入上述方程，得,比较系数，得,从而，原方程有一特解为,故,例,解,由,上面两个例题立即可得,例,解,对应的齐次方程的通解为,将它代入此方程中，得,从而，原方程有一特解为,故原方程的通解为,例6.59,解,原方程可化为,两端对,x,求导得,整理得,两端再对,x,求导得,此为常系数线性微分方程，其对应的齐次方程为,特征方程为,故齐次方程通解为,故，自由项为,1,时原方程的特解可设为,代入原方程得,由此得,注意到由方程（,5-69,）、（,5-70,）有,所以有,解之得,5.5.3,欧拉方程（略）,形如,的,方程，称为,n,阶,欧拉方程，其中,关于变量,t,的常系数线性微分方程 。,引入算子记号：,由,数学归纳法可以证明：,例,解,这是三阶欧拉方程，,作,代数运算后，得,即,这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且,方程,(1),对应的齐方程的通解为,为方程,(1),特解形式，代入方程,(1),中，得,从而,故原,欧拉方程的通解为,
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