高数(下)期中复习课件

河海大学理学院,高等数学,高等数学,(,下,),期中复习,基本概念,基本定理,基本方法,第,0,章,空间解几与向量代数,向量的概念与运算,+,-,数乘,数量积,向量积,;,直角坐标系下向量的运算,;,向量的夹角,平行与垂直,;,平面,直线,;,曲面,柱面,投影柱面,旋转面,二次曲面图形,;,曲线,投影,参数方程,.,1.,向量,:,既有大小,又有方向的量,称为,向量,.,(,或,矢量,),2.,向量的几何表示法,:,用一条有方向的线段来表示向量,.,A,B,向量,AB,的大小叫做向量的模. 记为 |,AB|,|,或,一、向量的基本概念,1,、向量加法,(1),平行四边形法则,设有,(,若起点不重合,可平移至重合,).,作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作 另一条对角线向量,是的差,即,(2),三角形法则,二,、,向量的加减法,2.,向量加法的运算规律,.,交换律,结合律,1.,定义,实数,与向量的为一个向量,.,其中,:,当, 0,时,当, 0,时,当,= 0,时,2.,数与向量的乘积的运算规律,:,结合律,分配律,(,0),三,、,数与向量的乘法,定理,1:,两个非零向量,平行,存在唯一实数,，使得,(,方向相同或相反,),设表示与非零向量同向的单位向量,.,则,四,.,空间直角坐标系与空间向量的坐标表示,1.,空间直角坐标系的建立,o,z,x,y,z,x,y,x,轴(横轴)、,y,轴(纵轴)、,z,轴(竖轴),组成了一个,空间直角坐标系,又称,笛卡尔,(Descarstes),坐标系，,点,O,叫做,坐标原点,.,o,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,2.,引入直角坐标系后,向量的运算,:,两向量平行的充要条件,.,注,:,在,(*),式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零,.,a,/,b,1.,方向角,:,非零向量,a,与,x,y,z,轴正向夹角,称为,a,的方向角,.,2.,方向,余弦,:,方向角的余弦,cos, cos, cos,称为,方向余弦,.,3.,向量的模与方向余弦的坐标表达式,a,y,z,x,0,向量的模与方向余弦的坐标表示式,cos,2,+cos,2,+cos,2,= 1,a,0,= (,cos, cos, cos,),设,a,0,是与,a,同向的单位向量,设有两个向量,a,、,b,它们的夹角为,即:,a,b,= |,a,| |,b,| cos,定义,:,将数值,|,a,|,b,|cos,称为,a,与,b,的,数量积,(,或,点积,),记作,a,b,.,内积,五、,向量的数量积,a,b,= a,x,b,x,+,a,y,b,y,+,a,z,b,z,推论,:,两个向量垂直,a,x,b,x,+,a,y,b,y,+,a,z,b,z,= 0,坐标表示式,a,b,c,=,a,b,(1) |,c,| = |,a,| |,b,| sin,(2),c,与,a,、,b,所在的平面垂直, (即,c,a,且,c,b,).,c,的指向按右手规则从,a,转向,b,来确定.,则将向量,c,称为,a,与,b,的,向量积, 记作:,a,b,.,即,:,c,=,a,b,注,:,向量积的模的几何意义,.,以,a,、,b,为邻边的平行四边形, 其面积等于,|,a,| |,b,|sin,所以,a,b,的模, 等于以,a,、,b,为邻边的平行四边形的面积.,定义,:,设有两个向量,a,、,b,夹角为, 作一个向量,c,使得,六、两向量的向量积,向量积的性质,反交换律,a,b =,b,a,a,b,= (,a,y,b,z,a,z,b,y,),i,+,(,a,z,b,x,a,x,b,z,),j,+,(,a,x,b,y,a,y,b,x,),k,向量积的坐标表示式,1,点法式方程,2,一般方程,3,截距式方程,七、空间平面方程,八,、空间直线方程,1,一般方程,2,对称式方程,3,直线的参数方程,(,为参数,),4,直线的两点式方程,2,显函数形式,解析几何的基本问题,:,1.,已知空间图形,建立和研究它的代数方程,.,利用代数的优点：精准，易推导。,2.,已知代数方程,想象出它的几何图形,.,利用几何的优点：直观。,十,、空间曲线,1,空间曲线的一般方程,2,空间曲线的参数方程,十一,.,柱面,给定空间一定曲线 ，如果直线 沿,曲线 平行移动，则动直线 所形成的曲,面称为柱面；动直线 称为柱面的母线，定,曲线 称为柱面的准线。,特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，而,准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。,设柱面的母线平行于 轴，准线 是,平面上的一曲线,.,，求柱面方程。,只含 而缺 的方程 表示母线,平行于 轴，准线是 的柱面；,类似地，只含 而缺 的方程,表示母线平行于 轴，准线是,的柱面；,只含 而缺 的方程 表示母线,平行于 轴，准线是 的柱面。,1.,平行于坐标轴的柱面,2.,曲线,十二旋转曲面,给定空间一直线 与空间曲线 ，曲线,绕直线 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲,面，定直线 称为旋转曲面的旋转轴。,特殊情况：坐标平面上的平面曲线绕该坐标,平面上的某坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面,.,设在 平面上的曲线 ，,绕 轴旋转一周，求旋转曲面 的方程。,(1),曲线 ，绕 轴旋转一周,所成的旋转曲面 的方程，只要在方程,中，作如下改动 ，,可得旋转曲面 的方程,(2),曲线 ，绕 轴旋转一周,所成的旋转曲面 的方程，,只要在方程中 ，作如下改动，,可得旋转曲面 的方程,(3),曲线 ，绕 轴旋转一周,所成的旋转曲面 的方程，,只要在方程中 ，作如下改动，,可得旋转曲面 的方程,(4),曲线 ，绕 轴旋转一周,所成的旋转曲面 的方程，,只要在方程中 ，作如下改动，,可得旋转曲面 的方程,(5),曲线 ，绕 轴旋转一周,所成的旋转曲面 的方程，,只要在方程中 ，作如下改动，,可得旋转曲面 的方程,(6),曲线 ，绕 轴旋转一周,所成的旋转曲面 的方程，,只要在方程中 ，作如下改动，,可得旋转曲面 的方程,以上结论反之也成立。,含平方和的三元方程是旋转面方程，另一个变量是旋转轴。,曲线曲面的,4,重点：,柱面：缺变量的三元方程，它平行于没写出,变量的坐标轴。,旋转面：含至少两变量的平方和的三元方程，,旋转轴是以另一个变量命名的轴。,三坐标面上的投影就是三视图，用来想象空,间曲线形状。在某坐标面上的投影方程即消,去变量后，只剩下该坐标面上的变量。,曲线的参数方程是三坐标用一个变量的函数,表示。要求函数能求导，积分。注意三角函,数的使用。,第八章 多元函数微分学,多元函数概念,(,多个自变量,),多元初等函数,;,多元函数极限的概念及求法,;,连续性,多元初等函数的连续性,;,偏导数及几何意义,高阶偏导数,方向导数,;,全微分及与各导数,连续的相互关系,;,复合函数求导，注意区分 和；,隐函数和方程组求导，注意用公式和不用公式的区别；,曲面的切平面与法线，曲线的切线与法平面；,极值，最值，条件极值；,梯度及性质,第九,十章,多元函数,积分,重积分，线积分的定义：和式的极限；,性质同定积分，即：线性，区域可加性，的积,分，单调性，估值，中值定理；,二重积分计算：,1),先,x,后,y,，,2),先,y,后,x,，,3),极坐标；,三重积分计算：,1),先后，,2),先后，,3),柱面,坐标，,),球面坐标；,几何应用,：曲面面积，体积,第一类曲线积分计算：代入，下限小,上限大；,第二类曲线积分计算：代入，下限起点,上限终点,首选格林公式,物理应用：,1.,质量元,空间立体,:,平面薄片,:,直线,:,曲面,:,曲线,:,