控制工程基础——动态系统的数学模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,控 制 工 程 基 础,第二章 动态系统的数学模型,建立基本环节（质量,-,弹簧,-,阻尼系统、电路网络和电机）的数学模型及模型的线性化,重要的分析工具：拉氏变换及反变换,经典控制理论的数学基础：传递函数,控制系统的图形表示：方框图,建立实际机电系统的传递函数及方框图,系统数学模型的,MATLAB,实现,本章要熟悉下列内容：,第二章 数 学 模 型,第一节,数学模型的基本概念,第二节,线性微分方程式的建立,第三节,非线性系统的线性化,第四节,拉普拉斯变换,第五节,传递函数,第六节,系统方框图,第七节,控制系统的传递函数,主要章节：,第一节 数学模型的基本概念,一、系统的数学模型,系统的数学模型,：,描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式,，揭示系统结构及其参数与性能之间的内在关系。分为,静态模型,和,动态模型,。,静态模型,：静态条件,(,变量各阶导数为零,),下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。,动态模型,：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。,工程上常用的数学模型包括,微分方程,、,传递函数,和,状态方程,；,系统数学模型形式多样，取决于变量和坐标系的选择。在,时间域,，通常采用,微分方程或一阶微分方程组、差分方程、状态方程,的形式；在,复数域,则采用,传递函数、结构图,的形式；而在,频率域,采用,频率特性,形式；,微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础。,数学模型的形式,理论分析,(,解析法,),：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律，理论推导出变量间的数学关系式。,实验法,：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为,系统辨识,。,从理论上建立系统的数学模型，常称为,理论建模,。,系统数学模型获取方法,两种方法是相辅相成的。,建立系统的理想数学模型的注意事项：,必须对元件或系统的构造、工作情况有足够的了解。,忽略一些次要的因素，进行合理的简化,分布参量集中化,非线性因素线性化,时变参量定常化,不同元件或系统应采用与之相应的物理定律来建立输入与输出的关系,机械系统常用牛顿定律,电气系统采用基尔霍夫定律,数学模型应能反映系统内在的,本质特征,，同时应对模型的,简洁性,和,精确性,进行折衷考虑。,二、线性系统,如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为方程的次数。,一次微分方程叫做线性微分方程,；除此以外,非一次的微分方程称为非线性微分方程,。,微分方程中，无论是,因变量或者是它的导数,，都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其导数之积，则此微分方程就是线性微分方程。用这种方程描述的系统称为,线性系统,。,下列微分方程描述的系统为线性系统：,下列微分方程描述的系统为非线性系统：,线性系统的齐次性,如果系统在输入,x,(,t,),作用下的输出为,y,(,t,),，并记为,x,(,t,) ,y,(,t,),则,kx,(,t,) ,ky,(,t,),称为齐次性，式中,k,为常数。,线性系统具有齐次性。,线性系统最重要的特性，就是,叠加原理,。,若系统在输入,x,1,(,t,),作用下的输出为,y,1,(,t,),，而在另一个输入,x,2,(,t,),作用下的输出为,y,2,(,t,),，,并记为,x,1,(,t,) ,y,1,(,t,),x,2,(,t,) ,y,2,(,t,),则以下关系,x,1,(,t,) +,x,2,(,t,),y,1,(,t,) +,y,2,(,t,),称为叠加性或叠加原理,叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。,线性系统的叠加性,三,.,非线性系统,用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。,虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但是在大多数情况下，实际的关系并非是真正线性的。即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较小的非线性因素所引起的误差，工程上又允许的话，这一系统就可以作为线性系统来处理。,非线性系统重要的特性，是,不能应用叠加原理,。因此，对包含有非线性系统的问题求解，其过程通常是非常复杂的。为了绕过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需引入“,等效,”线性系统来代替非线性系统。,第二节 线性微分方程式的建立,一建立线性微分方程式的步骤,1.,首先将系统划分为若干个环节，,确定每一环节的输入信号和输出信号,。确定输入信号和输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一环节的输入信号。,2.,写出每一环节（或元件）输出信号和输入信号相互关系的运动方程式,，找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式就是环节（或元件）的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化，忽略一些次要因素等 。,3.,消去中间变量，列出各变量间的关系式。最后得到只包含,输入量和输出量,的方程式。,4.,化成标准形式，即,输出量放在方程式的左端，而输入量放在方程式的右端,，且各阶导数项其阶次依次按幂排列。,建立数学模型的基础：,机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理,电 学： 欧姆定理、基尔霍夫定律,热 学： 传热定理、热平衡定律,机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生的是转角。,牛顿定律和虎克定律,等物理定律是建立机械系统数学模型的基础。,二举例,1,机械系统的微分方程式,机械运动系统的三要素：,质量、弹簧和阻尼,质量,M,弹簧,K,阻尼,C,机械运动的实质：,牛顿定理、能量守恒定理,实例,(1),平移运动,图,a,机械平移系统及其力学模型,式中，,m,、,C,、,K,通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。,显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中,独立,储能元件,(,惯性质量、弹簧,),的数量。,图,b,系统运动方程为一阶常系数微分方程。,弹簧,-,阻尼系统,如图所示机械系统，求其微分方程，图中,X,i,表示输入位移，,X,o,表示输出位移，假设输出端无负载效应。,(,c,、,c,1,、,c,2,为阻尼系数，,k,1,、,k,2,为弹性系数,),图,c,图,d,图,e,解：,(1),对图,c,所示系统，由牛顿定律有,即,图,c,消除中间变量,x,有,(2),对图,d,所示系统，引入一中间变量,x,并由牛顿定律有：,图,d,(3),对图,e,所示系统，由牛顿定律有,即,图,e,图,2-3,所示的转动惯量为,J,的转子与弹性系数为,k,的弹性轴和阻尼系数为,C,的阻尼器连接。假设外部施加扭矩,m,(,t,),，则系统产生一个偏离平衡位置的角位移,(,t,),。现研究外扭矩,m,(,t,),和角位移,(,t,),的关系。,图,2-3,具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统,),(,t,q,),(,t,m,C,k,J,(2),机械旋转系统,实例,列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩,m,(,t,),应与惯性矩,m,1,(,t,),、阻尼矩,m,2,(,t,),和弹性阻力矩,m,3,(,t,),平衡，即,(2-3),式中,所以系统的运动方程式为,2,电气系统的微分方程,电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总可以建立起相应的数学模型的。电气系统的微分方程主要根据,基尔霍夫定律,和,电磁感应定律,等基本物理规律列写。,电气系统三个基本元件：,电阻,、,电容,和,电感,。,电阻,电容,电感,电学：,欧姆定律、基尔霍夫定律,图,2-4,所示的系统中，,u,i,(,t,),为输入电压，,u,o,(,t,),为输出电压。,根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有,(2-5),(2-6),(2-7),(2-8),图,2-4,无源电路,将方程联立求解，消去中间变量,i,1,(,t,),、,i,2,(,t,),、,i,3,(,t,),后，即可得到以,u,i,(,t,),为输入量，以,u,o,(,t,),为输出量的电路微分方程式，即：,(2-9),R-L-C,无源电路网络,若,L,=0,，则系统简化为：,一般,R,、,L,、,C,均为常数，上式为二阶常系数微分方程。,有源电路网络,即：,图中,a,点为运算放大器的反向输入端，,K,o,为运算放大器的开环放大系数。,例,图,2-6,为一液面系统。,Q,r,为流入液量，,Q,c,为流出液量，,h,为液面高度，,A,为容器截面积，在,h,变动内为恒值，列出液面波动的运动方程式。,解：系统原始方程式：,以,Q,r,为输入量，以,h,为输出量。根据物质守恒定律可得,由流量公式可知,图,2-6,液面系统,显然上式是一个非线性方程式。,代入上式中消去,Q,c,，可得液面运动方程式,式中,决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构一定时，在,Q,c,变化的一定范围内，可近似地认为,恒值,。,物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究,(,信息方法,),。,从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；,通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元,(,惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等,),的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量,(,信息,),的交换。,系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。,小结,线性系统微分方程的一般形式,式中，,a,1,，,a,2,，,，,a,n,和,b,0,，,b,1,，,，,b,m,为由系统结构参数决定的实常数，且,m,n,。,在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用,n,阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为,x,i,(,t,),，系统的输出量为,x,o,(,t,),，则单输入、单输出,n,阶系统常系数线性微分方程有如下形式：,第三节 非线性系统的线性化,非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。,非线性系统的分析和综合是非常复杂的；由于非线性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法。,线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。,线性化问题的提出,Mathematical model linearization,线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；,对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。,在工作中，控制系统各个变量偏离其平衡值一般都比较小，因此，对于具有非本质非线性特性的系统，可以采用小偏差线性化的方法求取近似的线性微分方程以代替原来的非线性微分方程。,具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论去处理。,线性化的提出,非线性关系如果可用下述解析形式表达时,(2-11),平衡工作点为,A,(,x,0,，,y,0,),，则,(2-11),式在平衡点展成泰勒级数为,(2-12),1.,泰勒级数展开法,(,用解析关系描述的非线性关系线性化,),：,非线性系统数学模型的线性化方法,假设,(,x,-,x,0,),很小，则可以忽略高次项，而只保留一次项，则,(2-12),可以写成,(2-13),式中,所以，式,(2-13),变为：,(2-14),即,即为非线性系统的线性化模型，称为,增量方程,。 称为系统的,静态方程,；由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。,增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。,如果输出量,y,为两个输入量,x,1,与,x,2,的函数时，如,(2-15),为了得到线性系统的近似线性关系，仍然在平衡点展成泰勒级数，即：,(2-16),当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是,(2-16),式可以写成,:,(2-17),式中,(2-17),式又可以写成：,(2-18),静态方程,增量方程：,为了书写方便起见，增量,y,与,x,均可以用变量,y,与,x,代替，但在理解时，应看作在工作点附近小范围内的关系。,这样，,(2-14),式与,(2-18),则可以分别写成为,(2-19),(2-20),注意：,前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特性。,如果工程中存在着一些元件,(,或系统,),，其输出与输入的静态关系如图,2-5,所示。系统在平衡点,A,(,x,0,，,y,0,),工作，当输入量,x,在平衡点,A,附近很小范围内变化时，输入与输出关系可以近似用切于,A,点的一段直线,BC,来代替实际的曲线,BC,，这种代替虽然存在误差，但在工程实际中，其误差是允许的。,图,2-5,非线性特性线性化的几何意义,2.,切线法：,切线法是泰勒级数法的特例,若,BC,的斜率为,k,，则输入与输出关系可以表示为,:,式中,y,为在平衡点,A,附近,输出量,的变化；,x,为在平衡点,A,附近,输入量,的变化；,一个非线性系统，如果在平衡点附近工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的关系。,注意：,前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特性。,确定系统各组成元件在平衡态的工作点；,列出各组成元件在工作点附近的增量方程；,消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；,系统线性化微分方程的建立步骤,例,2-1,图,2-6,为一液面系统。,Q,r,为流入液量，,Q,c,为流出液量，,h,为液面高度，,S,为容器截面积，在,h,变动内为恒值，列出液面波动的运动方程式。,解：系统原始方程式：,以,Q,r,为输入量，以,h,为输出量。根据物质守恒定律可得,由流量公式可知,图,2-6,液面系统,(2-22),(2-21),显然式,(2-23),是一个非线性方程式。,对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和静态方程式：额定工作点为（,Q,r0,，,h,0,),，静态方程式为：,代入,(2-21),式中消去,Q,c,，可得液面运动方程式,(2-23),式中,决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构一定时，在,Q,c,变化的一定范围内，可近似地认为,恒值,。,将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和来表示：,将非线性函数 线性化：,从上式减去静态方程式，可得式,(2-23),的线性化方程式：,将以上各式代入方程式,(2-23),得：,(2-24),实例：单摆运动线性化,解：根据牛顿第二定律：,将非线性项 在点 附近泰勒展开,线性化有如下特点：,(1),线性化是相对某一额定工作点进行的。工作点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；,(2),若使线性化具有足够的精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；,(3),线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；,(4),线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非线性系统是不适用的。,建立描述系统动态性能的运动微分方程之后，给定输入解这个方程，得到它的全解，即可知道系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下的运动规律，即性能。,对于利用微分方程表达的数学模型形式，解析求解比较困难。,问题：,人类的思路就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯积分变换是一种数学工具，它可将时域中的微分方程转化为复数域中的代数运算，使求解大为简化。,第四节 拉普拉斯变换,Laplace,Transform,法国数学家拉普拉斯,(B,S,Laplace),提出,先驱：,拉普拉斯变换本身只看作为一种类似于“,取对数,”的工具 。,起源：,19,世纪末，英国工程师海维赛德,(O. Heaviside),基本思想：,线性微分方程,代数方程,一、拉氏变换的定义,如果有一个以时间,t,为自变量的实变函数,f,(,t,),，,它的定义域是,t,0,，任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数,，使得,Definition of,Laplace,Transform,则函数,f,(,t,),的,拉普拉斯,变换存在，并定义为：,(2-25),式中，,s,是,复变数,，,s,=,+,j,称为,拉普拉斯积分,；,F,(,s,),是函数,f,(,t,),的拉氏变换,(,象函数,),，是,复变函数,；,f,(,t,),是,F,(,s,),的,原函数,L,是表示进行拉普拉斯变换的符号。,注意：,单位阶跃函数,1(t),最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为,单位阶跃函数,Unit step function,指数函数,指数函数是控制工程中经常用到的函数，这一函数定义为,指数函数,(,a,为常数,),Exponential function,正弦、余弦函数,正弦、余弦函数,有欧拉公式，有：,Sine function and Cosine function,从而：,同理：,单位脉冲函数,单位脉冲函数,由洛比达法则：,所以：,unit-impulse function,单位速度函数,(,斜坡函数,),单位速度函数,（分部积分）,unit-ramp function,单位加速度函数,单位加速度函数,在掌握了求拉普拉斯变换的方法以后，并不需要每次都去推导的拉普拉斯变换，通常可以利用拉普拉斯变换表得到给定函数的拉氏变换。,说明：,Parabolic function,拉氏变换积分下限的说明,在某些情况下，函数,f,(,t,),在,t,=0,处有一个脉冲函数。这是必须明确拉氏变换的积分下限是,0,-,还是,0,+,，并相应记为：,（,2-26,）,序号,f,(,t,),F,(,s,),1,(,t,),1,2,1(,t,),3,t,4,5,6,sin,t,表,2-1,常用函数的拉氏变换表,序号,f,(,t,),F,(,s,),7,cos(,t,),8,9,10,11,12,序号,f,(,t,),F,(,s,),13,14,15,16,序号,f,(,t,),F,(,s,),17,18,二,.,拉氏变换的主要定理,1.,叠加定理,设,L,f,1,(,t,)=,F,1,(,s,),，,L,f,2,(,t,)=,F,2,(,s,),，,k,1,，,k,2,为常数 ，则,（,2-27,）,线性定理说明某一时间内，函数为几个时间函数的代数和，其拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换代数和。,Superposition principle,2.,微分定理,设,L,f,(,t,)=,F,(s,),，则有,(2-28),式中,f,(0),表示函数,f,(,t,),在,t=,0,时刻的值，即初始条件。,证明：由（,2-25,）式可得：,Differentiation theorem,利用分部积分法， 则,令 ，,则,故,同理，可进一步推出,f,(,t,),的各阶导数的拉氏变换为,:,（,2-29,）,式中,f,(0),、,f,(1),(0),、,、,f,(n-2),(0),、,f,(n-1),(0),分别为各阶导数在,t,=0,时刻的值，如果所有这些初值为零，则,（,2-30,）,例,2-7,试求下面微分方程式的拉氏变换式已知各阶导数初值为零。,解：利用线性定理和微分定理，可得,3.,复微分定理,设,L,f,(,t,)=,F,(s,),，则除了在,F(s,),的极点以外，有,同样有,一般地，有,(n=1,，,2,，,3,，,),（,2-31,）,4.,积分定理,（,2-32,）,式中 为 在,t,=0,时刻的值。,证明： 由（,2-25,）式可得,设,L,f,(,t,)=,F,(s,),，则有,Integral theorem,利用分部积分法，令,则有,故,同理，对于多重积分的拉氏变换可得,:,式中,f,(-1),(0),、,f,(-2),(0),、,f,(-n),(0),为式中,f,(,t,),的各重积分在,t,=0,时的值，如果这些初值为零，则有,（,2-33,）,5.,时域位移定理（延迟定理）,设,L,f,(,t,)=,F(s,),，对任一正实数,a,有,（,2-34,）,式中,f,(,t,-,a,),为函数,f,(,t,),延迟时间,a,之后的函数，如图,2-8,所示，当,t,a,时,f,(,t,)=0,。,图,2-8,延迟函数,证明：设,(,t,-,a,)=,则：,Time-lapse theorem,6.,复域位移定理（位移定理）,设,L,f,(,t,)=,F,(,s,),，对任一常数,a,（实数或复数），有,（,2-35,）,证明：,此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏变换时用到。,Attenuation theorem,例,2-8,求 的拉氏变换。,解：可直接运用复域位移定理及正弦函数的拉氏变换求得,同理可求得,7.,初值定理,设,f,(,t,),及其一阶导数均为可拉氏变换的，则,f,(,t,),的初值为,（,2-36,）,证明： 由微分定理得知,由于,s,时，,e,-st,0,所以,所以,应用初值定理可以确定系统或元件的初始状态。,Initial value theorem,例,2-9,求 的初值。,解：可以由 直接求出初值，亦可按初值定理求出。,直接法可得,初值定理， ，所以,由上可见，两种算法结果是一致的。,8.,终值定理,设,f,(,t,),及其一阶导数均为可拉氏变换的，则,f,(,t,),的终值为,:,（,2-37,）,证明：由微分定理得知,即,所以,由于,s,0,时，,e,-st,1,所以,Final value theorem,应用终值定理，可以确定系统或元件的稳态值。但要注意，如果当,t,， 极限不存在，则不能应用终值定理。如正弦函数等周期函数，它们的极限不存在，因此就不能使用终值定理。,例,2-10,已知 ，求,f,(,t,),的终值。,解：利用终值定理,9.,卷积定理,两个时间函数,f,1,(,t,),，,f,2,(,t,),积分的拉氏变换可由下式得到,（,2-38,）,式中,证明略。,Imagine function of convolution integral,10.,相似定理,(,时间比例尺的改变,),设,L,f,(,t,)=,F(s,),，对任一常数,a,，则,（,2-39,）,证明：,令,Image function of,三,.,拉普拉斯反变换,已知象函数,F,(s,),，求出与之对应的原函数,f,(,t,),就称为拉氏反变换，可以写成,（,2-40,）,简写为,对于比较简单的象函数，可以利用表,2-1,查出其原函数。但在工程中经常遇到的都是比较复杂的象函数，此时，通常先利用,部分分式展开法,将复杂的象函数展开成简单的象函数之和，再利用表,2-1,，分别查出各个原函数，其和即为所求。,如某一原函数,f,(,t,),的象函数为,F,(s,),可以把,F,(s,),分解成一些分量之和，即,式中的,F,1,(,s,),、,F,2,(,s,),、,、,F,n-1,(,s,),、,F,n,(,s,),又很容易由表,2-1,得到所对应的原函数,f,1,(,t,),、,f,2,(,t,),、,、,f,n-1,(,t,),、,f,n,(,t,),，即,控制工程中，象函数,F,(s,),通常可以表示有理分式形式，即,（,2-41,）,为把（,2-41,）式表示成部分分式，先要把,A,(,s,),写成因式形式，即,（,2-42,）,多项式,A,(,s,),的根即,-,p,1,、,-,p,2,、,-,p,3,、,-,p,n,称,F(s,),的,极点,，此极点可为,实数亦可为复数,，（,2-41,）式可以写成部分分式形式,（,2-43,）,由于极点,-,p,1,、,-,p,2,、,-,p,3,、,、,-,p,n,可为实数或复数，所以系数,A,1,、,A,2,、,A,3,、,、,A,n -1,、,A,n,也可为实数或复数。这些系数有的书又称留数。求留数的方法可分为下面三种情况研究。,不同实数极点情况,包含有共轭极点的情况,包含多重极点的情况,不同实数极点情况,由这里可以看出任一留数,A,k,可以用下式求出,（,2-44,）,There are only single real poles in,F,(,s,),例,2-11,求 的拉氏反变换。,解：,由（,2-44,）式,利用表,2-1,中的有关公式：,包含有共轭极点的情况,如果,p,1,和,p,2,是共轭复数极点，那么式（,2-43,）可以展开成下式：,（,2-45,）,1,和,2,的值是用,(,s,+,p,1,)(,s,+,p,2,),乘以（,2-45,）的两边，并令,s,=-,p,1,或,(,s,=-,p,2,),而求得。,There are complex-conjugate poles in,F,(,s,),可以看出：除项（,1,s+,2,）,外，所有被展开的项都没有了。于是,（,2-46,）,因为,p,1,是一个复数值，方程两边也都是复数值。使方程（,2-46,）两边的实数部分相等，得到一个方程。同样，使方程两边的虚数部分相等，得到另一个方程，根据这两个方程就可以确定,1,和,2,。,例,2-12,求 的拉氏反变换。,解：,F(s,),可展开如下：,（,2-47,）,为了确定,1,，,2,，注意到,由（,2-46,）知,或,使方程两边实部和虚部分别相等，得,或,由此得：,为了确定,A,，用,S,乘以方程两边，并令,S,=0,，得,所以,则,F(s,),的拉普拉斯反变换为,由此例题可以看出：如果存在共轭极点的话，则反变换式中一定包括三角函数与指数函数的复合函数。,包含多重极点的情况,设,F(s,)=,B,(,s,)/,A,(,s,),，在,A,(,s,)=0,处有,r,个,-,p,1,重根,(,假设其余的根是不同的,),。,A,(,s,),就可以写成：,F(s,),的部分分式展开式为,(2-48),式中,A,r,、,A,r-1,、,、,A,1,分别按下式求得,There are repeated poles in,F,(,s,),（,2-49,）,的拉氏反变换是由下式 （表,2-1,，,9,）,（,2-50,）,给出的。而对应于实数极点的留数,B,r+1,、,B,r+2,、,、,B,n,仍由前面推导出的公式算，即,下面得到的就是,F(s,),的拉普拉斯反变换：,例,2-13,求 的拉氏反变换,解：,因而上式拉氏反变换为,将,A,1,、,A,2,、,B,1,、,B,2,代入前面方程得,四,.,用拉氏变换解常系数线性微分方程,将微分方程通过拉氏变换变为,s,的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,Solve ordinary differential equation by,Laplace,transform,例,2-14,解方程 ，其中，,解：将方程两边取拉氏变换，得,将 代入，并整理，得,所以,实例,设系统微分方程为：,即：,若,x,i,(,t,) =1(,t,),，初始条件分别为,x,o,(0),、,x,o,(0),，试求,x,o,(,t,),。,解：对微分方程左边进行拉氏变换,对方程右边进行拉氏变换,从而：,所以,当初始条件为零时：,第五节 传递函数,传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中所遇到的元件、部件或系统用典型环节表示出来。引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化 。,Transfer functions,一,.,传递函数的概念,在,零初始条件,下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,零初始条件,：,t,0,时，输入量及其各阶导数均为,0,；,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即,t, 0,时，输出量及其各阶导数也均为,0,；,设线性定常系统输入为,x,i,(,t,),，输出为,x,o,(,t,),，描述系统的微分方程的一般形式为：,（,2-51,）,式中，,n,m,；,a,n,b,m,均为系统结构参数所决定的定实常数 。（,n,、,m,=0,、,1,、,2,、,3,）,如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉氏变换后得,（,2-52,）,根据传递函数的定义，系统的传递函数,G,(,s,),为,(2-53),传递函数求解示例,质量,-,弹簧,-,阻尼系统的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,按照定义，系统的传递函数为：,R,-,L,-,C,无源电路网络的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,按照定义，系统的传递函数为：,传递函数是复数,s,域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数,G,(,s,),决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。,几点结论,特征方程,D,(,s,)=0,系统的特征方程，,􀃆,特征根。,特征方程决定着系统的动态特性。,D,(,s,),中,s,的最高阶次等于系统的阶次。,当,s,=0,时 系统的放大系数或增益,从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。,K,系统处于静态时，输出与输入的比值。,零点和极点,的根,，称为传递函数的,零点,；,的根,，称为传递函数的,极点,；,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。,！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,零、极点分布图,传递函数的零、极点分布图：,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。,零点用“,O”,表示,极点用“,”,表示,传递函数分母多项式中,s,的最高幂数代表了系统的阶数，如,s,的最高幂数为,n,则该系统为,n,阶系统。,结论,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入,输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数,G,(,s,),决定。,传递函数是复数,s,域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,注意,适用于线性定常系统,只适合于单输入单输出系统的描述,无法描述系统内部中间变量的变化情况,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律,传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数,例,2-15,试写出具有下述微分方程式的传递函数。,(1),(2),解：按,(2-53),式，则传递函数为,(1),(2),二,.,典型环节及其传递函数,具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个,环节,。经常遇到的环节称为,典型环节,。,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。,环节,设系统有,b,个实零点；,d,个实极点；,c,对复零点；,e,对复极点；,v,个零极点。,b,+2,c,=,m,v,+,d,+2,e,=,n,环节的分类,对于实零点 和实极点 ，其因式可以变换成如下形式：,对于复零点对 和 ，其因式可以变换成如下形式：,式中,对于复极点对 和 ，其因式可以变换成如下形式：,式中,于是，系统的传递函数可以写成：,式中：,为系统,静态放大倍数,。,由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：,一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：,比例环节：,一阶微分环节：,二阶微分环节：,振荡环节：,积分环节：,惯性环节：,实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间 ，即 ，此时：,或,因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节,延迟环节,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,二阶振荡环节,理想微分环节,延迟环节,1.,比例环节,其运动方程为：,（,2-54,）,则传递函数为,（,2-55,）,式中,k,比例系数,Proportional section,输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。,x,o,(,t,),、,x,i,(,t,) ,分别为环节的输出和输入量；,K,比例系数，等于输出量与输入量之比。,表,2-2,常见的比例环节,齿轮传动副,运算放大器,2.,积分环节,积分环节的运动方程为,（,2-56,）,传递函数为,（,2-57,）,Integral section,输出量正比于输入量对时间的积分。,式中，,T,积分环节的时间常数。,输出量取决于输入量对时间的积累过程。且具有记忆功能；,具有明显的滞后作用。,如当输入量为常值,A,时，由于,输出量须经过时间,T,才能达到输入量在,t= 0,时的值,A,。,积分环节特点：,积分环节常用来改善系统的稳态性能。,例,2-16,如图,2-9,所示的油缸，其输入为流量,q,，输出为油缸活塞的位移,x,，试写出其传递函数。,图,2-9,液压积分环节,解：活塞的速度为,所以位移,（,2-58,）,式中,A,活塞的面积,对式（,2-58,）取拉氏变换，并整理，则得其传递函数为 ：,（,2-59,）,例,2-17,如图,2-10,的无源网络，输入量为回路电流,i,，而输出量为,u,c,，试写出其传递函数。,图,2-10,电气积分环节,解：电容器充电电流,i,与电容器两端的电压,u,c,关系为,（,2-60,）,对式（,2-60,）进行拉氏变换得传递函数为,（,2-61,）,3.,惯性环节,（,2-62,）,（,2-63,）,惯性系统的传递函数是,式中，,x,o,为输出量，,x,i,为输入量。对上式进行拉氏变换得：,惯性环节的微分方程是,k,环节增益,(,放大系数,),；,T,为时间常数。,First-order section,式中,如：弹簧,-,阻尼器环节,弹簧,-,阻尼器组成的环节,例,2-18,如图,2-11,所示的无源网络，当输入电压,u,i,(,t,),输出电压,u,o,(,t,),，试写出其传递函数。,图,2-11,电气惯性系统,u,i,(,t,),u,o,(,t,),R,C,i,解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到 ：,（,2-64,）,（,2-65,）,由,(2-65),式得,（,2-66,）,将,(2-65),、,(2-66),代入,(2-64),式，且两边取拉氏变换，得到,（,2-67,）,式中,4.,微分环节,（,2-72,）,一阶微分环节,理想微分环节,（,2-73,）,二阶微分环节,(2-73a),式中，,T,为常数，, 为阻尼比。,Differential section,对应于上面微分方程式的传递函数分别为,理想微分环节,（,2-74,）,一阶微分环节,（,2-75,）,二阶微分环节,（,2-75a,）,其中，若 具有实根时，,(2-73a),、,(2-75a),所描述的环节就不是二阶微分环节，它实际上是两个一阶微分环节的串联。,测速发电机,无负载时,如：测速发电机,式中，,K,t,为电机常数。,例,2-20,所示的电气环节，输入电压,u,i,(,t,),输出电压为,u,o,(,t,),试写出其传递函数。,图,2-13,电气微分环节,解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到,(2-76),(2-77),u,i,(,t,),u,o,(,t,),R,C,i,经拉氏变换后，整理，可得传递函数为,(2-78),式中,如果,RC,很小，式,(2-78),可以近似写成,G,(s)=,Ts,。因此，当,T,=,RC,很小时,可以把图,2-13,所示的,RC,电路看成理想微分环节。此电路在脉冲电路中经常用到。,显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为,惯性微分环节,。,5.,振荡环节,(2-79),传递函数为,(2-80),Second-order section,含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：,式中，,T,振荡环节的时间常数,阻尼比，对于振荡环节，,0,1,K,比例系数,振荡环节传递函数的另一常用标准形式为,(,K,=1),：,n,称为无阻尼固有角频率。,对于平移机械系统，微分方程式为：,(2-81),其传递函数为,如：质量,-,弹簧,-,阻尼系统,传递函数：,当 时，为振荡环节。,式中,质量,-,弹簧,-,阻尼系统,6.,延迟环节,传递函数为,(2-82),输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延迟环节。运动方程为,Delay components,延迟环节与惯性环节的区别：,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；,延迟环节从输入开始之初，在,0 ,时间内,没有输出，但,t,=,之后，输出完全等于输入。,轧制钢板厚度测量,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件；,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,小结,第六节 系统方框图,系统方框图是控制系统的,动态数学模型,的图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其,功能,以及,信号,在系统中的,传递、变换过程,。,The block diagram,将系统中各元件的,名称或功用,写在框图单元中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，主要用来说明系统构成和工作原理。,一,.,方框图的结构要素,信号线,带有箭头的直线，,箭头,表示信号的,传递方向,，直线旁,标记变量,，即信号的时间函数或象函数。,信号线,信号引出点,(,线,),表示信号引出或测量的位置和传递方向。,同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,引出线,函数方框,(,环节,),传递函数的图解表示。,函数方框,函数方块具有运算功能，即,求和点,(,比较点、综合点,),信号之间代数加减运算的图解。用符号“ ”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“,+”,或“,-”,表示加上此信号或减去此信号。,相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。,求和点可以有多个输入，但,输出是唯一的,。,方框图示例,任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点,(,线,),及求和点组成的方框图来表示。,二,.,绘制系统框图的方法,1,、列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信号的因果关系（输入,/,输出）；,2,、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来；,3,、按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。,例,2-21,绘制图,2-21,所示的二阶,RC,回路的框图。,图,2-21,二阶,RC,回路,解：首先列出系统原始方程,(2-97),(2-98),(2-99),(2-100),求出与上述方程式相对应的拉氏变换式,(2-101),(2-102),(2-103),(2-104),三,.,系统方框图的简化,1.,串联,各环节一个个顺序连接称为串联，如图,2-17,所示。,前一框图的输出为后一框图的输入为,G,1,(,s,),、,G,2,(,s,),各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：,G,1,(,s,),G,2,(,s,),G,(,s,),=,G,1,(,s,),G,2,(,s,),Y,(,s,),Y,(,s,),Y,1,(,s,),X,(,s,),X,(,s,),图,2-17,串联连接,Block diagram reduction,Series connection,系统方框图的运算法则,上式说明，由串联环节所构成的系统，当无负载效应影响时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。当系统由,n,个环节串联而成时，总传递函数为：,(2-83),式中,G,i,(,s,),第,i,个串联环节的传递函数,(,i,=1,，,2,，,，,n,),凡有几个环节的输入相同，输出相加或相减的连接形式称为并联。图,2-18,为两个环节的并联，共同的输入为,X,(,s,),，总输出为,:,总的传递函数为,G,1,(,s,),G,2,(,s,),G,(,s,)=,G,1,(,s,)+,G,2,(,s,),X,(,s,),X,(,s,),Y,1,(,s,),Y,(,s,),Y,(,s,),Y,2,(,s,),+,+,图,2-18,并联连接,2.,并联,Parallel connection,这说明并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和,(,或差,),。推广到,n,个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即,（,2-84,）,式中,G,i,(,s,),第,i,个并联环节的传递函数,(,i,=1,，,2,，,，,n,),将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去。反馈信号与输入信号相加的称为“正反馈”，与输入信号相减的称为“负反馈”。,由图可见：,(2-85),(2-86),图,2-19,反馈连接,3.,反馈连接,Feedback,将,(2-86),式代入,(2-85),式，经整理后，可得传递函数为：,(2-87),(2-87),式中，传递函数分母的“,+”,号对应于负反馈情况，而“,-”,号对应于正反馈情况。,系统方框图的等效变换法则,The rules of the block diagram transforming,1.,求和点的移动,求和点后移,求和点前移,2.,引出点的移动,引出点前移,引出点后移,序号,原框图,等效框图,说明,1,加法交换律,2,加法结合律,3,乘法交换律,4,乘法结合律,表,2-3,框图变换法则,序号,原框图,等效框图,说明,5,并联环节简化,6,相加点前移,7,相加点后移,8,分枝点前移,序号,原框图,等效框图,说明,9,分枝点后移,10,分枝点前移越过比较点,11,分枝点后移越过比较点,上表中间一列画出了等效框图，所谓等效，其含义是这一框图与原框图不管内部联接如何变化，但从,进入到框图的输入信号以及输出信号,来看，这些量都是不变的。,结论：,1,、分支点可以互换；,2,、相加点可以互换；,3,、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传递函数；,4,、相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传递函数；,注意,：前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺着信号输出方向移动。,四,.,由系统方框图求传递函数,一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传递函数。,基本思路,：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。,例,2-22,求出如图,2-23,所示框图的传递函数。,图,2-23 a),1,、图,2-23(a),的分支点,A,后移到分支点,B,处，因而得到图,2-23(b),所示的方框图。它包括三个回路，分别以,、,、,标明。,解：,图,2-23 b),2,、第,回路的传递函数为：,以,F,3,(,s,),代替第,回路，从而得到图,2-23(c),图,2-23 c),3,、 第,回路的传递函数为：,以,F,2,(s),代替第,回路，从而得到图,2-23(d),。,图,2-23 d),4,、最后，得到系统的传递函数为：,可以将其表示在图,2-23(e),的框图中。,图,2-23 e),在前向通路中，所有经过的环节的乘积。可由下式计算：,(2-88),H,(,s,),称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即,(2-89),常用的几个术语,信号沿箭头方向从输入直到输出，并且每一路径不要重复的通道。,前向通路：,前向通路传递函数：,反馈回路传递函数：,五,.,梅逊公式,梅逊公式可表示为：,式中：,P,K,-,第,K,条前向通路的通路传递函数；,-,特征式，可由下式计算,上,式中,:,为所有不同回路的传递函数之和；,:,为每两个互不接触回路传递函数乘积之和；,:,为每三个互不接触回路传递函数乘积之和；,K,:,第,K,条前向通路特征式的余因式，其值是除去与第,K,条前向通路相接触回路传递函数以后的,值。,例,2-23,求出如图,2-23,所示框图的传递函数。,解：本系统只有