全国部分地区大学生物理竞赛热学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,全国部分地区大学生物理竞赛热学,物理竞赛辅导,热 学,气体动理论,基本公式：,1.,平均碰撞频率,2.,平均自由程,参见,大学物理学,上册第,115,页,特别注意：,3.,玻耳兹曼分布率：平衡态下某状态区间（粒子能量为,E,）的粒子数密度,4.,范德瓦耳斯方程：,1mol,气体,5.,热传导,1,.,一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运动的平均自由程仅决定于,(A),压强,p,(B),体积,V,(C),温度,T,(D),分子的平均碰撞频率,N,不变,历届考题：,2.,在下面四种情况中，何种将一定能使理想气体分子平均碰撞频率增大,?,(a),增大压强，提高温度,(c),降低压强，提高温度,(b),增大压强，降低温度,(d),降低压强，保持温度不变,4.,有一个边长为,10cm,的立方体容器，内盛处于标准状态下的,He,气，则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的数量级为,单位时间内碰一个器壁面的分子数为：,3,.,一大气压下，,27,时空气分子的平均动能是,_,。,空气主要由氮气、氧气构成，可看作双原子分子。室温下振动自由度未激活，分子的自由度为,5,，所以一个分子的平均动能为：,5,.,氧气在温度为,27,、压强为,1,个大气压时，分子的方均根速率为,485,米秒，那么在温度为,27,、压强为,0.5,个大气压时，分子的方均根速率为,_,米秒，分子的最可几速率为,_,米秒，分子的平均速率为,_,米秒。,三者均与压强无关，故仍有,6.,某气体在温度,T,1,时的分子最可几速率与在温度,T,2,时的分子 方均根速率相等，则,T,1,/,T,2,=_,。这种气体在压强为,p,时的密度为 ，此时它的分子方均根速率,_,。,7,.,已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图，试在该图上定性画出相同温度下氢气分子的速率分布曲线。,v,f,(,v,),N,2,H,2,又,8.,设气体分子服从麦克斯韦速率分布律， 代表平均速率， 代表最可几速率， 为一固定的速率间隔，则速率在,范围内的分子的百分率随着温度的增加将,_,，速率在 到 之间的分子的百分率随着温度的增加将,_,。,减少,不变,v,O,矩形面积减小,根据麦克斯韦速率分布律，在任意速率区间 内的分子数占总分子数的百分率为：,设,是恒定值，不随温度而变。,9.,真实气体在气缸内以温度 等温膨胀，推动活塞作功，活塞移动距离为,L,。若仅考虑分子占有体积去计算功，比不考虑时为,( ),；若仅考虑分子之间存在作用力去计算功，比不考虑时为,( ),。,(a),大；,(b),小；,(c),一样。,a,b,只考虑分子之间引力的影响，可取,b,=0,，由于 ，所以分之间引力的影响是使作功减少。,可用范德瓦尔斯气体代表真实气体来粗略讨论分子体积及分子间引力的影响。,1mol,范氏气体在,T,l,温度下等温膨胀，作功为：,只考虑分子体积影响时，可取,a,0,，由于 ，所以分子体积的影响是使作功增加。,10,.,在地面上竖立一根弯管，管的两端各连接一个盛水容器，弯管和容器都是绝热的，设初始时两容器中的温度相同,(,都等于,T,),，管内充满温度为,T,的饱和水蒸汽。在考虑重力作用的情况下，上述状态能否保持不变,?,为什么,?,如果发生变化，则最终状态与上述状态的差别何在,?,解：在重力作用下，上述状态不能保持不变。,因为在重力作用下，气体平衡条件要求压强随高度而减小，而上端容器中水与蒸汽平衡要求上端容器中蒸汽压为,p,T,(,温度为,T,时的饱和蒸汽压,),，同样，下端容器中水汽平衡要求下容器中蒸汽压亦为,p,T,，这三个条件不能同时成立。最终状态下水将完全出现在下端容器中。,11.,如图所示，一半径为,R,高为,H,的圆筒内盛有,N,个气体分子，每个分子的质量同为 ，圆筒绕轴以恒角速度 旋转，桶内气体的状态达到平衡后其温度为,T,，试求桶内气体分子的数密度,n,的分布规律。,(,注：不考虑重力的影响。,),R,N,T,H,解：每个分子受的惯性离心力为 ，,其相应的势能变化规律为,选转轴上为势能的零点，则,所以,所以,因,R,N,T,H,所以,12,.,两个无限长圆筒共轴地套在一起，内筒和外筒的半径分别为,R,1,和,R,2,。内筒和外筒分别保持在恒定的温度,T,1,和,T,2,，且,T,1,T,2,。已知两筒间的导热系数为,k,，试求稳定时离轴,r,处的温度。,(,R,1,r,R,2,),解：设单位长度内筒每秒向外传导的热量为,Q,，由于传导稳定，所以单位时间穿过内外筒间任一圆柱面,(,与内外筒共轴,),单位长度的热量亦应是,Q,。设该处温度随半径的变化率为 ，由热传导方程可知,积分得：,C,为积分常数,时，,时，,解得：,所以,r,处的温度为：,基本公式：,参见,大学物理,上册第,150,页,热力学第一定律,特别注意：,1.,对理想气体的任何热力学过程：,2.,解题过程中不要忘记用理想气体状态方程：,3.,解题时首先把各状态的状态参量列出来。,1,.,隔板,C,把绝热材料包裹的容器分为,A,、,B,两室。如图所示，,A,室内充以真实气体，,B,室为真空。现把,C,打开，,A,室气体充满整个容器，在此过程中，内能应,_,。,不变,A,B,该过程为绝热自由膨胀，,Q,=0,，,A,=0,，由热一律 ，所以内能应保持不变。,C,历届考题：,2,.,摩尔数相同的两种理想气体，第一种由单原子分子组成，第二种由双原子分子组成，现两种气体从同一初态出发，经历一准静态等压过程，体积膨胀到原来的两倍,(,假定气体的温度在室温附近,),。在两种气体经历的过程中，外界对气体作的功 与 之比为,_,；两种气体内能的变化 与 之比为,_,。,3/5,1,准静态过程气体对外作功：,由理想气体内能公式，可知单原子分子理想气体内能变化,双原子分子理想气体内能变化,对,x,过程，设想一微小变化：温度改变,d,T,，体积改变,d,V,，则由过程方程有,3,.,摩尔质量为 、摩尔数为 的单原子理想气体进行了一次,x,过程，在,p-V,图上过程曲线向下平移,p,0,后，恰好与温度为,T,0,的等温曲线重合，则,x,过程的过程方程,(,V-T,关系式,),为,_,，,x,过程的比热,c,与压强,p,的关系为,c,=_,。,V,p,p,0,p,0,x,过程,T,0,等温过程,解：,x,过程曲线向下平移,p,0,后，恰好与温度为,T,0,的等温曲线重合，由此可给出,状态方程为,x,过程的过程方程为,4,.,一摩尔氮气,(,设氮气服从范德瓦尔斯方程,),作等温膨胀，体积由,V,1,变到,V,2,。试求氮气,(,a,),对外界作的功；,(,b,),内能的改变；,(,c,),吸收的热量。,(,a,),由范德瓦尔斯方程,所以对外界作的功为,(,b,),一摩尔气体分子热运动的动能为 。作等温膨胀时 。,气体的内压强 。气体膨胀时 作负功，气体分子间相互作用的势能要增加 。由功能原理，保守内力作的功等于势能的减少，即,所以内能的增量：,(,c,),5,.,有,n,摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程，图中,p,0,、,V,0,是已知量，,ab,是直线，求,(1),气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量，,(2),在该过程中温度最高值是什么,?,最低值是什么,?,并在,p,一,V,图上指出其位置。,V,p,O,a,(3,p,0,V,0,),b,(,p,0,3,V,0,),解：,(1),由图知,由图知曲线下面积，即气体对外作功为,由热力学第一定律知,(2),由图知过程方程即,ab,直线的方程为,代入状态方程,极值处,解得,代入过程方程,所以该处温度为最大值,由于该直线上温度,T,只有一个极值，且已经知道它是极大值。所以温度最低值一定在端点,a,或,b,。但 ，故两端温度相同，都是最小值。将,p,=3,p,0,，,V,=,V,0,代入状态方程，即可得最低温度,(1),初态到中间态：空气和饱和蒸汽并存，对空气应用玻意耳定律：,6.,一气缸的初始容积为,30.5L,，内盛空气和少量水,(,水的体积可略,),，总压强为,3atm,。作等温膨胀使体积加倍，水恰好全部消失，此时总压强为,2atm,。继续等温膨胀，使体积再次加倍。空气和水汽均可看作理想气体，试求,：,(1),气体的温度,；,(2),最后的压强,；,(3),水和空气的摩尔数。,解： 由题设知：,初态：,，,T,0,，,中间态：,终态：,(2),中间态到终态：无水，空气和蒸汽并存，对混合气体应用玻意耳定律：,(3),将状态方程应用于初态空气，得空气摩尔数,将状态方程应用于终态混合气，得总摩尔数,7.,设高温热源的温度为低温热源的温度的,n,倍，理想气体经卡诺循环后，从高温热源吸收的热量与向低温热源放出的热量之比为,_,。,n,AC,绝热过程系统吸热,Q,0,，对外作功,A,0,，由热力学第一定律，系统内能增量 ,-A,0,。该系统为理想气体，其内能和热力学温度成正比，故,AC,过程 ，即,T,C,T,A,，对过程,ABC,亦然；对,ABCA,循环过程系统吸热,Q,A,0,，而,CA,过程,Q,0,，所以,ABC,过程中气体吸热为负值。,8,.,图中,MN,为某理想气体的绝热曲线，,ABC,是任意过程，箭头表示过程进行的方向。,ABC,过程结束后气体的温度,(,增加、减小或不变,)_,；气体所吸收的热量为,(,正、负或零,)_,。,减小,负,V,p,N,M,A,B,C,9.,有一卡诺循环，当热源温度为,100,，冷却器温度为,0,时，一循环作净功,8000J,，今维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增为,10000J,。若此两循环都工作于相同的二绝热线之间，工作物质为同质量的理想气体，则热源温度增为,_,；效率增为,_,。,Q,1,Q,2,O,V,p,T,1,T,2,1,2,3,4,V,1,V,4,V,2,V,3,10.,以可逆卡诺循环方式工作的致冷机，在某环境下它的致冷系数为 ,30.3,，在同样环境下把它用作热机，则其效率为 ,_,。,11.,房间内有一空调机，该机按可逆卡诺循环工作，在连续工作时，每秒需对该机作,P,焦耳的功。夏天该机从室内吸热释放至室外以降低室温。冬天将该机反向运行，从室外吸热释放至室内以提高室温。已知当室内、室外的温差为 时，每秒由室外漏入室内,(,或由室内漏至室外,),的热量 ，,A,为一常数。,(1),夏天该机连续工作时，室内能维持的稳定温度,T,2,为何,?,已知室外的温度恒定为,T,1,。,(2),冬天该机连续工作时，欲使室内能维持的稳定温度为 ，室外的最低温度 需为何,?,(1),由卡诺循环特点可知：,夏天欲使室内维持稳定温度,T,2,，需空调机每秒吸热,(2),同理有,12.1mol,单原子理想气体从初态压强,p,0,32Pa,，体积,V,0,8m,3,经,p,-,V,图上的直线过程到达终态压强,p,1,lPa,，体积,V,1,64m,3,；再经绝热过程回到初态，如此构成一循环。求此循环的效率。,V,p,O,V,0,V,A,V,1,a,(,p,0,V,0,),A(,p,A,V,A,),b,(,p,1,V,1,),解：该循环吸热与放热均在直线过程中发生，如图所示。首先求吸、放热转折点,A,的状态参量,p,A,、,V,A,。设直线过程方程为,对某元过程有,元过程中内能增量,在转折点,A,附近的元过程应有,把已知条件带入,由 吸热为,由 放热为,V,p,O,V,0,V,A,V,1,a,(,p,0,V,0,),A(,p,A,V,A,),b,(,p,1,V,1,),13.,某气体系统在,p,一,V,坐标面上的一条循环过程线如图所示，试证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量。,O,p,V,经此循环，系统恢复原态，其内能增量 ，而系统对外作功,A,不为零,(,绝对值为,p-V,图中曲线面积,),，此与热力学第一定律 矛盾，故所设不正确，即循环过程中系统的摩尔热容不可能为恒量，命题得证。,证：采用反证法。设其摩尔热容量是恒量,C,1,，则循环过程中系统所吸热量为,14.,某单原子理想气体经历的一准静态过程中，压强,p,与温度,T,成反比例关系。,(1),求此过程种该气体的摩尔热容量,C,；,(2),设过程中某一状态的压强为,p,0,，体积为,V,0,，试求在体积从,V,0,增到,2,V,0,的一般过程中气体对外作功量,A,。,解,：,(1),设过程方程为,其中 为常量。将此过程方程与状态方程,联立，消去,p,，可得该过程中,V,与,T,的关系为,由热力学第一定律和能量均分定理知，该系统经历的任一元过程中的吸热量为,将,代入得,所以，该过程中的摩尔热容量为,(2),由上述讨论知，在一个元过程中系统对外界作功为,设体积为,V,0,时对应温度为,T,0,，那么由前面得到的过程方程可得，体积为,2,V,0,时对应的温度为,于是，体积从,V,0,增到,2,V,0,的过程中气体对外界作功为,又因为,所以,15.,某气体的状态方程可表述为 ，该气体所经历的循环过程如图所示。气体经,bc,过程对外作功量为,W,=_,，经过一个循环过程吸收的热量,Q,=_,。,O,V,p,b,c,a,等温,2p,0,p,0,V,0,2V,0,解：,bc,等温过程对外作功为,ca,等压过程对外作功为,ab,等体过程对外不作功。经过一个循环过程吸收的热量等于对外作的总功，即,热力学第二定律,基本公式：,特别注意：,克劳修斯熵公式,（可逆过程）,（可逆过程）,参见,大学物理,上册第,150,页,1.,一个系统经历的过程是不可逆的，就是说，该系统不可能再回到原来的状态。,( ),2.,假设某一循环由等温过程和绝热过程组成,(,如图,),，可以认为,( ),(,a,),此循环过程违反热力学第一定律；,(,b,),此循环过程违反热力学第二定律；,(,c,),此循环过程既违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律。,V,p,等温,绝热,按如图曲线做一个正循环，相当于从单一热源吸热完全转为功而没有其他变化，所以违反热力学第二定律。但是这样的循环不见得违反热力学第一定律,(,如果从外界吸收的热量等于对外界作的净功,),。,历届考题：,3.,对于理想气体，在下列各图所示的循环过程中，哪些是物理上不可实现的,?,V,p,V,p,V,p,V,p,等温,绝热,等容,等压,绝热,等容,等温,绝热,绝热,绝热,绝热,等温,(A),(B),(C),(D),对理想气体，绝热线比等温线陡，由热二律可以证明二条绝热线不能交于一点，所以,A,、,C,、,D,过程都是不能实现的。,4.,从单一热源吸取热量并将其完全用来对外作功，是不违反热力学第二定律的，例如,_,过程就是这种情况,。,理想气体的等温膨胀,理想气体作等温膨胀就是将所吸的热量全部用来对外作功的过程。但这过程里气体体积膨胀了，即产生了“其它影响”。因开尔文表述是：“不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用功而不产生其它影响”，所以说此等温过程是不违反热力学第二定律的本题要求的过程。,5. lkg,冰在,0,、,1atm,下熔解为水的过程中的熵增量为,_,。,(,已知冰的熔解热为,333kJ,kg),此过程是可逆的,6.,设有一刚性绝热容器，其中一半充有 摩尔理想气体，另一半为真空，现将隔板抽去，使气体自由膨胀到整个容器中。试求该气体熵的变化,(,不能直接用理想气体熵的公式计算,),。,V,V,解：理想气体绝热自由膨胀后由于内能不变，故温度也不变。计算熵的改变时，可选取一个等温准静态膨胀过程，使体积由 。,7. 1mol,水蒸气,(,可视为刚性分子，且不考虑量子效应,),，经历如图,abca,循环过程，,ab,为等压过程，,bc,为等容过程，,ca,在,p,-,V,图上为一直线。已知,b,态温度为,600K,。则,ab,过程系统吸热,Q,ab,=_,，,ca,过程系统吸热,Q,ca,=_,，一次循环过程系统净吸热为,_,，该循环的热效率,=_,。,V,p,O,V,0,2,V,0,p,0,2,p,0,a,b,c,解：对,b,点有,4,p,0,V,0,=,RT,b,，得,对,a,点和,c,点有,净吸热为,由,p-V,图可求出,ca,的过程方程,(1),对过程,cm,有,令 ，求出 ，代入（,1,）式得 ，,即在状态 处的温度为 。,m,V,p,O,V,0,2,V,0,p,0,2,p,0,a,b,c,在,ca,过程中，,m,处的熵最大，故,cm,过程为纯吸热过程，吸的热为,m,V,p,O,V,0,2,V,0,p,0,2,p,0,a,b,c,8.,设有一刚性容器内装有温度为,T,0,的,1,摩尔氮气，在此气体和温度也为,T,0,的热源之间工作一个制冷机，它从热源吸收热量,Q,2,，向容器中的气体放出热量,Q,1,。经一段时间后，容器中氮气的温度升至,T,1,。试证明该过程中制冷机必须消耗的功,T,0,Q,2,Q,1,W,工质,证明：依题意，所讨论系统中制冷机的工作原,理可示意如图，则该过程中制冷机必须,消耗的功为,因为氮气所处容器是刚性的，则其由,的过程为等体过程，于是有,T,0,Q,2,Q,1,W,工质,又由题意知，该过程中热源、氮气和制冷机的工作物质的熵变分别为,因为热源、氮气和制冷机组成的整体为一封闭孤立系统，则由熵增加原理可知,所以,那么,整理化简即得,9.,如图所示，两个与大气接触的竖立柱形气缸内分别存有同种理想气体，中间细管绝热阀门,K,关闭，缸内气体温度和体积各为,T,1,、,V,1,和,T,2,、,V,2,。两缸上方均有轻质可动活塞，活塞与气缸壁间无空隙且无摩擦，系统与外界绝热。,(1),将阀门,K,缓慢打开，试求缸内气体混合平衡后的总体积,V,；,(2),设该种理想气体的定体摩尔热容量为,C,V,，开始时两边气体摩尔数同为 ，试求按,(1),问所述气体混合平衡后系统熵增量,(,要求答案中不含有,V,1,、,V,2,量,),，并在 时确定 的正负号。,K,T,2,、,V,2,T,1,、,V,1,解：将大气压强记为,p,0,，两边气体摩尔数分别记为 、 ，压强则恒为,p,0,。设平衡后系统温度,T,，系统体积增量记为 ，内能增量记为 ，过程中系统对外作功量记为,W,，则有,由上述诸式可解得,因此，平衡后系统体积为,(2),计算熵时，原左边气体和右边气体在系统平衡态中，可分别等效处理成温度为,T,、体积为,V,1,和温度为,T,、体积为,V,2,的状态。系统熵增量便为,据,(1),问，,，可得,，可得,又由,在 时，有,故 为正,10.,比热同为常量,c,，质量同为,m,的,6,个球体，其中,A,球的温度为,T,0,，其余,5,个球的温度同为,2,T,0,。通过球与球相互接触中发生的热传导，可使,A,球的温度升高。假设接触过程与外界绝热，则,A,球可达到的最高温度为,_,T,0,，对应的,A,球熵增量为,_,mc,。,解：使,A,球依次与其他球接触而达到热平衡，,A,球的温度依次为,T,1,，,T,2,，,T,3,，,T,4,，,T,5,。由于接触过程绝热，则,A,球吸收的热量等于其他球放出的热量。,