连续时间系统的系统函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,根据激励和响应所在端口的不同又可以把系统函数分为,策动点函数、传输函数和转移函数。,零状态相应的拉氏变换,激励信号的拉氏变换,第六章 连续时间系统的系统函数,系统函数也称作系统的,转移函数、传递函数,等,系统函数 定义为零状态响应函数的象函数 与激励函数象函数 之比，即,由于激励和响应即可以是电流，也可以是电压，所以系统函数有不同的,量纲,。,1.,策动点函数,（输入函数）：激励和响应在同一个端口,两者互为,倒数,关系。,输入阻抗,：,输入导纳,：,电流传输函数,激励为电流源，响应为另一个端口的电压,激励为电压源，响应为另一个端口的电流,2.,传输函数,（激励与响应不在同一端口时）,电压传输函数,3.,转移函数,（激励与响应不在同一端口时）,转移阻抗函数,转移导纳函数,系统函数与系统的单位冲激响应信号构成一拉氏变换对的关系,:,从,系统综合,角度看，给定系统的技术指标，找出相应的系统的零极点及系统函数，就可用相应的模型加以实现。,从,分析系统,的角度看，通过分析系统函数，可以知道系统零极点的分布情况、系统的稳定性及系统的频响特性等基本特性。,反映了,系统时域特性,，而 则是在 域中来描述,系统特性,，如系统的稳定性、零极点位置等。,系统函数,的一般形式是一个,有理分式,，其分子分母都是复变量,s,的多项式，即,表示系统函数的方法常用三种方法：,频率特性曲线,、,复轨迹,和,极点零点分布图,。,6.1,系统函数的表示法,1.,频率特性,（即系统的频率响应特性）,例如,：,则,所以,0,从曲线上，可一目了然地看出,系统的频率特性。,在通信、控制以及电力系统中，一种重要的组成部件就是滤波网络，而滤波网络的研究就需要从它的频响特性入手分析。,有时，频响特性曲线是在对数尺度的坐标轴中作出，称这种图为,波特图,。,所谓,“,系统频响,”,是指系统在正弦信号激励之下，稳态响应随信号频率的变化情况。,2.,复轨迹,系统函数 是复频率 的函数，它的模量和相角也是 的函数。给定一个 值，可有一对相应的模量和相角与之对应。,在复变函数理论中，就是 平面中的点到 平面中的映射。当 中的 给定而 变化，就可在 平面中得到一条幅度相角特性曲线；,一系列的 值对应一族幅相特性曲线。,=0,情况（正弦激励情况），即 平面中的 轴到 平面中的映射，这时得到的这条曲线叫做,系统函数的复轨迹,。,映射,例,：,1,V,U,0,平面,0,平面,系统函数可以表示成有理函数的形式，即,3.,极点、零点图,(Pole-Zero Plot ),极点,使,为无穷大的,值，即分母多项式等于,0,的,根；,零点,使,为,0,的,值，即分子多象是等于0的根。,显然,极点,零点,0,S,平面,例如：,极点：,零点：,系统函数的零极点分布图,6.2,系统函数的极零点分布及稳定,一、系统函数极零点分布及其时域模型,若,说明,在,无穷大处有一,阶,零点,；,若,说明,在,无穷大处有一,阶,极点,；,对于实系统，系统函数的零极点在 平面有限区域内呈实的和共轭特性，而在无穷远处，由,(1),式,:,因为,所以，,系统函数的极点在,S,平面中的位置,就决定了其时域模式：,2.,负实轴上的极点对应,：,(,单阶,),(,二阶,),，等,对应收敛模式,1.,正实轴上的极点对应,：,(,单阶,),(,二阶,),，等,对应发散模式,3.,左半平面的共轭极点对应,：,(,单阶,),(,二阶,),，等,对应收敛模式,4.,右半平面的共轭极点对应,：,(,单阶,),(,二阶,),，等,对应发散模式,5,.,虚轴上的,单阶极点,对应,等幅,的正弦振荡。,二阶以上极点,对应,发散,的正弦振荡；,6,.,原点上的,单阶极点,对应,单位阶跃信号,，而原点上的,重阶极点,对应,的,正幂函数,。,二、,系统的稳定及其条件,1.,从时域看,说明系统稳定，,其中 为有限值,稳定系统,：对于,有界的激励信号产生有界的响应信号,；,(Stable Systems),不稳定系统,：对于,有界的激励信号产生无限增长的响,应信号。,(Unstable Systems),除个别孤立的冲激函数外，单位冲激响应都应是,有限的,，即,M,是有限的正实数,结论：,系统的单位冲激响应信号必须满足,绝对可积,的条件，这不但是系统稳定的,充分条件,，也是系统稳定的,必要条件,。以例说明：,（A）,满足这种条件的稳定系统称为,渐近稳定系统。,若令,则,说明,有限，,就有限；,无限，,就无限。,所以，（,A,）,式是,充分必要条件,2.,从复频域看,系统稳定要求,H(S),的零、极点分布,必须满足,：, 在右半平面不能有极点；,若,说明,在,无穷大处有一,阶,零点,；,若,说明,在,无穷大处有一,阶,极点,；,由,前面分析知, 在虚轴上的极点必须是单阶的。,(,对应临界稳定系统,),因此对系统函数的要求就是其分子多项式的次数只能比分母多项式的次数高,1,阶，即,对,稳定的转移函数：,例如：设 为转移函数且,，,则,其中,A,为常数,若,则,响应中必含有 项，对应的时域模式为：,说明响应随频率的无限趋大而趋于无穷大,而对,策动点函数，,且,零极点均在平面左半平面,反馈系统,输出或部分输出反过来馈送至输入，从而引起输出本身变化的系统。,简化的反馈系统的方框图如下：,三、反馈系统,(Linear Feedback Systems),称为,开环增益,(Opened-loop System Function),整个系统的系统函数称为,闭环系统函数,，由框图得,Closed-loop System Function,1,、系统稳定性判断,实极点,虚轴上的共轭极点,原点处的极点,共轭复极点,要使系统稳定，需满足：,系统函数分母多项式 的几种因子,结论,，,的系数全部都为正实数,；且为下面三种情况之一：,多项式 系数无缺项（ 除外,）；,缺全部偶次项,；,缺全部奇次项,。,这仅仅是必要条件。,罗斯,-,霍维茨阵列,。,递推公式为,：,2.,罗斯,-,霍维茨判据,（,1877,年、,1895,年罗斯和霍维茨先后提出）,在无法断定系统的稳定性时，采用该准则。,系统的特征方程为：,表中：,称 为,罗斯,-,霍维茨数列。,罗斯,-,霍维茨判据,：在满足前述结论的条件下，在罗斯,-,霍维茨数列中，顺次计算的符号变换的次数等于方程所具有的实部为正的根数。,例,：设系统特征方程为,，,试判断该系统是否稳定。,解：,在罗斯,-,霍维茨数列中，符号变化了两次，说明有两个右半平面的根，所以系统不稳定。,解：,R-H,数列中：,当 时，数列变号两次；,当 时，数列变号两次；,所以该系统不稳定。,例,：已知系统特征方程为,计算,R-H,阵列时，有时出现 的情况，使计算无法进行。此时可将特征方程乘以因式,，,再重新排列出阵列并进行判断（相当于在原系统上增加了一个 的极点）；另一种方法是用一个无穷小量 来代替零，继续排列下去，然后令 加以判定。,试判定系统的稳定性。,在计算,R-H,阵列时，如连续两行数字相等或成比例，则下一行元素全部为,0,，阵列无法排下去，此时说明系统函数在虚轴上有极点，这种情况处理如下：,由全零行的前一行元素构成一个,辅助多项式,，用此多项式导数的系数代替全零行，继续罗斯,-,霍维茨阵列的计算。,R-H,数列变号，系统不稳定；不变号的情况下，虚轴上有单阶极点，系统临界稳定，否则不稳定。,因为辅助多项式是原系统多项形式的一个因式，令它等于零所求得的根,是系统函数的极点,，这些极点分布于虚轴上，因此这时的判据除审查罗斯,-,霍维茨数列,是否变号外,，还需察看,虚轴上极点的阶数。,R-H,数列不变号，说明,S,的右半平面内无极点。,均是单阶极点，该系统临界稳定。,例,：系统特征方成为,判断系统的稳定性。,解：,辅助多项式,:,求导,令,解得,6.3,波特图,(Bode Plots),一、系统函数的极点、零点与系统频响特性的,关系,系统函数：,频率响应：,所以,幅频特性,相频特性,解：,RC,网络的,系统函数,为,A,0,1,0,例,：,+,+,该网络的幅频特性为一常数，说明网络对各种频率的信号一视同仁地传输，所以称为全通，而相频特性不同的零极点分布有所不同，这种网络通常用作,相位校正。,若零点的位置靠近虚轴，则系统的幅频响应将在该频率点出现谷点；若极点的位置靠近虚轴，则系统的幅频响应将在该频率点出现峰点，,以此可定性地判断出网络的选频特性,。,由系统函数的极零点分布情况可定义出以下几种网络：,全通网络,(All-Pass Systems),：,系统函数的极点与零点关于虚轴对称，这种网络的系统函数称为,全通函数,。,0,最小相移函数,：系统函数的极点与零点均在,S,平面的左半平面，相应的网络称为最小相移网络。顾名思义，所谓最小相移网络是指网络产生的,相移最小,。,非最小相移函数,：,S,平面的右半平面有零点。,最小相移网络,非最小相移网络,二、波特图：（,H.W.Bode,提出）,3.,系数函数取对数后，把乘除运算转换为加减运算。,该方法使频响曲线能够用折线来近似，可迅速地观察到频响曲线的主要特征，方便简捷。,波特图法,是另一种描绘系统频响特性的方法，优点：,1.,对于横坐标而言，可以在同一幅图上把低频至高频部分的曲线变化情况同时表现清楚。,2.,对于纵坐标，也可以同时细致地反映较大与较小的幅度传输系数值。,波特图,：以系统函数模量的对数值和相位大小相对于对数尺度所作出的频率特性曲线称为波特图。,1.,对数频率特性,系统的,频响特性,为,:,取,自然对数：,取,常用对数并乘,20,，单位为分贝,(dB),，,此时,分贝与奈培之间的换算关系：,习惯上,G(,),的单位用,分贝,其中 称为,对数增益,，简称增益，单位为 奈培,(),为相位特性,，单位为弧度或度。,因为,所以,其中,相位,2 .,一次因式的增益,假设极点和零点都是,单阶的,，且是实的，先考虑一个,零点因式,:,于是该因式的,对数增益,为,:,相角,为,:,其中,则,考虑对数增益，式中：第一项,与, 无关,，可归并到 中考虑，第二项用,来表示，即,:,高频渐近线与低频渐近线有一个,交点,该交点对应的频率,1,称为,断点或折断频率。,当 时,称之为,低频渐近线方程,，它与横坐标重合。,当 时,称之为,高频渐近线方程,。,自变量,(,高频渐近线是一条直线,),低频渐近线,高频渐近线,折断频率,上述折线在频率较低或较高,时，清楚地反映了幅度特性随频率的变化关系（反映了实际曲线）,由,高频渐近线方程,:,可得,:,说明频率每增加,1,倍（是原来的,10,倍），增益就增加,6 dB,（,20 dB,），,称之为,6dB/,倍频程（,20dB/10,倍频）,当极点或零点为零,时，对应的增益曲线为,20log,，,是通过原点的直线。,频率在折断频率附近时，将有一定的误差，而且在折断处的,误差最大,。该误差可以通过直接计算增益加以修正。,一次因式的具体作图步骤：,1,）首先由零点或极点找出,折断频率；,或,2,）做,低频渐近线,和,高频渐近线（,6dB/,倍频程）；,3,）将若干个一阶零点和若干个一阶极点折线（折断频率不同）,叠加,；,4,）计算,1/2,折断频率点、折断频率点、,2,倍折断频率点,的增益对上述折线进行修正。,注意,：,一阶极点的折线与零点的折线相反，其高频渐近线的斜率为负。,求幅频响应特性的波特图：设,解:,例,：如图所示 电路，写出电压传输函数的表达式,代入参数，可得两极点为：,有,3,个一阶因式,所以,折断频率：,I,II,IV,II,III,IV,I,0,20,1,2,3,-40,III,3.,一次因式的相角,一次零点因式的相角为,当 时，,设,当频率很低,当频率很高,三条直线构成折线，然后对特殊点进行修正。,有若干个一次因式时，相角就是上述特性的叠加，对应极点的一次因式相角为,4.,二次因式,当系统函数有,共轭复极点和共轭复零点,时，可构成二次因式。以零点为例：,当零点位于原点时，因式 的相角为,90,，且不随频率变化。,设 是系统函数的,一对共轭零点,，则函数分子中有二次因式,被称为,阻尼比,。,其中：,当取对数后，第一项是一个不随频率变化的常数，并入 中去，只考虑与,有关的项，这样，,二次因式的对数增益,为：,相角为,当 时， ，增益的,高频渐近线,为：,增益：,当,时，增益的,低频渐近线,为：,两渐近线的交点即折断频率为,与 无关,12dB/,倍频程,折断频率点处的增益：,与 有关,得到一族曲线,相位特性,：,在折断频率,处，,折断频率附近,相位特性,由,小于,90,，较快地变化为,大于,90,，且 愈小变化愈快。,当,系统函数有,重阶零点和极点,时，可看成若干个一次因式相乘的形式，增益则为折断频率相同的若干个一次因式增益的迭加，相位特性也同样是若干个一次因式相位的迭加。,当 很小时,，,当,很大时,，,例,：已知某网络的转移函数为 ，求此网络的增益和相位特性。,解：,折断频率,本章小結,基本概念,：系統函数、系統函数的极零图、稳定系统、渐进稳定系统、临界稳定系统、全通网络、最小相移网络、罗斯,-,霍维茨判据、波特图。,基本计算,：求系统函数；画系统的频率特性曲线、极零图；由系统零极点的分布与时域模式的对应关系、系统稳定的时域条件和复频域条件、利用罗斯,-,霍维茨判据判断系统的稳定性；由系统函数零点和极点分布确定系统的频响曲线，求系统函数的波特图。,