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,page,控制工程基础,第二章 拉普拉斯变换,机电工程学院,41,微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇到一些困难。,拉普拉斯变换（简称拉氏变换）,是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。,在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的,:,用它来研究系统动态特性,.,因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是,建立在拉氏变换的基础之上的。,主要内容,第一节 拉氏变换的定义,第二节 典型函数的拉氏变换,第三节 拉氏变换的性质,第四节 拉氏反变换,第五节 用拉氏变换解微分方程,第一节,拉普拉斯变换的定义,对时间函数,f(t),，,t0,，,f(t),的拉普拉斯变换,Lf(t),（简称拉氏变换）或,F(s),定义为,(2-1-1),原函数,象函数,一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是,：,(1),在,t0,时，,(2),在,t0,的任一有限区间内，,f(t),是分段连续的；,(3),加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的,而且常常随着时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析,工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入,即,单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位脉冲函数,等。,第二节,典型函数的拉氏变换,1,、单位脉冲函数,性质,其拉氏变换,且,1,图,2-2-1,单位脉冲函数,2,、单位阶跃函数,图,2-2-2,单位阶跃函数,1,0,t,其拉氏变换,3,、单位斜坡函数,图,2-2-3,单位斜坡函数,其拉氏变换,4,、等加速函数,其拉氏变换,5,、指数函数,其拉氏变换,其拉氏变换,6,、正弦函数,其拉氏变换,余弦函数,注,:,欧拉公式,设,则,1,、线性性质齐次性和叠加性,第三节 拉氏变换的性质,时域位移定理,复数域位移定理,2,、位移定理,3,、微分性质,推论,若,特别地，当,4,、积分性质,推论,若,特别地，当,5,、初值定理,6,、终值定理,且,F(s),在,s,平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则函数的终值为,7,、卷积定理,则,若,卷积符号,第四节 拉氏反变换,从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。,求拉氏反变换的方法有：,(1),查表法,(2),部分分式法,(3),有理分式法,一般象函数可以表示成如下的有理分式,分母进行因式分解,1,、当,A(s)=0,无重极点,(n,个不等根,),时，,F(s),可表示为,因此,原函数为,例,1,已知,试求原函数,.,解：写成部分分式形式,课堂练习：求,F,（,s,）的拉氏反变换,2,、当,A(s)=0,有重根,时，,F(s),可表示为,式中,为重极点对应的待定系数,其余系数 的求法与第一种情况所述的方法相同,因此， 的拉氏反变换为,例,2,已知 ，试求原函数,f(t),。,解：,第五节 用拉氏变换解微分方程,(3),取拉氏反变换，得微分方程解。,利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：,(1),对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；,(2),由代数方程解象函数；,解：,将初始条件代入得,例,3,求微分方程,满足初始条件,的解。,谢谢！,
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