超静定结构内力分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.4,超静定结构内力分析,Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures,遵循材料力学中,同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想,，可有不同的出发点：,以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题,，这种分析方法称为,力法,（,force method,）。,以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题,，这种分析方法称为,位移法,（,displacement method,）。,如果一个问题中,既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡,，这样一种分析方案称为,混合法,（,mixture method,）。,在本节主要介绍力法,超静定次数,=,未知力的个数,-,静力平衡方程个数,=,多余约束数,=,变成基本结构所需解除的约束数,(1),确定结构的超静定次数和基本结构,(,体系,),基本结构,静定结构,(1,次）,切断一个链杆相当于去掉一个约束。,（,3,次）,或,切断一个连续杆相当于,去掉三个约束。,增加一个单铰相当于去掉一个防止转动的约束,(6,次,),(4,次,),(b),一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。因此，要选取工作量较少的基本结构。,确定超静定次数时应注意：,(c),可变体系不能作为基本结构,切断弯曲杆次数,3,、链杆,1,，刚结变单铰,1,，拆开单铰,2,。,总次数也可由,计算自由度,得到。,基本原理举例,例,1.,求解图示单跨梁,原结构,基本体系,fundamental system or primary system,转化,变形协调条件,力法典型方程,(The Compatibility Equation of Force Method ),未知力的位移,“载荷”的位移,总位移等于已知位移,8,q,（b）,（c）,力法基本方程,系数求法,单位弯矩图,载荷弯矩图,位移系数,自乘,广义荷载位移,互乘,代入力法方程,（,1,）,EI,q,l,M,（,2,）,9,绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）,单位弯矩图,载荷弯矩图,基本体系有多种选择；,1,EI,q,（a）,q,（b）,q,q,q,q,),),（c）,10,力法的基本思路,超静定计算简图,解除约束转化成静定的,基本结构承受荷载和多余未知力,基本体系受力、变形解法已知,力法的基本思路,用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形,同样方法分析“荷载”下的受力、变形,位移包含基本未知力,X,i,为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件,由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题,P,F,P,或,基本未知力引起的位移,载荷引起的位移,变形协调条件,力法典型方程,3m,3m,3m,3m,q=1kN/m,P=3kN,I,2I,2I,1,2,3,4,1,、基本体系与基本未知量：,2,、基本方程,3m,3m,3m,3m,q=1kN/m,P=3kN,I,2I,2I,1,2,3,4,18,27,9,6,6,3,6,6,3,、系数与 自由项,15,4,、 解方程,5,、内力,2.67,2,1.33,3.56,4.33,5.66,2.67,3.33,1.11,1.9,3.33,1.11,3.33,1.9,3m,3m,3m,3m,3m,q,=1kN/m,P,=3kN,I,2,I,2,I,1,2,3,4,2,1.33,3.56,4.33,5.66,如计算第,4,点的水平位移,1,荷载作用,例,2.,求解图示结构,原结构,F,P,基本体系 一,F,P,解法,1:,有两个多于约束,解除约束代以未知力,基,本,未,知,力,F,P,F,P,a,作单位和载荷弯矩图,求系数、建立力法方程并求解,仅与刚度相对值有关,F,P,F,P,a,F,P,（,F,p,a,）,由叠加原理求得,力法基本思路小结,根据结构组成分析，正确判断多余约束个数,超静定次数,。,解除多余约束，转化为静定的,基本结构,。多余约束代以多余未知力,基本未知力,。,分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立,位移协调条件,力法典型方程,。,从典型方程解得基本未知力，由,叠加原理,获得结构内力。,超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。,由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。,解法,2,：,原结构,基本体系,F,P,F,P,解法,3,：,原结构,基本体系,F,P,F,P,原结构,F,P,基本体系,F,P,M,1,图,M,2,图,F,P,a,F,P,M,P,图,单位和载荷弯矩图,F,P,a,F,P,由单位和载荷弯矩图可勾画出基本体系变形图,F,P,F,P,a,F,P,由单位和载荷,M,图可求得位移系数、建立方程,F,P,（,F,p,a,）,原结构,F,P,F,P,a,F,P,单位和载荷弯矩图,基本体系,F,P,能否取基本体系为,F,P,问题：,(,),(2) 建立力法典型方程,或写作矩阵方程,小结：,力法的解题步骤,(1),确定结构的超静定次数和基本结构,(,体系,),(3),作基本结构在单位力和载荷作用下的弯矩（内力）图,(4),求基本结构的位移系数,(5) 求,基本结构的,广,义载荷,位移,注意：,用图乘法求 和 时应注意图乘条件,(6),解方程求未知力,图乘来求,(7)根据叠加原理作超静定结构,的,内力图,(8),任,取,一基本结构，求超静定结构,的位移,例如求,K,截面竖向位移：,F,P,（,F,p,a,）,K,F,P,（,F,p,a,）,K,（,9,）对计算结果进行校核,对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。,如：,问题：使结构上的任一部分都处于平 衡,的解答是否就是问题的正确解？,F,P,（,F,p,a,）,原结构,F,P,基本体系,F,P,假如：,由,可证：平衡条件均能满足。,求得：,(,),但：,F,P,F,P,a,M,图,结论：,对计算结果除需进行力的校核外，,还必需进行位移的校核。,F,P,（,F,p,a,）,例,1.,求解图示两端固支梁。,解：取简支梁为基本体系,力法典型方程为：,F,P,基本体系,F,P,单位和荷载弯矩图 为：,EI,由于,所以,又由于,于是有,图,F,P,两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力,典型方程改写为,图乘求得位移系数为,代入并求解可得,F,P,ab,l,F,P,a,2,b,l,2,F,P,ab,2,l,2,n,次超静定结构,1,）,的物理意义；,2,）由位移互等定理,；,3,） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；,4,）柔度系数及其性质,对称方阵,系数行列式之值,0,主系数,副系数,5,),最后内力,位移的地点,产生位移的原因,13,a,a,P,1,2,3,4,5,6,P,EA,=,c,1,P,P,P,P,0,（,1,）基本体系与未知量,（,2,）力法方程,（,3,）系数与自由项,20,超静定桁架,a,a,P,0.396,P,0.396,P,0.396,P,-0.604,P,-0.854,P,-0.56,P,P,思考：,若取上面的基本体系，力法方程有没有变化,?,21,力法方程：,（,4,）解方程,（,5,）内力,10-5,力法计算的简化,一、对称性的利用,对称的含义：,1,、结构的几何形状和支座情况对某轴对称；,2,、杆件截面和材料（,E I,、,EA,）,也对称。,4,P,5,6,正对称荷载,反对称荷载,0.5,P,0.5,P,1,、奇数跨对称结构的半边结构,2,、偶数跨对称结构的半边结构,正对称荷载作用下，对称轴截面只产生轴力和弯矩。,反对称荷载作用下，对称轴截面只产生剪力。,1,）正对称荷载作用下,不考虑轴向变形条件下，可简化为：,2,）反对称荷载作用下,l,7,（,2,）,未知力分组和载荷分组,力法典型方程成为：,对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：,（,3,）,取半结构计算：,对称轴,问题：偶数跨对称刚架如何处理？,（d）,（c）,例,1.,试用对称性对结构进行简化。,EI,为常数。,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,I/2,I/2,F,P,/2,F,P,/2,I/2,方法,1,F,P,F,P,/2,F,P,/2,F,P,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,I,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,I,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,I,/2,F,P,/4,F,P,/4,无弯矩，,不需求解,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,I,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,I,/2,F,P,/4,F,P,/4,I,/2,方法,2,无弯矩，,不需求解,F,P,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/4,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,又看到您了！,I,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,I,/2,F,P,/4,F,P,/4,I,/2,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/4,F,P,/2,F,P,/2,二、 使单位弯矩图限于局部,三、 合理地安排铰的位置,对称结构按跨数可分为,返,回,支座移动时的计算,h,l,1,h,1,“c”,1,基本方程的物理意义？,基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。,1,h,1,（,1,）等号右端可以不等于零,（,2,）自由项的意义,（,3,）内力仅由多余未知力产生,（,4,）内力与,EI,的绝对值有关,讨论,:,2,方程的物理意义是否明确？,例,5.,求解图示刚架由于支座移动所产生的内力。,解：取图示基本结构,力法典型方程为：,其中 为由于支座移动所产生的位移,即,EI,常数,最后内力（,M,图）：,这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？,支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度,EI,有关 吗？,单位基本未知力引起的弯矩图和反力,1,、,2,、,3,等于多少？,ij,与荷载作用时一样,由自乘、互乘求,问题：,如何建立如下基本结构的典型方程？,基本体系,2,基本体系,3,基本体系,2,0,=,D,D,i,i,D,基本体系,3,b,a,