圆轴扭转时的应力

1.,实验现象,t,当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。,圆轴受扭后，将产生扭转变形。圆轴上的直角微元均发生了变化，这种直角的改变量即为剪应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应力分别用,和,表示。,A,B,C,D,t,A,B,C,D,3-4,圆轴扭转时的应力,实验现象归纳,1,2,3,x,4,4,1,2,3,x,T,k,T,k,4,（,1,）纵向线转动,；但仍保持位置相互平行；,（,2,）圆周线绕轴线转动，但仍在原来的平面内；,（,3,）圆周线大小、形状及两圆周线之间的距离不变。,y,x,T,k,z,T,n,剪应力方向是沿周边切线方向；,截面只有剪应力，无正应力；,2,、推论,平截面假定：,(1),横截面保持为平面，形状、大小、间距不变,(2),半径保持为直线,3.,剪应力分布,几何关系,：,（确定剪应变的分布）,=,(x,),讨论距轴为,的,lmnp,面,剪应力沿半径分布是变化的（未知）因此，以剪应变入手分析。,dx,T,T,1,4,3,2,2,3,d,令,扭转角沿杆长的变化率,几何方程,(1),o,o,R,1,2,4,3,m,l,n,dx,p,m,n,3,2,结论：剪应变与到,0-0,轴的距离成正比，杆轴上 剪应变为零，表面应变最大。,物理关系：,(,剪切虎克定律,),g,t,G,=,(2),(3),代入几何方程,剪应力分布,:,(1),对于单一材料,以轴心为原点线性分布,(2),对于同心复合材料,以轴心为原点分段线性分布,实,心,圆,截,面,T,空,心,圆,截,面,T,：静力学关系（确定微观剪应力与宏观扭矩的等效关系）,dA,o,(4),(,3),代入,(4),积分后得：,剪应力计算公式,I,P,极惯性矩,D,d,D,取,微分面积：,O,极惯性矩的计算,存在什么应力,:,实心圆截面和空心圆截面上仅有剪应力,.,应力如何分布,:,与扭矩方向一致,以轴心为原点线性分布,应力怎样计算,三个待定问题的答案,抗扭截面,模量,(,系数,),；量纲,长度,3,T,最大剪应力发生在最外沿,即,:,max,=R,处,D,d,D,抗扭截面摸量,W,T,的计算,思考：,由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为,G,1,和,G,2,，且,G,1,=2G,2,。,圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（,A,）、（,B,）、（,C,）、（,D,）,所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。,(A),(B),(C),(D),例,1,：,绘出半圆柱体各截面上的应力分布。说明该部分的平衡情况。,T,A,B,C,D,T,C,B,D,A,M,O,M,O,O,A,例,2,：轴，,d,= 50mm,，,M,O,=1kN,.m,求 处的,切应力,及边缘处的,最大切应力。,解：,1.,求任意截面上的扭矩,2.,求极惯性矩及抗扭截面系数,3.,求 及,1.,最大剪应力,2.,强度条件,：,T,A,B,圆轴扭转时的强度计算,要理解其物理意义,!,例,3,：由无缝钢管制成的汽车传动轴,AB,，,外径,D=90mm,壁厚,t=2.5mm,材料为,45,号钢。使用时最大扭矩,T=1.5KN,，,试校核,AB,轴的强度。,解,：,轴的最大剪应力为,AB,轴满足强度条件。,T,A,B,例,4,：如把上例中的传动轴改为,实心轴,，要求它与原来的空心轴,强度相同,，试确定其,直径,，并比较二者的,重量,。,解：按题目要求，实心轴的最大剪应力也为,51MPa,即,在两轴材料、长度相同的情况下，重量之比即为面积之比：,可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的,31,%,，其减轻重量、节约材料时非常明显的。,这个数字说明什么？,例,5,:,图示传动机构，,E,轴通过联轴器与,H,轴连接，,A,轮带动,D,轮使,C,轴转动。从,B,轮输入功率,P,1,=14kW,，,功率的一半通过锥形齿轮传给,C,轴，另一半由,H,轴输出。已知：,n,1,=,n,2,= 120 r/min,z,1,=36,z,3,=12;,d,1,=70mm,d,2,=50mm,d,3,=35mm.,求,:,各,轴,横截面上的最大切应力,。,3,联轴器,P,1,=14kW,P,2,=,P,3,=,P,1,/2=7 kW,n,1,=,n,2,= 120r/min,n,3,=,n,1,z,3,z,1,=120,36,12,=360r/min,3,M,x1,=,T,1,=1114 N.m,M,x2,=,T,2,=557 N.m,M,x3,=,T,3,=185.7 N.m,1.,求各轴的,扭矩,由,外力偶矩计算公式,2.,求各轴的,扭转剪应力,M,x1,=T,1,=,1114 N.m,M,x2,=T,2,=,557 N.m,M,x3,=T,3,=,185.7 N.m,d,1,= 70mm,d,2,= 50mm,d,3,=35mm,1,.,相对扭转角,上一节已经导出如下公式：,（1）,又有：,（2）,(,2),代入,(1),( ,常量,),两边积分得：,GI,p,抗扭刚度,3-5,圆轴扭转时的变形,弧度,：平面角的度量单位。,圆心角所对应的,弧长,和,半径,相等，这个角就是一弧度。,弧度表示：,rad,当,G,，,T,，,I,p,为常量时,当,G,，,T,，,I,P,阶梯变化时,2.,单位长度扭转角,用于描述圆轴扭转变形的聚集程度,(,单位长度的扭转角,).,前面已经推出,:,又有：,3.,刚度条件：,单位,:,度,/,米,; (,o,/m),单位,:,弧度,/,米,; (,rad/m,),解：,1,、外力偶矩：,2,、作扭矩图：,试设计轴的直径,d,例,7,：传动轴转速,T,KA,T,KB,T,KC,x,T,91Nm,184Nm,3,、,按强度条件设计直径：,T,KA,T,KB,T,KC,x,T,91Nm,184Nm,4,、按刚度条件设计直径,：,T,KA,T,KB,T,KC,x,T,91Nm,184Nm,例,8,：图示阶梯轴，,已知,=80MPa,G=80GPa,CD,段直径为,d, AC,段直径为,0.8d,。,试确定：该轴的直径,d,；,并求,A,、,C,截面的相对扭转角,AC,。,解：,1,、作扭矩图：,5,5,10,0.5m,0.5m,0.5m,A,B,C,D,15KNm,15KNm,5KNm,T（Nm）,2,、求直径,AB,段：,BC,段：,5,5,10,0.5m,0.5m,0.5m,A,B,C,D,15KNm,15KNm,5KNm,3,、求,AC,5,5,10,0.5m,0.5m,0.5m,A,B,C,D,15KNm,15KNm,5KNm,例,9,:,一内径为,d,、,外径为,D=2d,的空心圆管与一直径为,d,的实心圆杆牢固结合成一组合圆轴，共同承受转矩,M,e,。,圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为,G,1,和,G,2,，且,G,1,=G,2,/2,，,设两杆扭转变形时且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比,1,/,2,为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。,因两杆扭转变形时无相对转动,解,:,从圆杆中取长度,l-x,和,dx,微段，截面的扭矩为,T(x)=(,l-x,),t.,例,10:,等直圆杆的扭转刚度为,GI,p,受分布扭矩,t,(,单位为,Nm/m,),作用，,求,A-B,截面的相对扭转角,BA,。,AB,截面相对扭转角为：,l - x,T(x),dx,段两相邻截面的扭转角为：,从中取,dx,段，该截面的直径为：,AB,截面相对扭转角为：,式,中：,进一步考虑变截面圆杆，,A,、,B,两端直径分别为,d,1,、,d,2,。,该段相邻两截面的扭转角为：,3-6,圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,由平衡方程得,Q=P,由剪力引起的剪应力，近似认为均匀分布,T=,PD,2,t,1,=,4,P,p,d,2,Q,A,由扭矩引起的剪应力，近似认为与受扭直杆相同,T,W,t,t,2,max,=,8,PD,p,d,3,两种剪应力同时作用，则簧丝横截面内侧有最大剪应力,t,max,=,t,1,+,t,2,max,8,PD,p,d,3,( +1),d,2,D,由于,d2D,上述剪应力近似等于,t,max,8,PD,p,d,3,由于上述推导的近似性，上述剪应力公式存在一定误差。可修正如下：,簧丝的强度条件是,t,max,t,c,k,弹簧的变形,在弹性范围内，,P,与伸长量,l,成正比,变形特征,由平衡直接得到的结论,剪应力分布,狭长矩形截面,3.7,非圆截面杆扭转的概念,非圆截面等直杆：,平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,3.7,非圆截面杆扭转的概念,一,、自由扭转,：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。,二,、约束扭转：,杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。,（长边中点处,（短边中点处,剪应力分布,t,max,T,a,hb,2,t,1,=,nt,max,矩形截面杆扭转的扭转角,f,Tl,G,b,hb,3,Tl,GI,t,GI,t,=G,b,hb,3,h,b,h,t,1,T,t,max,注意！,b,注意！,多数教材与手册上有如下定义,：,查表求,和,时一定要,注意，表中,和,与那套公式对应。,h,b,h,t,1,T,t,max,注意！,b,矩形截面杆扭转时的系数,一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。,二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（,a,），,厚,度中点处，应力为零。,38,开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力,三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（,b,），,同,一厚度处，应力均匀分布。,狭长矩形截面,厚度,h,a=b=0.333,狭长矩形截面,h,矩形截面结论延伸,若面积及,相同,则,max,相同,矩形截面结论延伸,开口与闭口薄壁圆环的扭转剪应力,习题,3-7，3-8，3-17, (3-22),本章结束,200,80,例,6,：联轴器，轴与圆盘用键联结；两个圆盘用,4,个直径,d,= 16mm,的螺栓联结。轴：转速,n,= 170,转,/,分，,键和螺栓的许用力： ，,试求联轴器所能传递的最大功率。,140,14,12,解：先按,轴的强度,求传递功率,N,140,14,12,再,校核键和螺栓的强度：,1,.,校核键的剪切和挤压强度,键,满足强度要求,R,为圆轴的半径,140,14,12,2.,校核螺栓的剪切强度,（本题未给出螺栓的工作长度，故不校核螺栓的挤压强度。）,设,每一个螺栓所受剪力为,Q,1,由,平衡条件得,:,综合以上分析得轴能传递的最大功率,:,140,14,12,