线性代数中常用MATLAB命令 应用实例

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,School of Telecommunications Engineering jinglixd,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,School of Telecommunications Engineering jinglixd,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,School of Telecommunications Engineering jinglixd,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,School of Telecommunications Engineering jinglixd,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,School of Telecommunications Engineering jinglixd,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,TaoYang,yangtaonwpu,*,工程线性代数,授课教师：李静,西安电子科技大学通信工程学院,Email,：,课程回忆,MATLAB,简介,线性代数中常用,MATLAB,命令,应用实例,本讲内容,工,欲,善,其,事,必,先,利,其,器,论,语,魏,灵,公,常用数学软件,常见的通用数学软件包括：,Matlab,、,Mathematica,和,Maple,其中,Matlab,以数值计算见长，,Mathematica,和,Maple,以符号运算、公式推导见长。,Matlab 概述与开展,Matlab 特点,Matlab 工作环境,MATLAB,简介,Matlab是一种广泛应用于工程计算及数值,分析领域的科学计算软件。自1984年由美国,MathWorks 公司推向市场以来，历经二十多年的,开展与竞争，现已成为国际公认的最优秀的工程,应用开发环境。,MATLAB,概述,Matlab功能强大，使用方便，输入简洁，运算高效，并且很容易由用户自行扩展深受广阔科技工作者的欢送。在欧美各高等院校，Matlab已经成为线性代数、图像处理、自动控制理论、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等课程的根本教学工具，成为大学生、硕士生以及博士生必须掌握的根本技能。,MATLAB,概述,Matlab,语言的首创人是,C. Moler,Matlab = Matrix Laboratry,矩阵实验室,Cleve Moler,is chairman and chief scientist at The MathWorks. Moler was a professor of math and computer science for almost 20 years at the University of Michigan,，,Stanford University and the University of New Mexico. In addition to being the author of the first version of MATLAB,，,Moler is one of the authors of the LINPACK and EISPACK scientific subroutine libraries. He is co-author of three textbooks on numerical methods.,MATLAB,概述,70,年代中期,，Cleve Moler,博士和其同事在美国国家科学基金的资助下开发了调用,EISPACK,和,LINPACK,的,FORTRAN,子程序库,.EISPACK,是特征值求解的,FOETRAN,程序库,，LINPACK,是解线性方程的程序库,.,在当时,，,这两个程序库代表矩阵运算的最高水平,.,70年代后期，Cleve Moler在给学生讲授线性代数课程时，想教学生使用EISPACK和LINPACK程序库，但他发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间，于是他开始自己动手，利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序. Cleve Moler给这个接口程序取名为MATLAB，该名为矩阵(matrix)和实验室(labotatory)两个英文单词的前三个字母的组合.在以后的数年里，MATLAB在多所大学里作为教学辅助软件使用，并作为面向群众的免费软件广为流传.,MATLAB,概述,1983,年春天,Cleve Moler,到,Standford,大学讲学,MATLAB,深深地吸引了工程师,John Little.,John Little,敏锐地觉察到,MATLAB,在工程领域的广阔前景,.,同年,他和,Cleve Moler,Steve Bangert,一起,用,C,语言开发了第二代专业版,.,这一代的,MATLAB,语言同时具备了数值计算和数据图示化的功能,.,1984,年,Cleve Moler,和,John Little,成立了,Math Works,公司,正式把,MATLAB,推向市场,并继续进行,MATLAB,的研究和开发,.,John Little,Cleve Moler,MATLAB,概述,1984,年以后又增添了丰富多彩的,图形图像处理、多媒体功能、符号运算,和它与其他流行软件的,接口功能,，使得,Matlab,的功能越来越强大。,到九十年代初期，在国际上 30 几个数学类科技应用软件中， Matlab 在数值计算方面独占鳌头，而 Mathematica 和 Maple 那么分居符号计算软件的前两名。,MATLAB,概述,John Little,Cleve Moler,Matlab的开展 1984年，Matlab 1.0版 (DOS版，182K，20来个函数) 1992年，Matlab 4.0版93年推出Windows版本 1994年，Matlab 4.2， 1999年， Matlab 5.3,2000年，Matlab 6.0， 2002年， Matlab 6.5 2004年，Matlab 7.0， 2006年， Matlab2006a,2007年，MatlabR2007a,2021年，MatlabR2021a,目前，Matlab 已经成为国际上最流行的科学与工程计算的软件工具，它已经不仅仅是一个“矩阵实验室了，而成为了一种具有广泛应用前景的全新的计算机高级编程语言了，有人称它为“第四代计算机语言。 就影响而言，至今仍然没有一个别的计算软件可与 Matlab 匹敌。,MATLAB的开展,数值计算功能,Matlab,是一个交互式软件系统,给出一条命令，立即就可以得出该命令的结果,Matlab以矩阵作为根本单位，但无需预先指定维数动态定维,按照IEEE的数值计算标准进行计算,提供十分丰富的数值计算函数，方便计算，提高效率,Matlab命令与数学中的符号、公式非常接近，可读性强，容易掌握,符号运算功能,和著名的,Maple,相结合，使得,Matlab,具有强大的符号计算功能,绘图功能,Matlab,提供了丰富的绘图命令，能实现一系列的可视化操作,Matlab,的特点与主要功能,编程功能,Matlab,具有,程序结构控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象,等程序语言特征，而且,简单易学、编程效率高,。,丰富的工具箱（,toolbox）,Matlab,包含两部分内容：,基本部分和,根据专门领域中的特殊需要而设计的各种,可选工具箱,。,Simulink,动态仿真集成环境,提供建立系统模型、选择仿真参数和数值算法、启动仿真程序对该系统进行仿真、设置不同的输出方式来观察仿真结果等功能,PDE,Optimization,Symbolic Math,Signal process,Image Process,Statistics,Control System,System Identification,Matlab,的特点与主要功能,命令窗口,当前工作目录,当前工作空间,输入命令的历史记录,命令,提示符,二、线性代数中常用,MATLAB,命令,理论复习,笔算方法,机算方法,二、线性代数中常用,MATLAB,命令,把矩阵变为行最简形,求解方程组,计算矩阵的逆,找出向量组的最大无关组,rref,命令,(2),每个台阶只有一行,;,(3),台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,特点：,(1),可划出一条阶梯线，线的下方全为零,;,复习：矩阵的行阶梯形和行最简形,(2),每个台阶只有一行,;,(3),台阶数即非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非零元,特点：,(1),可划出一条阶梯线，线的下方全为零,;,(4),称为最简行阶梯形，即非零行的第一个非零元为,1,，且这些非零元所在的列的其他元素都为零,复习：矩阵的行阶梯形和行最简形,(1):对调两行对调i，j 两行，记作 ；,(2):以数 乘以某一行的所有元素,第i行乘以 记作 ；,(3):把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去,第i行的k倍加到第j行上记作: )；,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r换成“c),定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换,:,复习：矩阵的初等变换,增,广,矩,阵,系数矩阵,笔算方法：矩阵的初等变换解方程组,笔算方法：矩阵的初等变换解方程组,行阶梯形,笔算方法：矩阵的初等变换解方程组,行最简形,笔算方法：矩阵的初等变换解方程组,令 方程组得解可记为：,笔算方法：矩阵的初等变换解方程组,方程组秩为,3,， 小于变量个数，方程有无穷多解。,其中 为任意常数,B = 2 -1 -1 1 2;1 1 -2 1 4;4 -6 2 -2 4;3 6 -9 7 9,B =,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9, B5 = rref(B),B5 =,1 0 -1 0 4,0 1 -1 0 3,0 0 0 1 -3,0 0 0 0 0,rref,把矩阵变为行最简形并求解方程组,行最简形,rref,命令,把矩阵变为行最简形,求解方程组,计算矩阵的逆,找出向量组的最大无关组,当 时，由 ，有：,复习：利用初等变换求矩阵逆,即对,矩阵， 施行初等行变换，当把 变,成 时，原来的 就变成了 。,即,初等行变换,复习：利用初等变换求矩阵逆,利用初等行变换求矩阵逆的方法，还可以用来求矩阵,解,例,笔算方法：利用初等变换求矩阵逆,笔算方法：利用初等变换求矩阵逆, A,= ,1 2 3; 2 2 1; 3 4 3,;, B,= ,A eye(size(A),B =,1 2 3 1 0 0,2 2 1 0 1 0,3 4 3 0 0 1, B5 = rref(B),B5 =,1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000,0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000,0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000,rref,求矩阵逆, A,= ,1 2 3; 2 2 1; 3 4 3,;, B5 = inv(A),B5 =,1.0000 3.0000 -2.0000,-1.5000 -3.0000 2.5000,1.0000 1.0000 -1.0000,inv,命令求矩阵逆, A,= ,1 2 3; 2 2 1; 3 4 3,;, B,= ,A eye(size(A),B =,1 2 3 1 0 0,2 2 1 0 1 0,3 4 3 0 0 1, B5 = rref(B),B5 =,1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000,0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000,0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000,使用出错,: (,奇异，非方阵,),Warning: Matrix is singular to working precision.,Error using = inv,Matrix must be square.,rref,命令,把矩阵变为行最简形,求解方程组,计算矩阵的逆,找出向量组的最大无关组,(1)向量组 线性无关；,(2)向量组 中任意 个向量如果 中有 个向量的,话都线性相关；,设有向量组 ，如果在 中能选出,r,个向量 ，满足：,复习：向量组的最大无关组,那么称向量组 是向量组 的一个最大线性无关向量组简称最大无关组；即：向量组中的其他任一个向量都可以由这 个向量线性表示,复习：向量组的最大无关组,1最大无关组不唯一；,2向量组与它的最大无关组等价；,3一个向量组的任意两个最大无关组等价；,4如果向量组本身线性无关，那么它是自身的最大线,性无关组；,5向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向,量组的秩。,笔算解法：向量组的最大无关组,解： 对,A,施行初等行变换变为行阶梯形矩阵,故列向量组的最大无关组含三个向量，而三个非零行的非零首元在,1,、,2,、,4,列，故 为列向量组的一个最大无关组。,笔算解法：向量组的最大无关组,解： 对,A,施行初等行变换变为行阶梯形矩阵,要把 用 线性表示，须将,A,再变成行最简形,笔算解法：向量组的最大无关组,初等行变换保持矩阵列向量组间的线性关系,.,初等列变换保持矩阵行向量组间的线性关系,.,例：求以下向量组的一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。,解：,笔算解法：向量组的最大无关组,直接在,MATLAB,命令窗口输入以下命令：,%,求向量组的最大无关组,clear,a1=2;1;4;3;,a2=-1;1;-6;6;,a3=-1;-2;2;-9;,a4=1;1;-2;7;,a5=2;4;4;9;,A=a1,a2,a3,a4,a5,%,把矩阵,A,的最简行阶梯矩阵赋给了,R,% R,的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量,s,R,s=rref(A),结果输出为：,A=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,R =,1 0 -1 0 4,0 1 -1 0 3,0 0 0 1 -3,0 0 0 0 0,s =,1 2 4,rref,命令求解向量组的最大无关组,二、线性代数中常用,MATLAB,命令,齐次线性方程组的根底解系,非齐次线性方程组的特解,null,左除命令,设有非齐次线性方程组,它也可写作向量方程,其导出组：,复习：,(,非,),齐次线性方程组的解结构,通解：,通解：,笔算解法：,非齐次线性方程组的解,例：求非齐次线性方程组的根底解系和通解,解：对增广矩阵作初等变换，化为行最简形有：,笔算解法：,非齐次线性方程组的解,其中 自由变量 令：,导出组的通解为：,导出组对应的根底解系是 个解向量：,得同解方程组为：,非齐次线性方程组的通解为：,% 求非齐次线性方程组的解, A=1 1 0 0 1;1 1 -1 0 0;0 0 1 1 1;, b=2;3;5;,R,s=rref(A,b );,% 将R最后一列按基准元素位置赋x0,m,n=size(A );, x0=zeros(n,1);, r=length(s);, x0(s,:)=R(1:r,end);, disp(非齐次线性方程组的特解为：), x0, disp(对应齐次线性方程组的根底解系为：), x=null(A,r),null,左除命令求解非齐次线性方程组,运算结果为：,非齐次线性方程组的特解为：,x0 =,2,0,-1,6,0,对应齐次线性方程组的根底解系为：,x =,-1 -1,1 0,0 -1,0 0,0 1,方程组的通解：,非齐次线性方程组的特解还可以用MATLAB的矩阵左除运算来求得，直接在MATLAB命令窗口输入以下命令：,clear, A=1 1 0 0 1;1 1 -1 0 0;0 0 1 1 1;, b=2;3;5;,R,s=rref(A,b );, x0=Ab;, disp(非齐次线性方程组的特解为：), x0, disp(对应齐次线性方程组的根底解系为：), x=null(A,r),其中特解x0与前一方法的特解不同。,(注：如果欠定方程组有解，那么它有无穷个特解，通解中只需要任何一个特解即可,null,左除命令求解非齐次线性方程组,运算结果为：,非齐次线性方程组的特解为：,x0 =,3.0000,0,0,6.0000,-1.0000,对应齐次线性方程组的根底解系为：,x =,-1 -1,1 0,0 -1,0 0,0 1,方程组的通解：,二、线性代数中常用,MATLAB,命令,向量组正交标准化,orth,命令,复习：向量组的正交标准化,向量的内积inner product),设有,n,维向量 ，称数,为向量 与 的内积，记作,零向量与任何向量正交。,不含零向量的两两正交的向量组称为,正交向量组,正交向量组是线性无关的,向量的夹角,如果 ，令 ，则称,为向量 与 的夹角。,当 时，夹角 ，称向量 与 正交。,复习：向量组的正交标准化,正交向量组是线性无关的,施密特（,Schimidt,）正交化方法,如果向量组 线性无关，则下列方法得到的,向量组 是正交组，且与向量组 等价。,单位化得到标准正交组：,笔算解法：向量组的正交标准化,例：将向量组正交标准化,解：令,笔算解法：向量组的正交标准化,将 单位化，得,则 为所求的规范正交组。,在,MATLAB,命令窗口输入以下命令：,clear,a1=1 2 -1 ;,a2=-1,3,1;,a3=4 -1 0;, A =a1 a2 a3;, B =orth(A),orth 命令求解标准正交组,运算结果为：,B =,0.8245 0.5548 0.1112,-0.5546 0.8313 -0.0357,-0.1122 -0.0323 0.9932,二、线性代数中常用,MATLAB,命令,计算矩阵的特征值和特征向量,把二次型标准化,判断二次型的正定性,eig,命令,复习：矩阵的特征值和特征向量,工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。,定义：设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向,量 使关系式：,成立，那么数 成为方程 的特征值，非零向量 称为,的对应于特征值 的特征向量。,1,、特征向量 ，特征值问题是对方阵而言的。,2,、 阶方阵 的特征值，就是使齐次线性方程组,有非零解的 值，其满足方程,的 都是矩阵,A,的特征值。,复习：矩阵的特征值和特征向量,笔算方法：矩阵特征值和特征向量,例,设,求,A,的特征值与特征向量,解,笔算方法：矩阵特征值和特征向量,笔算方法：矩阵特征值和特征向量,得根底解系为：,机算方法：矩阵特征值和特征向量,在,MATLAB,命令窗口输入以下命令：, A =-2 1 1; 0 2 0;-4 1 3;, p,lamda =eig(A),运算结果为：,p =,-0.7071 -0.2425 0.3015,0 0 0.9045,-0.7071 -0.9701 0.3015,lamda =,-1 0 0,0 2 0,0 0 2,计算矩阵的特征值和特征向量,二次型标准化,判断二次型的正定性,eig,命令,复习：二次型的标准化及正定判别,定义：含有,n,个变量 的二次齐次函数,称为二次型,.,二次型可以记作：,只含平方项的二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题有两个：,一、寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,二、二次型的正负定的研究,复习：二次型的标准化及正定判别,二次型标准化主要有三种方法：正交变换化，拉格朗日,配方法和初等变换法。,对于实二次型 ，如果对于任意 都有,则称,为正定二次型，对应的矩阵为正定矩阵；如果对任意,都有 ，则称 为负定二次型，对应的矩阵为负,定矩阵。,判别二次型正定主要有三种方法：定义法，矩阵特征值法，,顺序主子式判别方法霍尔维茨定理。,笔算方法：,二次型的标准化及正定判别,例：,用正交变换将二次型标准化，并求其变换矩阵,解：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,笔算方法：,二次型的标准化及正定判别,例：,用正交变换将二次型标准化，并求其变换矩阵,解法：,1,、对称矩阵为：,2,、求特征值：,笔算方法：,二次型的标准化及正定判别,3,、求特征向量：,得正交向量组,4,、求特征向量正交化：,笔算方法：,二次型的标准化及正定判别,4,将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为：,笔算方法：,二次型的标准化及正定判别,例：,判定二次型正定性,解法一：,二次型的矩阵为,根据霍尔维茨定理该二次型的矩阵为正定矩阵。,笔算方法：,二次型的标准化及正定判别,例：,判别二次型的正定性,解法二：,特征值都大于零，因此可以判别该二次型的矩阵为正定矩阵。,特征值判别法,二次型的矩阵为,在,MATLAB,命令窗口输入以下命令：,A=17 -2 -2;-2 14 -4; -2 -4 14,disp(,矩阵特征值和特征向量为：,),P,lamda = eig(A),disp(,顺序主子式为：,),for i=1:size(A,1),det(A(1:i,1:i),end,eig,二次型标准化及正定判别,运算结果为：,矩阵特征值和特征向量为：,P =,0.3333 -0.2981 0.8944,0.6667 -0.5963 -0.4472,0.6667 0.7454 0.0000,lamda =,9 0 0,0 18 0,0 0 18,顺序主子式为：,ans =,17,ans =,234,ans =,2916,可判定矩阵为正定矩阵。,三、应用实例,图像处理领域,图像的代数操作,图像的几何变换,图像配准,综合例如,(1),图像的代数操作,1.,相加运算,2.,减法运算,3.,乘法运算,4.,除法运算,代数操作是指对图像进行点对点的加、减、乘、除四那么运算而得到一幅新的输出图像, 参与运算的像素几何位置不变。,记输入图像为A(x,y)和B(x,y)，输出图像为C(x,y)，那么图像代数操作有如下四种简单形式：,C(x,y) = A(x,y)+B(x,y),C(x,y) = A(x,y),B(x,y),C(x,y) = A(x,y)B(x,y),C(x,y) = A(x,y)/ B(x,y),矩阵的根本运算,(1),图像的代数操作,相加运算,图像相加常用于图像合成，以及对同一场景的多幅图像求平均，有效地降低加性随机噪声。,=,+,% ImAdd.m,%,读入图像,ima1 = imread(vase.jpg);,ima2 = imread(sky.jpg);,%,转换数据类型,ima1 = double(ima1);,ima2 = double(ima2);,%,加法求平均,result =,(ima1+ima2)/2,;,figure; imshow(uint8(result);,=,+,vase.jpg,sky.jpg,result,(1),图像的代数操作,相加运算,图像相加常用于对同一场景的多幅图象求平均，以便有效地降低加性随机噪声，通常对于经过长距离模拟通讯方式传送的图像，这种处理是不可缺少的。,(1),图像的代数操作,相加运算,多聚焦图像融合,=,+,(1),图像的代数操作,相加运算,=,图像相减是常用的图像处理方法，用于检测图像变化及运动物体。,(1),图像的代数操作,相减运算,图像相减是常用的图像处理方法，用于检测图像变化及运动物体。,(1),图像的代数操作,相减运算,(2),图像的几何变换,图像的几何变换操作会改变图像中,(,像素,),之间的空间关系，这种运算可以看成是图像内的各像素在图像内移动的过程。,典型的几何变换包括：平移、旋转、缩放、相似变换、仿射变换、非线性变换等。,(2),图像的几何变换,平移,(2),图像的几何变换,旋转,(2),图像的几何变换,缩放,(2),图像的几何变换,非线性变换,图像卷绕是通过指定一系列控制点的位移来定义空间变换的图象变形处理。非控制点的位移根据控制点进行插值来确定。,图像变形是使图像中的一个物体逐渐变形为另外一个物体的过程。从一起始图像出发，利用渐隐(dissolve)技术，使起始图象逐渐“淡出(fade out)，而目标图像那么逐渐“淡入(fade in)，同时以对应物体为转换控制对象，通过选择控制点及控制线来建立插值过程，让物体上的点从它们的起始位置逐渐移向对应的终止位置。,(2),图像的几何变换,非线性变换,(3),图像配准,图像配准,是评价两幅或多幅图像的相似性以确定同名点的过程。,图像配准算法,就是设法建立两幅图像之间的对应关系,确定相应几何变换参数,对两幅图像中的一幅进行几何变换的方法。,图像配准是图像分析和处理的根本问题。它在遥感测绘、图像导航、目标识别、视频数据检索、医学影像处理、视频监控、生物特征识别、纹理分析、三维重构、虚拟现实与增强现实等领域都有重要应用。,(3),图像配准,图像配准的主要步骤,对特征进行描述和匹配,根据对应点估计空间变换关系,对图像进行逐像素处理变为配准图,独立的寻找出具有相同内容的图像特征区域,特征,描述与匹配,变换模型,参数估计,几何校正,特征检测,(3),图像配准,旋转,+,缩放,平移,仿射变换,6,参数的估计问题,(3),图像配准,仿射变换,6,参数的估计至少需要三对配准点,适定方程组,的求解问题,(3),图像配准,旋转,+,缩放,平移,(3),图像配准,多对配准点,对仿射变换,6,参数的估计,超定方程组,的求解问题,(3),图像配准,全景图自动拼接,:/ cs.ubc.ca/mbrown/autostitch/autostitch.html,(4)综合例如无人机航拍视频内容分析,:/server.cs.ucf.edu/vision/projects/COCOAWebsite/CocoaWebsite/featured_project.html,特征点跟踪,参数估计与三维重建,输入视频,(4)综合例如增强现实,输入视频,增强结果,(4)综合例如增强现实,谢 谢！,本课程相关,