4运筹学目标规划讲义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目标规划,Goal Programming,2,1,本章主讲内容,目标规划问题及其数学模型（重点掌握）,求解GP的思路,目标规划的图解法,目标规划的单纯形法,2,目标规划问题及其数学模型,线性规划的局限性,只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。,线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解，而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同，有些目标之间往往相互发生矛盾。,线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为代价。,线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符合实际情况。,3,实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标,生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等；,生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等 。,这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的，,LP,则无能为力。,求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。,4,在实际问题中，可能会同时考虑几个方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好，利润最大，环境达标，运输满足等。多目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解。,目标规划（,Goal Programming,）,目标规划可根据实际情况，分主次地、轻重缓急地考虑问题。,在,LP,的基础上发展起来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。,美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Cooper)在1961年出版的管理模型及线性规划的工业应用一书中，首先提出的。,5,多目标线性规划,含有多个优化目标的线性规划。,线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。,多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。,6,引例1,某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如表所示。试确定计划期内的生产计划，使获得的利润最大。,7,解,：,设,x,1,、x,2,分别,表示甲、乙两种产品的产量，则可建立线规划模型如下：,maxZ,=5,x,1,+4x,2,4,x,1,+3x,2,24,x,1,，x,2,0,假设,：,该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大甲产品的生产；减少乙产品的产量。这时又增加了二个目标，则可建立如下的模型：,maxZ,1,=5,x,1,+4x,2,maxZ,2,=,x,1,minZ,3,=,x,2,4,x,1,+3x,2,24,x,1,，x,2,0,这些目标之间相互矛盾，,一般的线性规划方法不能求解,8,引例2,某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具体数据见下表,9,设产品I和II的产量分别为X,1,和X,2,，当用线性规划来描述和解决这个问题时，其数学模型为：,其最优解，即最优生产计划为X,1,=8，X,2,=2，maxz=64,10,假设计划人员还被要求考虑如下意见：,（1）由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I的一半。,（2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗。,（3）最好能节约4小时设备工时；,（4）计划利润不少于48元。,面对这些意见，计划人员作出如下意见，,首先原材料使用额不得突破；产品II产量要求必须优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑计划利润的要求。,11,求解GP的思路,加权系数法,为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。,优先等级法,将各目标按其重要程度分成不同的优先等级，转化为单目标模型。,有效解法,寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。,12,目标规划法,加权系数法和优先等级法的结合,对每个目标函数确定一个希望达到的期望值,(目标值或理想值)；,由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都达到；,对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量，分别表示超过或未达到目标值的情况；,为区别各目标的重要程度，引入目标的优先等级和加权系数；,对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条件中，组成新的约束条件；,从这组新的约束条件，寻找使组合偏差最小的方案。,13,目标函数的期望值,每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。,根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。,偏差变量,每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的期望值之间就有正的或负的偏差。,正偏差变量,d,k,+,表示第,k,个目标超过期望值的数值；,负偏差变量,d,k,-,表示,第,k,个目标未达到期望值的数值。,同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没有达到期望值，所以在,d,k,+,和,d,k,-,中至少有一个必须为零,。,目标规划的基本概念,14,目标约束,引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标,函数方程。,原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束(软约束),原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。,在引例题中，计划人员提出新要求,(1),由于产品,II,销售疲软，故希望产品,II,的产量不超过产品,I,的一半。（2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗。（3）最好能节约4小时设备工时；（4）计划利润不少于48元。,1/2,x,1,=x,2,x,1,-2x,2,+,d,1,-,- d,1,+,=,0,4,x,1,+4x,2,=,48,6x,1,+8x,2,+,d,3,-,- d,3,+,=,48,15,目标达成函数,各个目标函数引入正、负偏差变量，而被列入了目标约束条件。,如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值。,这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。,若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差变量,d,k,+,、,d,k,-,都尽可能最小，将,d,k,+,和,d,k,-,都,列入目标函数中，即,minS,k,=,d,k,+,+,d,k,-,；,若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差变量,d,k,-,尽可能的小，而不关心超出量,d,k,+,，,故只需将,d,k,-,列入目标函数，,minS,k,=,d,k,-,；,若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正偏差变量,d,k,+,尽可能地小，而不关心低于量,d,k,-,，,故只需将,d,k,+,列入目标函数，,minS,k,=,d,k,+,。,16,优先等级和权数,目标的重要程度不同，用优先等级因子,P,k,来表示第,k,等级目标。,优先等级因子,P,k,是正的常数，,P,k,P,k,+1,。,同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数,w,。,例如,第一个目标,:,由于产品,II,销售疲软，故希望产品,II,的产量不超过产品,I,的一半。其优先级为,P,1,；（4）。,第二个目标:最好能节约4小时设备工时是其优先级为,P,2,；,第三个目标：计划利润不少于48元,优先级为,P,3,。,minZ,=,P,1,d,1,-,+ P,2,d,2,+,+ P,3,d,3,-,17,所以，引例2的目标规划模型如下：,minZ,=,P,1,d,1,-,+ P,2,d,2,+,+ P,3,d,3,-,5x1+10x2=60,x,1,-2x,2,+,d,1,-,- d,1,+,=,0,4,x,1,+4x,2,+,d,2,-,- d,2,+,=,36,6x,1,+8x,2,+,d,3,-,- d,3,+,=,48,18,引例1：,管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位，乙产品产量比甲,产品,多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量，则目标约束为：,5,x,1,+4x,2,+,d,1,-,- d,1,+,=,20,4,x,1,+3x,2,+,d,2,-,- d,2,+,=,24,x,1,+,d,3,-,- d,3,+,=,3,-,x,1,+ x,2,+,d,4,-,- d,4,+,=,2,目标达成函数,第一个目标是实现利润最大，其优先级为,P,1,；,第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为,P,2,；,第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先级为,P,3,。,假设：,甲,产品,产量希望不少于3单位的权数为3，,乙产品产量比甲,产品,多2单位的权数为5。,minZ,=,P,1,d,1,-,+ P,2,(,d,2,-,+ d,2,+,),+ P,3,(3,d,3,-,+5 d,4,-,),minZ,=,P,1,d,1,-,+ P,2,(,d,2,-,+ d,2,+,),+ P,3,(3,d,3,-,+5 d,4,-,),5,x,1,+4x,2,+,d,1,-,- d,1,+,=,20,4,x,1,+3x,2,+,d,2,-,- d,2,+,=,24,x,1,+,d,3,-,- d,3,+,=,3,-,x,1,+ x,2,+,d,4,-,- d,4,+,=,2,x,1, x,2,d,k,-, d,k,+,0,19,目标规划的数学模型,20,课堂练习：,电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。,该厂目标：,1、充分利用装配线，避免开工不足。,2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。,3、尽量满足市场需求（产品25寸的两倍重要于21寸的电视机）。,21,解：设,X,1,X,2,分别表示25寸，21寸彩电产量,min,Z=P,1,d,1,-,+P,2,d,2,+,+P,3,(2,d,3,-,+d,4,-,),X,1,+X,2,+d,1,-,-d,1,+,=40,X,1,+X,2,+d,2,-,-d,2,+,=50,X,1,+d,3,-,-d,3,+,=24,X,2,+d,4,-,-d,4,+,=30,X,1,X,2,d,i,-,d,i,+, 0 (i=1,2,3,4),22,目标规划的解法,目标规划的图解法,只含有两个决策变量的目标规划模型,线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小；目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。,目标规划的图解法的思路,首先是在可行域内寻找一个使,P,1,级各目标均满足的区域,R,1,；,然后再在,R,1,中寻找一个使,P,2,级各目标均满足的区域,R,2,(,R,2,R,1,)；,接着再在,R,2,中寻找一个满足,P,3,级各目标的区域,R,3,(,R,3,R,2,R,1,)；,如此继续，直到寻找到一个区域,R,K,(,R,K,R,K-1,R,3,R,2,R,1,)，满足,P,K,级各目标，这时,R,K,即为这个目标规划的最优解空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。,23,目标规划的图解法的步骤,首先，按照绝对约束画出可行域，,其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线，,最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。,minZ,=,P,1,d,1,-,+ P,2,d,2,+,+ P,3,d,3,-,5x,1,+10x,2,=60(1),x,1,-2x,2,+,d,1,-,- d,1,+,=,0(2),4,x,1,+4x,2,+,d,2,-,- d,2,+,=,36(3),6x,1,+8x,2,+,d,3,-,- d,3,+,=,48(4),x,1,x,2,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,(1),(2)d,1,-,(4),d,3,-,(3)d,2,+,可行域,24,minZ,=,P,1,d,1,-,+P,2,(,d,2,-,+d,2,+,),+P,3,(3,d,3,-,+5d,4,-,),5,x,1,+4x,2,+,d,1,-,- d,1,+,=,20,4,x,1,+3x,2,+,d,2,-,- d,2,+,=,24,x,1,+,d,3,-,- d,3,+,=,3,-,x,1,+ x,2,+,d,4,-,- d,4,+,=,2,x,1, x,2,d,k,-, d,k,+,0,x,1,x,2,d,1,+,d,1,-,d,2,+,d,2,-,d,3,+,d,3,-,d,4,-,d,4,+,D,A,B,C,满意解：,x,1,=16/7,x,2,=32/7,25,第三节目标规划的单纯形法,目标规划与线性规划的数学模型的结构相似,可用前述单纯形算法求解目标规划模型：,将优先等级,P,k,视为正常数(,大,法,),正负偏差变量,d,k,+,、d,k,-,视为松弛变量,以负偏差变量,d,k,-,为初始基变量，建立初始单纯形表,检验数的计算与,LP,单纯形表检验数的计算完全相同，即,j,=,c,j,C,B,B,-1,P,j,最优性判别准则类似于,LP,的单纯形算法：,检验数一般是各优先等级因子的代数和,判断检验数的正负和大小,26,minZ,=,P,1,d,1,-,+P,2,(,d,2,-,+d,2,+,),+P,3,(3,d,3,-,+5d,4,-,),5,x,1,+4x,2,+,d,1,-,- d,1,+,=,20,4,x,1,+3x,2,+,d,2,-,- d,2,+,=,24,x,1,+,d,3,-,- d,3,+,=,3,-,x,1,+ x,2,+,d,4,-,- d,4,+,=,2,x,1, x,2,d,k,-, d,k,+,0,划为标准型,maxZ,=-,P,1,d,1,-,-P,2,(,d,2,-,+d,2,+,),-P,3,(3,d,3,-,+5d,4,-,),5,x,1,+4x,2,+,d,1,-,- d,1,+,=,20,4,x,1,+3x,2,+,d,2,-,- d,2,+,=,24,x,1,+,d,3,-,- d,3,+,=,3,-,x,1,+ x,2,+,d,4,-,- d,4,+,=,2,x,1, x,2,d,k,-,d,k,+,0,27,0,0,- P,1,0,- P,2,- P,2,- 3P,2,0,- 5P,2,0,20,5,4,1,-1,0,0,0,0,0,0,24,4,3,0,0,1,-1,0,0,0,0,3,1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,2,-1,1,0,0,0,0,0,0,1,-1,d,1,-,d,2,-,d,3,-,d,4,-,- P,1,- P,2,- 3P,3,- 5P,3,+5,P,1,+4,P,2,-2,P,3,+4,P,1,+3,P,2,+5,P,3,0,-,P,1,0,-2,P,2,0,-3,P,3,0,-5,P,3,4,5,3,-,d,1,-,d,2,-,x,1,d,4,-,- P,1,- P,2,0,- 5P,3,3,1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,5,0,4,1,-1,0,0,-5,5,0,0,12,0,3,0,0,1,-1,-4,4,0,0,5,0,1,0,0,0,0,1,-1,1,-1,0,+4,P,1,+3,P,2,+5,P,3,0,-,P,1,0,-2,P,2,-5,P,1,-4,P,2,+2,P,3,+5,P,1,+4,P,2,-5,P,3,0,-5,P,3,1,3,-,-,28,d,3,+,d,2,-,x,1,d,4,-,0,- P,2,0,- 5P,3,1,0,4/5,1/5,-1/5,0,0,-1,1,0,0,8,0,-1/5,-4/5,4/5,1,-1,0,0,0,0,4,1,4/5,1/5,-1/5,0,0,0,0,0,0,6,0,9/5,1/5,-1/5,0,0,0,0,1,-1,-,10,-,-,d,3,+,d,1,+,x,1,d,4,-,0,0,0,- 5P,3,10,0,-1/4,-1,1,5/4,-5/4,0,0,0,0,3,0,3/4,0,0,1/4,-1/4,-1,1,0,0,6,1,3/4,0,0,1/4,-1/4,0,0,0,0,8,0,7/4,0,0,1/4,-1/4,0,0,1,-1,4,-,8,32/7,29,x,2,d,1,+,x,1,d,4,-,0,0,0,- 5P,3,4,0,1,0,0,1/3,-1/3,-4/3,4/3,0,0,11,0,0,-1,1,4/3,-4/3,-1/3,1/3,0,0,3,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,-1/3,1/3,7/3,-7/3,1,-1,-,-,-,3,x,2,d,1,+,x,1,d,3,-,0,0,0,- 3P,3,3/7,0,0,0,0,-1/7,1/7,1,-1,3/7,-3/7,32/7,0,1,0,0,1/7,-1/7,0,0,4/7,-4/7,78/7,0,0,-1,1,9/7,-9/7,0,0,1/7,-1/7,18/7,1,0,0,0,1/7,-1/7,0,0,-3/7,3/7,30,极小化线性规划求解方法,极小化问题与极大化问题的解法，主要有一点区别，那就是进基变量的选取。由式 可知，若以极大化为目标，则当所有非基变量的检验数,j,0时，Z值达到最大。反之，若以极小化为目标，则当某个非基变量检验数,j,0时，若取x,j,0，将使Z值进一步变小，即使目标进一步优化；,31,当所有非基变量检验数j0时，若使任意非基变量xj0都会导致目标函数的增加从而偏离了极小化目标，于是可以认定此时的解为最优解。,总而言之，极小化问题的判别准则是：j0 (j=1，2，n)时为最优，进基变量的选取是在负检验数中选取最小的一个,k,，它所对应的变量x,k,为换入变量。,32,举例：,33,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,1,-4,0,0,0,3,3,-1,1,0,0,6,-4,1,0,1,0,8,1,1,0,0,1,x,3,x,4,x,5,0,0,0,0,1,-4,0,0,0,-,6,8,填入初始单纯形表,34,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,1,-4,0,0,0,3,3,-1,1,0,0,6,-4,1,0,1,0,8,1,1,0,0,1,x,3,x,4,x,5,0,0,0,0,1,-4,0,0,0,-,6,8,9,-1,0,1,0,0,6,-4,1,0,1,0,2,5,0,0,-1,1,x,3,x,2,x,5,0,-4,0,-,-,2/5,35,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,1,-4,0,0,0,9,-1,0,1,0,0,6,-4,1,0,1,0,2,5,0,0,-1,1,x,3,x,2,x,5,0,-4,0,-,-,2/5,47/5,0,0,1,-1/5,1/5,2/5,1,0,0,-1/5,1/5,38/5,0,1,0,1/5,4/5,x,3,x,2,x,1,0,-4,1,所有的检验数大于,得到最优解,X1=2/5,X2=38/5,Z=-30,36,经营目标,P,1,：,总利润不低于40，,P,2,：,充分利用设备能力，且尽量不超过140,如何安排生产？,在目标管理中的应用,37,x,1,x,2,x,1,=6,x,2,=10,d,1,+,d,1,-,d,2,+,d,2,-,C,B,D,(6,5),minZ,=,P,1,d,1,-,+,P,2,(,d,2,-,+,d,2,+,),x,1,6,x,2,10,5x,1,+ 2,x,2,+,d,1,-,-,d,1,+,=40,20x,1,+10,x,2,+,d,2,-,-,d,2,+,= 140,x,1,x,2,d,1,-,d,1,+,d,2,-,d,2,+,0,38,满意解：,x,1,=6,x,2,= 5,设备能力：需求：20,6+10 5=170，实际：140,实现,目标,P,1,和,P,2,，,降低甲乙产品的设备消耗:降低率,(170-140)/170=18%，,甲产品的设备消耗降为20,(1-18%)=16.4,乙产品的设备消耗降为10,(1-18%)=8.2。,总利润：40,单位甲：5,单位乙：2,生产部目标,甲产品的产量：6，成本：5,乙产品的产量：5，成本：6,技术部目标,甲产品的设备单耗：16.4,乙产品的设备单耗： 8.2,销售部目标,甲产品的销量：6，单价：10,乙产品的销量：5，单价： 8,39,某副食品批发店预测某商品今后4月的购进与售出价格如表：,在库存管理中的应用,月份,1,2,3,4,成本,(购价+库存),2.6,2.5,2.7,2.8,售价,2.9,2.7,3.1,3.3,假设：该商品供不应求，最大销量受仓库容量限制；,正常库容3吨，机动库容2吨；,月初批发销货，月中采购进货，进货所需资金完全来销售收入；,1月初库存量2吨，成本2.5千元/吨，该月初无现金。,40,经营目标：,(1)每月都使用正常库容，尽量不超容；,(2) 每月下旬都应储备1千元以备急用；,(3)4个月总盈利最大。,决策变量：,x,j,第,j,月的采购量，,y,j,第,j,月的销售量,绝对约束条件,各月销量约束：月初售货，各月销量不能多于其期初库存量,。,1,月,y,1,2,2,月,y,2,2 ,y,1,+,x,1,y,1,+,y,2,x,1,2,3,月,y,3,2 ,y,1,+,x,1,y,2,+,x,2,y,1,+,y,2,+,y,3,x,1,x,2,2,4,月,y,4,2 ,y,1,+,x,1,y,2,+,x,2,y,3,+,x,3,y,1,+,y,2,+,y,3,+,y,4,x,1,x,2,x,3,2,41,各月采购量约束：每月采购量依赖月初的售货收入。,1月,2.6,x,1,2.9y,1,2.9y,1,+,2.6x,1,0,2,月,2.9,y,1,2.7y,2,+,2.6x,1,+,2.5x,2,0,3,月,2.9,y,1,2.7y,2,3.1y,3,+,2.6x,1,+,2.5x,2,+,2.7x,3,0,4,月,2.9,y,1,2.7y,2,3.1y,3,3.3y,4,+,2.6x,1,+,2.5x,2,+,2.7x,3,+,2.8x,4,0,目标约束条件,正常库容约束,1月,2,y,1,+,x,1,3,y,1,+,x,1,+,d,1,-,d,1,+,=,1,2,月 ,y,1,y,2,+,x,1,+,x,2,+,d,2,-,d,2,+,=,1,3,月 ,y,1,y,2,y,3,+,x,1,+,x,2,+,x,3,+,d,3,-,d,3,+,=,1,4,月 ,y,1,y,2,y,3,y,4,+,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,+,d,4,-,d,4,+,=,1,42,各月储备金约束,1,月,2.9,y,1,-,2.6x,1,+,d,5,-,d,5,+,=,1,2,月,2.9,y,1,+2.7y,2,-,2.6x,1,-,2.5x,2,+,d,6,-,d,6,+,=,1,3,月,2.9,y,1,+2.7y,2,+3.1y,3,-,2.6x,1,-,2.5x,2,-,2.7x,3,+,d,7,-,d,7,+,=,1,4,月,2.9,y,1,+2.7y,2,+3.1y,3,+3.3y,4,-,2.6x,1,-,2.5x,2,-,2.7x,3,-,2.8x,4,+,d,8,-,d,8,+,=,1,总盈利约束：,期望利润(3.3-2.5)(3+2) 4=16,销售收入:,2.9,y,1,+2.7y,2,+3.1y,3,+3.3y,4,销售成本:,2.5,2+2.6,x,1,+2,.5x,2,+,2.7x,3,2.9y,1,+2.7y,2,+3.1y,3,+3.3y,4,-2.6x,1,-2,.5x,2,-,2.7x,3,+,d,9,-,d,9,+,=,21,目标达成函数,minZ,=P,1,(,d,1,+,+,d,2,+,+,d,3,+,+,d,4,+,) +,P,2,(,d,5,-,+,d,6,-,+,d,7,-,+,d,8,-,) +,P,3,d,9,-,43,作业4.2(1)4.64.7,44,本章小结,End,45,