3-05 定积分在几何和经济中的应用

单击此处编辑母版标题样式,湘潭大学数学与计算科学学院,*,上一页,下一页,返回首页,湘潭大学数学与计算科学学院,1,第五,节 定积分在几何和经济中的应用,一、定积分的微元法,二、定积分在几何上的应用,三、定积分在经济中的应用举例,四、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,2,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、定积分的微元法,a,b,x,y,o,湘潭大学数学与计算科学学院,3,(3),求和，得,A,的近似值,面积表示为定积分的,步骤,如下,:,湘潭大学数学与计算科学学院,4,a,b,x,y,o,(4),求极限，得,A,的精确值,提示,面积元素,湘潭大学数学与计算科学学院,5,当所求量,U,符合下列条件：,(,1,),U,是与一个变量,x,的变化区间,a,b,有关的量；,(2),U,对于区间,a,b,具有可加性,.,就是说,，,如果把区间,a,b,分成许多部分区间，则,U,相应地分成许多部分量，而,U,等于所有部分量之和；,就可以,考虑用定积分来表达这个量,U.,湘潭大学数学与计算科学学院,6,元素法的,一般步骤,：,1),根据问题的具体情况，选取一个变量,.,例如,x,为积分变量，并确定它的变化区间,a,b,;,2,）设想把区间,a,b,分成,n,个小区间，取其中任一,小区间并记为,x,x+,d,x,，求出相应于这小区间的部,分量,U,的近似值,.,如果,U,能近似地表示为,a,b,上,的一个连续函数在,x,处的值,f,(,x,),与,d,x,的乘积，就把,f,(,x,) d,x,称为量,U,的元素且记作,d,U,，即,湘潭大学数学与计算科学学院,7,这个方法通常叫做,元素法,(,或,微元分析法,),3,）以所求量,U,的,元素,f,(,x,) d,x,为被积表达式,，,即为所求量,U,的积分表达式,.,在区间,a,b,上作定积分，得,湘潭大学数学与计算科学学院,8,应用方向：,数学,:,平面图形的面积,体积,函数平均值；,物理,:,水压力；引力等,;,经济,:,已知边际求总量,.,湘潭大学数学与计算科学学院,9,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.1,、平面图形的面积直角坐标系情形,一 、 定积分在几何学上的应用,湘潭大学数学与计算科学学院,10,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,图形的面积,.,湘潭大学数学与计算科学学院,11,解,两曲线的交点,选 为积分变量,湘潭大学数学与计算科学学院,12,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选,x,吗,？,湘潭大学数学与计算科学学院,13,解,两曲线的交点,选 为积分变量,方法,1,湘潭大学数学与计算科学学院,14,解,两曲线的交点,方法,2,选取,x,作为积分变量，,湘潭大学数学与计算科学学院,15,解,利用对称性,有,利用椭圆的参数方程,例,4,求椭圆,所围图形的面积,.,当,a,=,b,时得圆面积公式,应用定积分换元法得,湘潭大学数学与计算科学学院,16,面积元素,曲边扇形的面积,1.2,平面图形的面积极坐标系情形,湘潭大学数学与计算科学学院,17,解,由对称性知总面积,=,4,倍第一象限部分面积,湘潭大学数学与计算科学学院,18,解,利用对称性知,湘潭大学数学与计算科学学院,19,旋转体,就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体,圆柱,圆锥,圆台,二 旋转体的体积,这直线叫做,旋转轴,湘潭大学数学与计算科学学院,20,x,y,o,旋转体的体积为,一般的，如果旋转体是由连续曲线,y,=,f,(,x,),，直线,x,=,a,x,=,b,及,x,轴所围成的曲边梯形绕,x,轴旋转一周而成的立体，体积为多少？,取积分变量为,x,在区间,a,b,上任取小区间,x,x+,d,x,，,取以,d,x,为底的窄边,梯形绕,x,轴旋转而成的薄片的体积为,体积元素,:,湘潭大学数学与计算科学学院,21,当考虑连续曲线段,绕,y,轴旋转一周围成的立体体积时,有,湘潭大学数学与计算科学学院,22,例,7,计算由椭圆,所围图形绕,x,轴旋转而,解,方法,1,利用直角坐标方程,(,利用对称性,),转而成的椭球体的体积,.,湘潭大学数学与计算科学学院,23,方法,2,利用椭圆参数方程,则,特别当,b,=,a,时,就得半径为,a,的球体的体积,湘潭大学数学与计算科学学院,24,三、定积分在经济中的应用举例,例,8,某公司研发推出一种新产品，预计产品价格,P,随时间,t,（从产品上市开始计算月数）变化的函数为,(,万元,/,件,).,在时刻,t,时,此产品的边际,需求量,Q,(,t,),与价格,p,(,t,),及其变化率,有关，且满足,又当产量为,Q,件时的边际生产成本为,（万元,/,件）,求该产品一年内能给公司创造的总利润,湘潭大学数学与计算科学学院,25,解,将价格函数代入边际需求函数得,在,t,时刻的边际生产成本为,湘潭大学数学与计算科学学院,26,=433.44(,万元,).,于是生产该产品在一年内的总利润为,因为,总利润,=,总收入,-,总成本，,湘潭大学数学与计算科学学院,27,例,9,某企业生产某产品,x,单位时的边际收益为,（元,/,单位）,(1),求生产,x,单位时的总收益,R,(,x,),及平均收益,（,2,）求生产,100,个单位该产品的总收益及平均收益，,并求再生产,100,个单位时该产品所增加的总收益,解,(1),因为,所以总收益为,:,湘潭大学数学与计算科学学院,28,平均收益,为,解,(1),因为,所以,总收益,为,:,湘潭大学数学与计算科学学院,29,(2),生产,100,个单位该产品的总收益为,平均收益为,再生产,100,个单位该产品所增加的总收益为,湘潭大学数学与计算科学学院,30,四、小结,1.,平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,2.,定积分在经济中的应用,湘潭大学数学与计算科学学院,31,作业,P178,A,组,: 1; 3; 5; 6; 8; 9.,