高阶线性微分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 高阶线性微分方程,一,.,二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例,.,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解,:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,设时刻,t,物位移为,x,(,t,).,(1),自由振动情况,.,弹性恢复力,物体所受的力有,:,(,虎克定律,),成正比,方向相反,.,建立位移满足的微分方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,阻力,据牛顿第二定律得,则得有阻尼,自由振动方程,:,(2),强迫振动情况,.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得,强迫振动方程,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n,阶线性微分方程,的一般形式为,为二阶线性微分方程,.,具有如下,形式的方程,:,时,称为非齐次方程,;,时,称为齐次方程,.,复习,:,一阶线性方程,通解,:,非齐次方程特解,齐次方程通解,Y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解,.,证,:,代入方程左边,得,(,叠加原理,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,不一定,是所给二阶方程的通解,.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是定义在区间,I,上的,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关,.,例如，,在,(, , ,),上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关,;,又如，,若在某区间,I,上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为,0 ,可见,在任何区间,I,上都,线性无关,.,若存在,不全为,0,的常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,线性无关判别法：,在区间,I,上线性无关,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关的,充要条件,:,线性相关,存在不全为,0,的,使,(,无妨设,线性无关,常数,线性无关,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,是,n,阶齐次方程,的,n,个线性无关解,则方程的通解为,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数,),是该方程的通解,.,结论：,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,X,(t),是相应齐次方程的通解,则,是非齐次方程的通解,.,这是因为,：,代入方程,得,复习 目录 上页 下页 返回 结束,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别是方程,的特解,是方程,的特解,.,(,非齐次方程解的叠加原理,),上述均可推广到,n,阶线性非齐次方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常数,则该方程的通解是,( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例,.,提示,:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关,.,(,反证法可证,),(89,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解,.,解,:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四,.,二阶常系数线性齐次微分方程,:,代入得,称为微分方程的,特征方程,令方程的解为,其根称为,特征根,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,的通解,.,解,:,特征方程,特征根,:,因此原方程的通解为,1.,当,时,特征方程有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解,:,因此方程的通解为,则微分,2.,当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(,u,(,t,),待定),代入方程得,:,是特征方程的重根,取,u = t,则得,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,求解初值问题,解,:,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解,:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解,:,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,解,:,特征方程,:,特征根为,则方程通解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二阶常系数齐次线性微分方程,:,称为微分方程的,特征方程,1.,当特征方程有两个相异实根,方程的通解为,其根称为,特征根,.,2.,当特征方程有两个相等实根,方程的通解为,3.,当,特征方程有一对共轭复根,方程的通解为,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程,:,推广,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,解,:,特征方程,:,特征根,:,原方程通解,:,(,不难看出,原方程有特解,推广 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,解,:,特征方程,:,特征根为,则方程通解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,的通解,.,解,:,特征方程,特征根,:,因此原方程通解为,五,.,二阶常系数线性非齐次微分方程,:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,F,(,t,),的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,.,待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1),若,不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为,m,次多项式,.,Z,(,x,),为,m,次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3),若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,推广：,对,n,阶方程,即,即,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,的一个特解,.,解,:,不是特征方程为,的根,.,设所求特解为,代入方程,:,比较系数,得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,的通解,.,解,:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,求解定解问题,解,:,本题,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是所求解为,解得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（,为实数,为,m,次多项式）,1.,若,不是特征方程的根,特解,形式为,2.,若,是特征方程的,单根,特解形式为,3.,若,是特征方程的,重根,特解形式为,推广：,对,n,阶方程,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,为复数,为,m,次多项式）,对,n,阶方程,当,是特征方程的,k,重复根,时,特解,第一步,利用欧拉公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,、,第二步 问题转化为,求如下两方程的特解,是特征方程的,k,重根 (,k,= 0, 1),故,等式两边取共轭,:,为方程,的特解,.,设,则,有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三步,求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解,:,原方程,均为,m,次多项式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,均为,m,次多项式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是特征方程的,k,重根 (,k,= 0, 1),设,则,例,.,的一个特解,.,解,:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,的通解,.,解,:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程,:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,解,:,(1),特征方程,有二重根,而恰好,=0,，,=,1,，,所以设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,特征方程,有根,于是设原非齐次方程特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于,，,=0,，,设方程特解为,对于,，,=1,，,设方程特解为,对于,，,=0,，,=1,，,设方程特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六,.,欧拉方程,常系数线性微分方程,欧拉方程的解法,:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,欧拉方程转化为常系数线性方程,:,例,.,解,:,则原方程化为,根,对应的齐次方程的通解为,特征方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解,:,代入确定系数,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,解,:,将方程化为,(,欧拉方程,),则方程化为,特征根,:,设特解,:,代入 解得,A,= 1,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,.,解,:,等号两边对,x,求导，得定解问题,则方程化为,特征根,:,设特解,:,代入得,A,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,如何解下述微分方程,提示,:,原方程,直接令,第,11,节 目录 上页 下页 返回 结束,二阶常系数齐次线性微分方程,:,称为微分方程的,特征方程,1.,当特征方程有两个相异实根,方程的通解为,其根称为,特征根,.,2.,当特征方程有两个相等实根,方程的通解为,3.,当,特征方程有一对共轭复根,方程的通解为,复习：,（,为实数,为,m,次多项式）,1.,若,不是特征方程的根,特解,形式为,2.,若,是特征方程的,单根,特解形式为,3.,若,是特征方程的,重根,特解形式为,推广：,对,n,阶方程,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,均为,m,次多项式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是特征方程的,k,重根 (,k,= 0, 1),设,则,例,.,解,:,位移,x,(t),满足,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设,t,= 0,时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,自由振动方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,据牛顿第二定律得,则得有阻尼,自由振动方程,:,(2),强迫振动情况,.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得,强迫振动方程,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程,:,特征方程,:,特征根,:,利用初始条件得,:,故所求特解,:,方程通解,:,1),无阻尼自由振动情况,(,n,= 0,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解的特征,:,简谐振动,A,:,振幅,:,初相,周期,:,固有频率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,仅由系统特性确定,),方程,:,特征方程,:,特征根,:,小阻尼,:,n,k,临界阻尼,:,n,=,k,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,n,k,),大阻尼解的特征,:,1),无振荡现象,;,2),对任何初始条件,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,n,=,k,),临界阻尼解的特征,:,任意常数由初始条件定,最多只与,t,轴交于一点,;,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置,.,2),无振荡现象,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求物体的运动规律,.,解,:,问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当,p,k,时,齐次通解,:,非齐次特解形式,:,因此原方程之解为,若设物体只受弹性恢复力,f,和铅直干扰力,代入可得,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当干扰力的角频率,p,固有频率,k,时,自由振动,强迫振动,当,p,=,k,时,非齐次特解形式,:,代入可得,:,方程的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若要利用共振现象,应使,p,与,k,尽量靠近,或使,随着,t,的增大,强迫振动的振幅,这时产生共振现象,.,可无限增大,若要避免共振现象,应使,p,远离固有频率,k,;,p,=,k,.,自由振动,强迫振动,对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有,利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,