决策中的收益损失与效用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第四章 决策中的收益、损失与效用,4.1,决策问题的三要素,4.2,决策准则,4.3,先验期望准则,4.4,损失函数,4.5,常用损失函数,4.6,效用函数,2,4.1 决策问题的三要素,决策就是对一件事要作决定.它与推断的差别在于是,否涉及后果.统计学家在作推断时是按统计理论进行的,很少考虑结论在使用后的损失.可决策者在使用推断结,果时必需与得失联系在一起,能带来利润的就会用,使他,遭受损失的就不会被采用,度量得失的尺度就是损失函,数.,贝叶斯决策:把损失函数加入贝叶斯推断就形成贝叶,斯决策论,损失函数被称为贝叶斯统计中的,第四种,信息.,一、决策的基本概念,3,例1 设甲乙二人进行一种游戏,甲手中有三张牌,分别标以,.乙手中也有三张牌, 分别标以 .游戏的规则是双方各自独立地出牌,按下表计算甲的得分与乙的得分.,甲的得分矩阵(乙的失分矩阵),3,-2,0,1,4,-3,-4,-1,2,这是一个典型的双人,博弈,(赌博)问题.不少实际问题可归结为双人博弈问题.把上例中的乙方改为自然或社会,就形成人与自然(或社会)的博弈问题.,4,例2 某农作物有两个品种:产量高但抗旱能力弱的品种 和抗旱能力强但产量低的品种 .在明年雨量不知的情况下,农民应选播哪个品种可使每亩平均收益最大?这是人与自然界的博弈.以明年60,0mm,雨量为界来区分雨量充足 和雨量不充足 写出收益矩阵(单位:元),1000,200,-200,400,5,例3 一位投资者有一笔资金要投资.有以下几个投资供他选择:,:购买股票,根据市场情况,可净赚5000元,但也可能亏损 10000元;,:存入银行,不管市场情况如何总可净赚1000元.,这位投资者在与金融市场博弈.未来的金融市场也有二种情况:看涨 与看跌 .可写出投资者的收益矩阵,投资者将依据此收益矩阵决定他的资金投向何方.,这种人与自然,(,或社会,),的博弈问题称为决策问题,.,6,二、决策问题的三要素,1.,状态集 ,其中每个元素 表示自然界(或社会)可能出现的一种状态,所有可能状态的全体组成状态集.（如例2中的两种状态：雨水充足和雨水不充足）,2.,行动集 ,其中,a,表示人对自然界可能采取的一个行动.,注意,：一般行动集有两个以上的行动供选择.若有两个行动无论对自然界的哪一个状态出现, 总比 收益高,则 就没有存在的必要,可把它从行动集中去掉,使留在行动集中的行动总有可取之处.,7,3.收益函数,。,函数值 表示当自然界处于状态,而人们选取行动 时所得到的收益大小,。,收益函数的值可正可负，其正表示赢利，负表示亏损，单位常用货币单位。收益函数的建立不是件容易的事，要对所研究的问题有全面的了解才能建立起来。收益矩阵（例,4.1.4,）,8,4.2 决策准则,一、行动的容许性,二、决策准则,1.,乐观准则,2.,悲观准则,3.,折中准则,9,一、行动的容许性,定义：在,给定,的决策问题中，,A,中的行,动,a,1,称为是,容许,的。假如在,A,中不存在满足,如下两个条件的行动,a,2,，,1.,对所有的,，有,Q(,a,2,)Q(,a,1,),2.,至少有一个,可使上式不等式严格成立。,假如这样的,a,2,存在的话,则称,a,1,是非容,许,的,;,假如二个行动,a,1,和,a,2,的收益函数在,上,处处相等,则称行动,a,1,与,a,2,是,相等,的。,10,两点说明：,1.,一般情况下，行动集中只存在容许行动。,2.,上面的讨论是对收益函数而言的，但我们还可以对支付函数（或亏损函数、成本函数）进行讨论，此时需要支付函数（或亏损函数、成本函数）越少越好。,11,12,二、决策准则,1.,乐观准则,(1),定义：乐观准则也称“好中求好”决策准则，,或称“最大最大”决策准则。这种决策准则就是充分,考虑可能出现的最大利益，在各最大利益中选取最,大者，将其对应的方案作为最优方案。这种决策准,则的客观基础就是所谓的天时、地利和人和，决策,者感到前途乐观，有信心取得每一决策方案的最佳,结果。,13,(2),乐观准则决策方法的一般步骤：,确定各种可行方案；,确定决策问题将面临的各种自然状态；,将各种方案在各种自然状态下的收益值列于决策,矩阵表中,(,表,4-1),；,求每一方案在各自状态下的最大收益值，将其填,写在决策矩阵表的最后一列；,取 中的最大值 ，所对,应的方案为最佳决策方案。,14,“乐观准则”决策矩阵表,表,4-1,15,(3)“,乐观准则”决策方法的应用,假设某一决策问题的决策收益矩阵表如,下，按乐观准则选取最优方案。,8.72,8.07,8.25,8.72,7.39 8.07 7.19,8.25 6.96 6.08,6.13 8.72 7.24,1,2,3,决 策,a,1,a,2,a,3,自然状态,行动方案,16,假设某一决策问题的决策损失矩阵表如下，按乐观准则选取最优方案。,5,5,7,6,6,11 8 8 5,9 10 7 11,6 12 10 9,7 6 12 10,1,2,3,4,决 策,a,1,a,2,a,3,a,4,自然状态,行动方案,17,2.悲观准则,(1),定义：悲观准则又称“小中取大”决策准则或叫“坏中求好”决策准则。这种决策准则的客观依据是决策的系统功能欠佳，形势对决策者不利，所以，决策者没有理由希望获得最理想的结果。面对这种情况，,决策者必须从每一方案的最坏处着想，从每个方案的最坏结果中选择一个最佳值，,即在所有不利的收益中，选取一个收益最大的方案作为最优决策方案。,18,(2),悲观准则决策方法的一般步骤：,若决策矩阵为收益矩阵，则先对每一行动选,出最小的收益，再在所有选出的最小收益中选,取最大值。此最大值对应的行动就是悲观准则,下的最优行动；,若决策矩阵为损失矩阵，则先对每一行动选,出最大的损失，再在所有选出的最大损失中选,取最小值。此最小值对应的行动就是悲观准则,下的最优行动；,19,(3)“,悲观准则”决策方法的应用,假设某一决策问题的决策收益矩阵表如下，按悲观准则选取最优方案。,7.19,7.19,6.08,6.13,7.39 8.07 7.19,8.25 6.96 6.08,6.13 8.72 7.24,1,2,3,决 策,a,1,a,2,a,3,自然状态,行动方案,20,假设某一决策问题的决策损失矩阵表如下，按悲观准则选取最优方案。,10,11,10,12,12,11 8 8 5,9 10 7 8,6 12 11 9,7 6 12 11,1,2,3,4,决 策,a,1,a,2,a,3,a,4,自然状态,行动方案,21,3.折中准则,(1),定义,:,折中准则又称,系数决策准则,是对悲观准则和乐观准则进行折中的一种决策准则,.,是一个依决策者认定情况乐观还是悲观而定的系数,称为乐观系数,.,若认定情况完全乐观,则,=1,若认定情况完全悲观,则,=0;,一般情况下,则,0,1.,22,(2),折中准则的基本步骤,第一步,:,确定系数,的值,;,第二步,:,对每一行动,a,计算,:,其中 表示行动,a,的最大收益值,表示行动,a,的最小收益值,第三步,:,取行动,a,0,使,H(a,0,),达到最大,即,此种,a,0,就是这种准则下的最优行动,.,23,(3),折中准则决策方法应用案例,某工厂预备生产一种新型童车,根据市场需求分析和,估计，产品销路可分为三种状态,:,1,-,销路好,;,2,-,销路,一般,;,3,-,销路差,.,可供选择的行动方案也有三种,:a,1,大,批量生产,;a,2,中批量生产,;a,3,小批量生产,.,根据产量多,少和销售情况，工厂的盈利情况也有所不同,可能获利,也可能亏损,将此数值称为损益值,.,获利时称为收益值,亏损时称为损失值，用负号表示,.,现调查得本月的损益,值见下表,.,试用,系数法作出决策,.,24,新型童车损益值表,自然状态,行动方案,销路好,1,销路一般,2,销路差,3,大批量生产,a,1,30,23,-15,中批量生产,a,2,25,20,0,小批量生产,a,3,12,12,12,25,解,:,第一步,确定系数,的值,=0.6,第二步,计算,H(a) H(a,1,)=0.6max(30,23,-15) +0.4min(30,23,-15)=12(,万元,) H(a,2,)=0.6max(25,20,0) +0.4min(25,20,0)=15(,万元,) H(a,3,)=0.6max(12,12,12) +0.4min(12,12,12)=12(,万元,),第三步,计算收益中的最大者,H(a,0,)=max(12,15,12)=15(,万元,),所以最佳方案应为中批量生产,即为,a,2,.,26,4.3,先验期望准则,一、先验期望准则,(1),定义：对给定的决策问题，若在状态集,上有一个正常的先,验分布,(,),，则收益函数,Q(,),对,(,),的期望与方差,分别称为先验期望收益和收益的先验方差。使先验平均收益达,到最大的行动,a,称为,先验期望准则下的最优行动,。若此种最优行动不止一个，其中先验方差达到最小的行动称为,二阶矩准则下的最优行动。,27,几点说明：,1.,定义中的先验分布只能用正常先验分布，而不能采用广义先验分布。,2.,如果在比较先验期望收益的大小时，有两个或两个以上的行动使先验期望收益达到最大，这时才需要比较先验方差的大小做出决策。,3.,使用合理的先验信息，按照先验期望准则和二阶矩准则进行决策，所得结果更加可信。,28,(2),案例分析,例,1,某厂准备开发一种新产品，有三种方案供选择：,a,1,、,a,2,和,a,3,。预计一年后市场对该种产品的需求量,可分为较高、一般和较低。且预计一年后市场需求量,是高、中、低的主观概率为：,(,1,)=0.6,(,2,)=,0.3,(,3,)=0.1,同时算得收益矩阵如下。,试用先验,期望准则确定最佳行动方案。,29,状态,方案,较高,1,一般,2,较低,3,a,1,700,250,-200,a,2,980,-500,-800,a,3,400,90,-30,30,先验期望准则和其他准则的关系,市场需求量,1,高,2,中,3,低,悲观准则下,1,0,0,1,乐观准则下,2,1,0,0,折中准则下,3,0.8,0,0.2,先验期望准则下,0.6,0.3,0.1,31,例,3,一卖花姑娘每天从花市按每棵,5,元购进，而按每棵,10,元卖出，当天若卖不完则剩下的花只能当垃圾。问该姑娘每天购进多少花？,出售量,(,棵,/,日,),频数,(,日,),频率,14,4,0.08,15,11,0.22,16,10,0.20,17,7,0.14,18,7,0.14,19,6,0.12,20,5,0.10,累计,50,1.00,32,二、两个性质,定理,4.1,：在先验分布不变的情况下，收益函数的线性变换不会改变先验期望准则下的最优行动。,定理,4.2,：设,1,为状态集,的一个非空子集，假如在,1,上的收益函数,Q(,a),都加上一个常数,c,，而在,上的先验分布不变，则在先验期望准则下的最优行动不变。,例,4(P135,例题,4.3.4),33,4.4 损失函数,1.损失函数的含义,这里的损失不是负的收益，也不是亏损。例如，某商店一个月的经营收益为-1000元，即亏1000元。这是对成本而言。我们不称为损失，而称其为亏损。我们讲的损失是指“,该赚而没有赚到的钱,”，例如该商店本可以赚2000元，但由于某种原因亏了1000元，那我们说该商店损失了3000元。用这种观点认识损失对提高决策意识是有好处的。,按上述观点从收益函数可以很容易获得损失函数。,34,例,5,某公司购进某种货物可分大批、中批和小批三种行动，记为 。未来市场需求量可分为高、中、低三种状态，记为 。三个行动在不同市场的利润,(,千元）如下:,这是一个收益矩阵,我们把它改写成损失矩阵如下:,由此可见,决策者在做决策时,要尽量避免大损失,追求小损失甚至无损失,.,35,2.损失函数,构成决策问题的三要素:,由收益函数容易获得损失函数,例,6,某公司购进一批货物投放市场,若购进数量 低于市场需求量 ,每吨可赚15万元, 若购进数量 超过市场需求量 ,超过部分每吨反而要亏35万元.由此可写出收益函数,36,则立即可得损失函数,:,显然,当购进数量 等于市场需求量 时,收益达到最大为15,.,37,3.损失函数下的悲观准则,第一步,对每个行动 ,选出最大损失值,记为,第二步,在所有选出的最大损失中再选出最小者,则 满足,则称 为悲观准则下的最优行动.这是一种保守策略.不求零损失,但愿少损失.,38,例,7,某公司购进某种货物可分大批、中批和小批三种行动，记为,，未来市场需求量可分为高、中、低三种状态，记为,三个行动在不同市场的收益矩阵和损失矩阵如下,:,试比较在,Q,与,L,下的最优行动。,思考,：为什么所选行动不一样？,39,例,8,某股票投资者对金融市场上的两种资产进行投资,其收益矩阵如,Q,请帮助作出合适的决策,(,按悲观准则,).,用,Q,做决策,(,按悲观准则,),结果为,a,2,是最佳行动,显然该,决策不好,。,用,L,做决策,(,按悲观准则,),结果为,a,1,。,说明这样一个道理,:,用损,失函数做决策要比用收益函,数做决策更合理,(,P140),。,40,4.损失函数下的先验期望准则,(1),定义,:,对给定的决策问题，若在状态集,上有一个正常的先,验分布,(,),，则损失函数,L(,),对,(,),的期望与方差,分别称为先验期望损失和损失的先验方差。使先验期望损失达,到最小的行动,a,称为先验期望准则下的最优行动。若此种最优行动不止一个，,其中先验方差达到最小的行动称为二阶矩准则下的最优行动。,41,注意事项:,1.,定义中的先验分布只能用正常先验分布，而不能采用广义先验分布。,2.,损失的先验方差有着特别的意义,:,(1),可以作为挑选最优行动的标准,(,在平均先验损失相等或者相差不大时,).,(2),衡量风险的大小,.,3.,使用合理的先验信息，按照先验期望准则和二阶矩准则进行决策，所得结果更加可信。,42,(2),例题,例,9,若有一决策问题如下,试用损失函数,下的先验期望准则选出最优行动,.,43,损失函数是要根据实际问题而定的，但不论在什么场合，今后总要求损失函数是非负的。,当 与 都为实数时，总认为行动 离状态 愈远而引起的损失愈大，所以损失函数 应是距离 的非降函数，常取,其中， 且有限， 是 的非降函数。,4.5,常用损失函数,44,(1)平方损失函数,这是在统计决策中用得最多的损失函数.,(2),线性损失函数,(3)0-1损失函数,(4),多元二次损失函数,45,(5),二行动线性决策问题的损失函数,定义,:,若某一决策问题只有两个行动,a,1,a,2,而在每个行,动下的收益函数都是状态,(,连续或离散,),的线性函数,即,则称此决策问题为二行动线性决策问题,.,下列函数称为该决策问题对应的损失函数,46,例题,11,甲乙两厂生产同一种产品，其质量相同,零售价也相同,现两厂都在招聘推销员,但所付报酬不同,甲厂每公斤给报酬,3.5,元,;,乙厂每公斤给报酬,3,元,还另给每天,10,元的津贴,应聘人如何选择,?,收益函数,:,损失函数,:,Q Q(,a,2,),0,0,Q(,a,1,),47,