高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高等传热学,*,第一讲 导热的基本理论,Basic Theory Of Heat Conduction,导热的波动性,(,wave,),及傅立叶导热定律的修正,(,modification,),各向异性介质中的导热,(,anisotropic medium,),热传导过程的能量平衡及其表现形式,导热微分方程在正交坐标系,(ORTHOGONAL CURVILINEAR COORDINATE SYSTEM),表述,高等传热学,机械波的形成,Form of the mechanical wave,物体的振动,(vibration),要与周围物质发生相互作用，从而导致能量向四周传播,机械波正是这样一个机械振动的传播过程,机械波的形成需要两个条件：波源,(source),及传播振动的物质,(media),波源是引起波动的初始振动物体,传播振动的物质一般为弹性介质,(elastic media),高等传热学,波的特征,wave property,传播介质中的质点,(particle),并未随机械波的传播而迁移,(move),水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力作用下上下振动，从而带动周边的质点一起上下振动，此质点与周边质点的振动有一个相位差,(phase difference),，这种波称为横波,(transverse wave),声波,(sound wave ),的实质与水波,(water wave ),完全一致，只是水波能看到，声波看不到,高等传热学,热的波动性,wave of the heat,导热的微观机理根据物质形态的不同而有差别,热传导过程的实现由两种相互独立的机制完成,（,1,）利用晶格,(,crystal lattice,),波的振动和声子,(phonon),的运动；（,2,）自由电子,(free electron),的平移移动,在导热时的能量传递是微观粒子的波动或运动导致,导热时热量的传播速度不会以无限大的速度,(infinite speed),进行,高等传热学,经典傅立叶导热定律的适用条件,applicable condition of the Fourier,s low,经典的傅立叶导热定律针对稳态,(steady state),观察所得，没有考虑热的波动性,在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大,方程说明什么？各变量是何含义？,在直角坐标系中，上式如何描述？,高等传热学,经典傅立叶导热定律所得出热量传递速度无限大的证明,(prove),针对初始温度为,0,的无限大一维物体，突然有单位体积,(unit volume),发热量,(heat generation rate),为,Q(x,),的内热源,(inner heat source),开始发热，按照经典的傅立叶导热定律，其定解,(unique solution),问题可以用以下表达：,式中：,按格林函数,(Green function),法求解可得温度分布,(temperature distribution),：,其中，,它代表在时间,0,这一瞬时,(moment),，作用在无限大物体内,x=,处的热源所引起的温度分布。,显然，当时间,时，若内热源为放热源，则整个无限大区域内的温度总是升高；反之则温度降低。,任何一点的温度都要受到瞬时热源的影响,这意味着热量传递速度无限大,质点温度发生变化，则意味着内能发生变化,按热力学第一定律，必有热量进出该质点,结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域，不论空间介质种类如何（热量传播速度无限大）,温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的份额不同,热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量守恒原理而得,能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系，与能量传递过程中具体行为无任何联系,故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致,高等传热学,稳态情况下热量传播速度无限大的理解,高等传热学,热量实际的传播速度的确定,对于一个处于稳定状态的热传导系统，当系统内部（,interior,）或边界（,boundary,）出现一个热扰动时，原来的稳定状态便被破坏,(destroy),通过一段时间的热量传递，系统将达到一个新的稳定状态,有热扰动,(heat disturbance),引起的瞬态温度分布必将滞后于热扰动,温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为松弛时间（或驰豫时间）,relaxation time,以,c,代表热量传递速度，,0,代表驰豫时间，则在温度场重新建立期间，热扰动传播的距离为,c ,0,，从热扩散率角度来看，热扰动传播距离可以表示为,a/c,，从而：,则热量传播速度为,这说明热量传播速度随物体热扩散率增大而增大，随松弛时间增大而减小。松弛时间大致为分子二次碰撞间的时间间隔。氮：,10,9,s,，铝：,10,11,s,高等传热学,由于滞后于热扰动温度场重新建立所需要的热量,单位时间内某地的热量变化,松弛时间某地的热量变化,变形：,高等传热学,修正的傅立叶导热定律,modified Fourier,s low,与一般的傅立叶导热定律有何区别,更多内容可参阅,“,热传导、质扩散与动量传递中的瞬态冲击效应,”,一书，作者：姜任秋,或：,高等传热学,各向异性介质中的导热,heat conduction in the anisotropic medium,何为各向异性？,i= 1,2,3,下标,i,j,分别是何含义,?,其中,:,矢量,Vector,矩阵,Matrix,矢量,可以通过坐标变换,(coordinate system transformation ),，在一个确定的坐标系（,1,，,2,，,3,）下，,坐标轴,(coordinate axis) O,1,，,O,2,，,O,3,称为导热系数主轴,(principal axis),，,1,，,2,，,3,成为主导热系数。,高等传热学,热传导过程的能量平衡及其表现形式,energy balance for heat conduction and its mathematical form,导热积分方程,integral equation,导热微分方程,differential equation,导热变分方程,variation equation,导热方程式是以数学形式体现的在热传导过程中、特定考虑区域内的,能量守恒,规律，即简化的热力学,thermodynamics,第一定律。,它揭示了温度场在时,空领域内的内在联系。,高等传热学,导热积分方程及其推导,heat conduction integral equation and its deduction,假设模型：,Assumption,物体存在内热源，其热源强度为,q,V,，所考虑控制容积为,V,，边界面积为,A,。取微元体容积为,dV,，其边界面积为,dA,。,V,A,dv,dA,导入的净热流量,+,内热源发热量,=,内能增加量,按热平衡有：（针对控制容积,control volume,）,导入的净热流量,net heat flow rate,内热源发热量,heat generation,内能增加量,intrinsic energy,increasing,将各项表达式代入热平衡式：,上式称为导热方程的,积分形式,integral form,（注意：各向同性，异性均适用）,高等传热学,导热积分方程,heat conduction integral equation,代入上式，则有：,这就是导热,积分方程（,integral equation,）,，它针对物体内任意区域。,将内能与温度的关系,e = ct,和傅里叶定律,高等传热学,导热微分方程及其推导,曾经的推导方式是怎样？,在具体坐标系下，对微元体,(different element),应用能量平衡原理,基于导热积分方程，利用散度定理,(divergence theorem),推导,按散度定理，将对面积的积分,(surface integral),改为对体积的积分,(volume integral),则积分形式成为：,或：,上式为导热能量方程的,微分形式,differential form,去掉积分符号,高等传热学,导热微分方程,heat conduction differential equation,即,（注意：只适用于各向同性材料）,上式进一步将内能用温度表示，热量用温度梯度表示，则：,各种常物性,(constant property),材料的导热微分方程,稳态导热,+,无内热源：,无内热源项： （抛物线型偏微分方程）,考虑热传播速度的有限性,对于无源项情况， （双曲线型,hyperbola,偏微分方程）,是对抛物线型,parabolic,偏微分方程的一种修正,高等传热学,导热微分方程在正交坐标系,(,orthogonal curvilinear coordinates),中表述,梯度,(gradient),一般表达式在附录,(Appendix) 3,中式（,9,）,按温度变量,(variable),有：,H,i,称为拉梅,(Lame),系数（或度规系数）,（,a),根据附录,3,式（,10,），得热流密度,(heat flux),的散度：,其中，,H,H,1,H,2,H,3,由,（,a),、（,b),两式及傅立叶导热定律，可得,:,（,b),将此表达式代入导热微分方程，则：,高等传热学,齐次（,Homogeneous,）问题与非齐次问题,只有当微分方程与边界条件均为齐次的情况下，才能将此问题视为其次,如果微分方程、或边界条件或两者都是非齐次的话，则要求解的问题称为非齐次问题,高等传热学,下面问题属那类问题？,在区域,R,0,t = f (,r,),在区域,R,0,在边界面,S,i,0,高等传热学,下面问题属那类问题？,在区域,R,0,t = f (,r,),在区域,R,0,在边界面,S,i,0,高等传热学,第一讲总结,conclusion,导热热量传递的波动性,傅立叶导热定律的一般表达,傅立叶导热定律的修正,各向异性物质中的傅立叶导热定律及导热系数,导热方程,正交坐标中导热微分方程的表达,高等传热学,习题,Homework,一个很长的半圆形厚壁管（,r,1,rr,2,0,），内、外半径圆柱面绝热，即,=0,及,=,处边界分别维持,t,1,和,t,2,。 试确定管壁内的温度分布及通过的热流量表达式,一大平板， 内热源,q,v,不变时，试讨论两侧边界条件变化对温度分布的结果有何影响？内热源不同会对两侧边界条件同为第三类时的温度分布有何影响？,