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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Company,Logo,主讲教师,:,张恩路,线性代数,Linear Algebra,第一章 行列式,1. 牢记行列式的,6,条性质；,2,. 会利用行列式的性质计算行列式的值；,3.,掌握,余子式和代数余子式的定义及,按行（列）,展开定理；,4.,会利用按行（列）展开定理计算行列式的值；,n,阶行列式的性质,性质,1:,行列式与它的转置行列式相等,即,D,T,=,D,.,性质,2:,互换行列式的两行,(,列,),行列式变号,.,推论,:,如果行列式有两行,(,列,),完全相同,则此行列式为零,.,性质,3:,行列式的某一行,(,列,),中所有的元素都乘以同一数,k,等于用数,k,乘此行列式,.,推论,:,行列式的某一行,(,列,),中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,.,性质,4:,行列式中如果有两行,(,列,),元素成比例,则此行列式为零,性质,5:,若行列式的某一列,(,行,),的元素都是两数之和,则该行列式等于两个行列式之和,.,性质,6:,把行列式的某一列,(,行,),的各元素乘以同一数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去,行列式不变,.,定理,3,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,综上所述，有,同理可得,第二章 矩阵及其运算,1. 掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘,及矩阵与矩阵的运算；,3,. 会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程；,4.,会利用分块矩阵的性质计算矩阵的逆矩阵。,2,. 掌握矩阵的转置性质、方阵的行列式性质及,逆矩阵的性质；,转置矩阵的运算性质,方阵的行列式,定义：,由,n,阶方阵的元素所构成的行列式，叫做,方阵,A,的行列式,，记作,|,A,|,或,det,A,.,运算性质,如果,n,阶方阵,A,、,B,可逆，那么 、 、,与,AB,也可逆，且,逆矩阵的性质,分块对角矩阵的性质,|,A,| = |,A,1,| |,A,2,| |,A,s,|,若,|,A,s,|,0,，则,|,A,|,0,，并且,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,1. 掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行最简形矩阵；,5,.,掌握矩阵秩的一些最基本的性质,；,7.,会讨论,线性方程组,系数矩阵的待定系数来判定,线性方程组是否有解情况。,2,. 会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、,行最简形矩阵；,3,.,会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程,；,4,.,会用初等行变换求矩阵的秩；,6,.,掌握线性方程组有解的判定条件；,定义：,下列三种变换称为矩阵的,初等行变换,：,对调两行，记作 ；,以非零常数,k,乘某一行的所有元素，记作 ；,某一行加上另一行的,k,倍，记作,.,行阶梯形矩阵：,可画出一条阶梯线，线的下方全为零；,每个台阶只有一行；,阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素,.,行最简形矩阵：,行阶梯型矩阵若满足：,1.,非零行的首个非零元为,1;,2.,这些非零元所在的列的其它元素都为零,.,（一）初等变换与矩阵乘法的关系,定理,1,设,A, B,是一个,m,n,矩阵，则,(1),的充要条件是存在 可逆矩阵,P,，,使得,P A=B,；,(2),的充要条件是存在 可逆矩阵,Q,，,使得,A Q =B,；,(3),的充要条件是存在 可逆矩阵,P,和,Q,，,使得,P A Q =B,；,推论,1,方阵,A,可逆的充要条件是,.,推论,2,方阵,A,可逆的充要条件是,.,推论,3,方阵,A,可逆的充要条件是,.,初等行变换,（二）初等变换法求逆矩阵,（三）初等变换的其他应用,初等行变换,矩阵的秩的性质,若,A,为,m,n,矩阵，则,0,R,(,A,)min(,m, n,),R,(,A,T,) =,R,(,A,),若,A,B,，则,R,(,A,) =,R,(,B,),若,P,、,Q,可逆，则,R(PAQ,) =,R,(,A,),max,R,(,A,),R,(,B,),R,(,A,B,),R,(,A,),R,(,B,),特别地，当,B,=,b,为非零列向量时，有,R,(,A,),R,(,A,b,),R,(,A,),1,R,(,A,B,),R,(,A,),R,(,B,),R,(,AB,)min,R,(,A,),R,(,B,),若,A,m,n,B,n,l,=,O,，则,R,(,A,),R,(,B,),n,定理,1,n,元线性方程组,AX,=,b,无解的充分必要条件是,R,(,A,) ,R,(,A,b,),；,有唯一解的充分必要条件是,R,(,A,) =,R,(,A,b,) =,n,；,有无限多解的充分必要条件是,R,(,A,) =,R,(,A,b,) ,n,定理,3,n,元齐次线性方程组,AX,= 0,只,有零解的充分必要条件是,R,(,A,) =,n,；,有,非零解的充分必要条件是,R,(,A,) ,n,定理,2,线性方程组,AX,=,b,有解的充分必要条件是,R,(,A,) =,R,(,A,b,),无解,否,是,无限多个解,否,是,唯一解,包含,n-R(A,),个自由变量,的通解,写出增广矩阵,B=,（,）,行最简形矩阵,求解线性方程组的步骤,其中,n,为线性方程组未知数的个数,齐次线性方程组,无穷多个解,否,是,唯一解,包含,n-R(A,),个自由变量,的通解,第四章,向量组的线性相关性,1. 掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线性相关性,；,2,. 会求,向量组的秩及向量组的最,大无关组,；,3,.,掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构,判定方程组的解,；,4,. 会求齐次,线性方程组的基础解系,；,5,. 会利用矩阵的秩,求方程组的解空间维数,；,6,. 会利用,基变换公式与坐标变换公式及过度矩阵求解相关问题。,向量组的线性组合,定义,2,：,给定向量组,A,：,a,1,a,2, ,a,m,， 对于任何一组实,数,k,1,k,2, ,k,m,，表达式,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+ +,k,m,a,m,称为向量组,A,的一个,线性组合,k,1,k,2, ,k,m,称为这个,线性组合的系数,给定向量组,A,：,a,1,a,2, ,a,m,和向量,b,，如果存在,一组实数,l,1,l,2, ,l,m,，使得,b,=,l,1,a,1,+,l,2,a,2,+ +,l,m,a,m,则向量,b,是向量组,A,的线性组合，这时称,向量,b,能由向量组,A,线性表示,向量组线性相关性的判定（重点、难点）,向量组,A,：,a,1,a,2, ,a,m,线性相关,存在,不全为零,的实数,k,1,k,2, ,k,m,，使得,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+ +,k,m,a,m,=0,（零向量）,m,元齐次线性方程组,Ax,= 0,有非零解,矩阵,A,= (,a,1,a,2, ,a,m,),的秩小于向量的个数,m,向量组,A,中至少有一个向量能由其余,m,1,个向量线性表示,线性相关性的判定,向量组线性无关性的判定,（重点、难点）,向量组,A,：,a,1,a,2, ,a,m,线性无关,如果,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+ +,k,m,a,m,=0,（零向量）,，则必有,k,1,=,k,2,= =,k,m,=0,m,元齐次线性方程组,Ax,= 0,只,有零解,矩阵,A,= (,a,1,a,2, ,a,m,),的秩等于向量的个数,m,向量组,A,中任何一个向量都不能由其余,m,1,个向量线性表示,相关结论,(1),若向量组,A,：,a,1,a,2, ,a,m,线性相关， 则向量组,B,：,a,1,a,2, ,a,m,a,m,+1,也线性相关（,部分相关，整体相关,）,其逆否命题也成立，即若向量组,B,线性无关，则向量组,A,也线性无关 （,整体无关，部分无关,）,最大无关组的求法,:,将,向量组,a,1,a,2, ,a,m,通过初等行变换化成行阶梯形，,找到矩阵,A,的一个最高阶非零子式,D,r,则,D,r,所在的,r,列是,A,的,列向量组的一个最大无关组，,D,r,所在的,r,行是,A,的行向量组,的一个最大无关组,注,1.,最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列,.,2.,向量组的最大无关组一般是不唯一的,3.,向量组 A 和它自己的最大无关组,A,0,是等价的,齐次线性方程组的解的性质,性质,1,：,若,x,=,x,1,，,x,=,x,2,是齐次线性方程组,Ax =,0,的解，,则,x,=,x,1,+,x,2,还,是,Ax =,0,的解,性质,2,：,若,x,=,x,是齐次线性方程组,Ax =,0,的解，,k,为实数，,则,x,=,k,x,还,是,Ax =,0,的解,结论：,若,x,=,x,1,x,=,x,2, .,x,=,x,t,是齐次线性方程组,Ax =,0,的解， 则,x,=,k,1,x,1,+,k,2,x,2,+ +,k,t,x,t,还,是,Ax =,0,的解,.,性质,3,：,若,x,=,h,1,，,x,=,h,2,是非齐次线性方程组,Ax = b,的解，,则,x,=,h,1,h,2,是对应的齐次线性方程组,Ax =,0,（导出组）,的,解,性质,4,：,若,x,=,h,是非齐次线性方程组,Ax = b,的解，,x,=,x,是,导出组,Ax =,0,的解，则,x,=,x,+,h,还,是,Ax = b,的解,例如：,若,x,=,h,1,，,x,=,h,2,是,Ax = b,的解，则：,（,1,）,h,1,h,2,是齐次线性方程组,Ax =,0,的解；,（,2,）（,h,1,+,h,2,）,/2,是非齐次线性方程组,Ax = b,的解,.,非齐次线性方程组的解的性质,基础解系的概念,定义,2,齐次线性方程组,Ax =,0,的一组解向量,x,1,x,2,.,x,r,如果满足,x,1,，,x,2,，,.,，,x,r,线性无关；,方程组中任意一个解都可以表示,x,1,x,2,.,x,r,的线性组合，,那么称这组解是齐次线性方程组的一个,基础解系,注：,齐次线性方程组的基础解系不唯一,.,齐次线性方程组的解集的最大无关组为,基础解系,定理,7,：,设,m,n,矩阵的秩,R,(,A,) =,r,，则,n,元齐次线性方程组,Ax =,0,的解集,S,的秩,R,S,=,n,r,已知,n,元齐次线性方程组的解集为,S,1,= ,x,|,Ax,= 0 .,则齐次线性方程组,Ax,= 0,的基础解系是,S,1,的一个基，,故,S,1,的维数等于,n,R,(,A,),定义,3,如果在向量空间,V,中取定一个基,a,1,a,2, .,a,r,，,那么,V,中任意一个向量,x,可唯一表示为,x,=,l,1,a,1,+,l,2,a,2,+ +,l,r,a,r,数组,l,1,l,2, .,l,r,称为向量,x,在基,a,1,a,2, .,a,r,中的,坐标,例,3,的列向量组是,R,3,的一个基，,那么,b,在基,e,1,e,2,e,3,中的坐标,基变换公式与坐标变换公式，过度矩阵,在,R,3,中取定一个基,a,1,a,2,a,3,，再取一个新基,b,1,b,2,b,3,，,设,A,= (,a,1,a,2,a,3,),，,B,= (,b,1,b,2,b,3,), 求用,a,1,a,2,a,3,表示,b,1,b,2,b,3,的表示式,(,基变换公式,),；, 求向量在两个基中的坐标之间的关系式,(,坐标变换公式,),.,解,：,(1),根据向量组,B,能由向量组,A,线性表示的充要条件，,只需求解矩阵方程,AX,=,B,即可,.,解得,X,=,A,-1,B,即,(,b,1,b,2,b,3,) = (,a,1,a,2,a,3,),P,其中,P= A,-1,B,，,称为基,A,到,B,的,过渡矩阵,(,transition matrix,),.,（,2,）设,x,R,3,，且,故,是从旧坐标到新坐标的,坐标转换公式,.,及,例如：,已知,R,3,的两组基为,（,1,）求基,到基 的过度矩阵,P,；,（,2,）向量,x,在,基,中的坐标为,x,在基 中的坐标,.,第五章,相似矩阵,1. 掌握向量特征值的概念和,性质,；,3,. 掌握两个矩阵相似的概念和性质,；,4,.,会利用相似矩阵的概念、性质及矩阵的特征值,的性质计算相关问题,.,2,. 会求向量的特征值和特征向量；,一、基本概念,定义,1,：,设,A,是,n,阶矩阵，如果数,l,和,n,维,非零向量,x,满足,A,x,=,l,x,，,那么这样的数,l,称为矩阵,A,的,特征值,，非零向量,x,称为,A,对应于特征值,l,的,特征向量,A,x,=,l,x,=,l,E,x,非零向量,x,满足,(,A,l,E,),x =,0,（零向量）,齐次线性方程组有非零解,系数行列式,|,A,l,E,|,= 0,特征值和特征向量的性质,在复数范围内,n,阶矩阵,A,有,n,个特征值（重根按重数计算）,设,n,阶矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2, ,l,n,，则,l,1,+,l,2,+ +,l,n,= a,11,+,a,22,+ +,a,nn,l,1,l,2,l,n,= |A|,若,l,是,A,的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系,就是对应于特征值为,l,的全体特征向量的最大无关组,若,l,是,A,的一个特征值，则,j,(,l,) =,a,0,+,a,1,l,+ +,a,m,l,m,是矩阵多项式,j,(,A,) =,a,0,+,a,1,A,+ +,a,m,A,m,的特征值,特征值和特征向量的求法,1,）解特征方程,|,A,l,E,| = 0,，求得特征值,l .,2,）解方程组（,A,l,E,）,x,= 0,，其通解即为对应于,l,的特征向量,.,特征方程,特征多项式,特征方程,|,A,l,E,| = 0,特征多项式,|,A,l,E,|,相似矩阵的概念,定义：,设,A,B,都是,n,阶矩阵，若有可逆矩阵,P,满足,P,1,AP,=,B,，,则称,B,为矩阵,A,的,相似矩阵（,similar matrix,）,，,或称矩阵,A,和,B,相似,.,对,A,进行运算,P,1,AP,称为对,A,进行,相似变换,.,称可逆矩阵,P,为把,A,变成,B,的,相似变换矩阵,相似矩阵的性质,定理,3,：,若,n,阶矩阵,A,和,B,相似，则,A,和,B,的特征多项式相同,从而,A,和,B,的特征值也相同,
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