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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、无穷区间的反常积分,第五章定 积 分,第四节反 常 积 分,二、无界函数的反常积分,一、无穷区间的反常积分,例 1,求由曲线,y,=,e,-,x,，,y,轴,及,x,轴所围成,开口曲边梯形的面积,.,解,这是一个开口曲边梯形，,为求其面积，任取,b,0, +,)，,在有限区间,0,b,上，,以曲线,y,=,e,-,x,为曲边的曲边,梯形面积为,b,y,=,e,-,x,y,x,O,(0,1),开口曲边梯形的面积,y,=,e,-,x,y,x,b,O,(0,1),即,当,b,+,时,，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，,定义 1,设函数,f,(,x,),在,a,+,),上连续,，,取实数,b,a,，,如果极限,则称此极限为函数,f,(,x,),在无穷区间,a,+,),上的反常积分,，,这时也称,反常积分收敛,，,记作,即,存在,，,否则称,反常积分发散,.,定义 2,设函数,f,(,x,),在,(-,b,上连续,，,取实数,a,b,，,如果极限,则称此极限值为函数,f,(,x,),在无穷区间,(-,b,上的反常积分,，,这时也称,反常积分收敛,，,记作,即,存在,，,否则称,反常积分发散,.,定义,3,设函数,f,(,x,),在,(-,+,),内连续,，,且对任意实数,c,，,如果反常积分,则称上面两个反常函数积分之和为,f,(,x,),在无穷区间,(,-,+,),内的反常积分,，,这时也称反常积分收敛，,记作,即,都收敛,，,否则称反常积分发散,.,若,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数，并记,则定义,1,，,2,，,3,中的反常积分可表示为,例 2,求,解,例 3,判断,解,由于当,x,+,时,，,sin,x,没有极限，所以反常积分发散 .,例 4,计算,解,用分部积分法，得,例 5,判断,解,故该积分发散.,例 6,证明反常积分,当,p, 1,时，收敛；当,p,1,时，发散 .,证,p,=,1,时，则,所以该反常积分发散.,当,p,1,时，,综合上述，,该反常积分收敛,.,当,p,1,时，,该反常积分发散,.,p,1,时，则,二、无界函数的反常积分,定义 4,设函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上连续,，,取,e,0 ，,如果极限,则称此极限值为函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上,的反常积分，,这时也称,反常积分收敛,，,否则称,反常积分发散,.,且,记作,即,存在,，,定义 5,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,),上连续,，,取,e,0 ，,如果极限,则称此极限值为函数,f,(,x,),在区间,a,b,),上的反常积分,.,这时也称,反常积分收敛,，,否则称,反常积分发散,.,且,即,存在,，,定义 6,设函数,f,(,x,),在,a,b,上除点,c, (,a,b,),外连续,，,如果下面两个反常积分,则称这两个反常积分之和为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上,的反常积分,，,这时也称,反常积分收敛,，,否则，称,反常积分发散,.,记作,即,都收敛,，,若,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数，,则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为,例,7,判断,解,故,积分的收敛,.,例 8,讨论反常积分,解,当,p,= 1,时，,则,故积分发散.,当,p,1,时,综上所述，得：当,p,1,时，该反常积分收敛，,
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