广义函数（分布）的形成及在分析学中的影响

*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,广义函数分布的形成及在分析学中的影响,1945年Laurent Schwartz的论文“函数概念、微分和Fourier变换的推广及其在数学和物理学中的应用提出了广义函数分布distributions推广了普通函数分析上的函数并于1951年写了专著?分布论?Thorie de distribution。现已成,为数学中经典著作之一。它使分析学和许多分支得到了改造。,在1950年波士顿国际数学家大会上，L.Schwartz因分布理论而获得了菲尔兹奖，这也许是第一次，同时很可能也是最后一次，一种软数学并不是因解决了某个著名难题而获得这一奖励。评奖委员会毕竟显示了引人注目的远见卓识。,为什么会在那时候提出这样一个新的理论？我们分两方面来表达。首先在物理学中，产生了一些“新的函数，它符合物理上的规律，并且物理学也需要一类“新函数，它的各种运算如微分、极限交换突破原来分析上太多条件限制。首先物理学,家Dirac为了研究量子力学定义了 现在称为函数,，,，且,其中 表示无限次连续可微且有有限支集,的函数，支集是指函数不等于0的点集的闭包。它在量子力,学中起很大作用，但是当时数学家无法解释这个函数，但是在,物理上它是很自然的 。设在实数轴上给定了一个质量分布,它的总质量是有限的，我们 用表示区间 上的质,量，由于 是区间 的质量，当 在,导数存在时，,表示这个质量分布在这点 的密度，这样质量分布密度函,数 是在 存在的点有意义。如果在整个直线上只是在,原点有一质量单位，从物理意义上看,它显然在 处密度 为,0,，而在 处密度,为,0， 就是,函数 的物理意义。从上式可知,而且物理学家在研究量子力学时认为,这是因为,但是当时的数学知识认为上式是没有极限的，所以当时数学,家称 为是病态函数。 物理学家与工程师们希望有这样一,种“新的函数，有着许多好的性质，且包容原来的普通函数,这类“新函数应有以下的性质：,1原来的连续函数与可积函数都是“新函数中的一点,2每一个新函数应该具有任意次偏导数，而且偏导数,也是新函数，且对于可微函数，导数的新概念应该与原来一,致因而新函数是无穷次可微；,3运算的通常规那么应成立，如,等等；,4应该 提供某些收敛定理，使之足以处理通常的极限过程，但是要比分析中收敛定理要宽，如使,成立。,另外当时数学的开展也为建立这种新的函数打下了数,学方面的根底。在1936年，苏联数学家提出了普通函数的,任意阶偏导数的定义，假设,定义：设 ，假设满足,那么称 ，其中 表示支集在 的无穷次连续可微函,数全体。,表示中局部勒贝格可积函数全体，局部是指对任,，函数 。,从这普通函数的广义导数定义看，它是一种新的函数,，不象原来求导且一次次求上去，而是不知道低阶导数是,否存在，就可以直接定义高阶导数。这为定义新的函数的,偏导数打下了根底。,Weyl1940在考虑弱解时，证明了弱调和函数是调,和的。下面我们解释一下 这结果，先考虑一个非齐Laplace,方程,假设 那么我们把上式两边乘以 就知,再把上式左端分不积分两次，我们就得到,上式中只要 勒贝格可积就可以了，这样我们就定义非齐次,Laplace方程的弱解，假设 且满足上式那么就称是的弱,解。 Weyl 证明了假设 那么上述弱解只须在它的定义域,的零测集上校正一下它的值等于一个 函数等等一些工作,，都是在数学理论上面为造新函数做的准备工作,Schwartz 分布的主要思想是：多自变量,的可积函数 导致了定义在无穷可微且具有紧支集的函,数 的空间 上线形泛函,而这类线形泛函称为分布，它们比普通函数要广泛的多，,例如前面Dirac函数测度,我们知道这也是一个线形泛函，而且在某种意义下是连续,的。但仍如函数那样可以局部化并具有支集，要做到这一,点，可以用下式定义一个分布和一个函数 的乘积,假设对于支集在某一开集中所有 都有 那么称 在 中,为0，从这一概念出发，容易引出分布的支 集的概念和具,有紧支集的分布空间。这样作为历来称为试验函数的空间,使我们有可能将分布微分任意次,根据 Schwartz 采用的记号, 表示试验函数空间 ,表示分布空间, 表示具有紧支集的分布的子空间。从上,述定义可以看出这分布满足物理学家对新函数的要求，而分,布的偏导数定义也与的普通偏导数广义偏导数如出一,辙。从上述分布定义可知，分布作为新函数与原函数不同之,处在于原来函数是 的对应，分布是 的对,应。即分布已不是点的函数，这也符合物理意义的。例如我,们考虑一维的温度分 布用表示。,新理论的功绩之一是为具无穷可微系统的偏 微分算子,的根本解 的概念给出一个精彩的定,义，这个偏微分算子的伴随算子为 ，,定义要求 。,如果使用Schwartz起先禁止使用但后来被采纳的一个更加,自由的记号，就可写为,在此， 现已被写为一个函数 。,开始时，Schwatz曾将分布 的连续性描述如下：当,的支集在一个固定的紧集中，且其各阶导数一致趋向于零,时， 趋向于零。不过，为一个线性拓扑给出一个导致适,当半范数的定义差不多是同样方便的；对于每一紧集 ，,存在一常数 和一整数 ，使得对每个 ，成立,利用这一定义和F.Riesz关于作为测度的连续函数的线性泛,的公式以及HahnBanach定理，就可立即证明一个结构,性定理：每个分布在局部上都是测度 的导数的和,，而,当 的支集为一点 时，作为特例。可知 是用Dirac分布,表示的 处单位测度的导数的有限和。,试验函数的平移 可以转用于分布，,是的无限可微函数。分布与试验函数 的,卷积是无限可微函数：,让 趋向于Dirac测度，即让supp 趋向于0而保持,时，上述卷积函数弱趋向于 ，用无限可微,函数来作弱逼近，从而有可能使一个分布正那么化。,Schwatz和变换的处理基于下述事实：经典Fourier变,换F，,是其一切导数都以 为界其中 为任一整数,的缓增函数空间 的一个同构。取适宜的半范数使 成为,一个Frechet空间。于是,Fourier变换借助于公式,作用在缓增分布的对偶空间 上。Wiener1926、,Bochner1932和Carleman1944在此之前或在,与此同时曾做出努力将变换推广到不可积的情况，而让,Fourier变换作用缓增分布的简单想法那么更加优越。此外，,对于由 的每一个导数均最多为多项式增长定义的适度增长,的无限可微函数的空间来说，空间 显然是一个模。因,此， 也具有同样的性质，这就使我们有可能如下定义缓增,分布上的算子,就概念而言，与早些时候做出的努力相比，这是一个巨大的,进步。例如Heaviside1893、Wiener1926和,Bochner1932就曾经定义过形如 的算子，其中并,不是一个多项式。不过，分布理论的最重要的奉献也是，它,将分析从绝对平方可积的禁锢下解放出来。,在战前，传统的研究方法，如Titchmarsh关于Fourier积分的,著作(1937)和Zygmund的三角级数(1935)，都局限于绝对平方可,积的函数。Schwartz将定理推广到具有紧支集或锥支集的环增,分布上，从而拓展了Laplace变换的范围。,Schwartz的著作涉及到上述概念的理论，也涉及到所包含的,线性空间的精确定义。就应用来说，Dirac函数被视为一个测,度，且例如说，证明了：对非负函数为非负的分布是一个非负测,度：调和分布实际上是实解析函数，这一结果很可能还可以推广,到具有解析系数的椭圆型方程组上去；以及由Hadamard和,M.Riesz计算过的二阶双曲型方程的解实际上是分布；等等。这,些应用尚不能符合这一理论的宏伟目标，人们可以得到这样的印,象：作者将心思放到线性拓扑空间上，而不是着重于分析学问,题。不过，将抽象的线性理论应用于分析学，分布理论算得上是,向前迈出了一大步，相比之下，先前进行的研究有些载于,Bnach的著作，其它那么散见于文献中都似乎有些不着边际。,这一理论的取得初步成功，应当归功于Laurent Schwartz的热,心推销，归功于他对分布重要性的坚决信念，归功于他战后在,许多欧洲国家所做出的热情洋溢的演讲。1946-1947在普林斯,顿大学数学系分布理论在数学圣地被引入。那时，这个地方的,主要研究课题是拓扑学和代数学，Claud Chevalley首先作了,一次介绍性的讲演，随后由从南锡来的法国访问学者Jean,Delsarte给出一系列的讲座，听众只有两个人。,那时，数学家们对分布理论的态度可谓是相当的冷淡，有,时甚至带着几分敌意。一些老式学派的分析学家可以开玩笑,说：“你的分布也许不错，但只有在找到一个函数时你才会真,正放下心来写了一篇关于?分布论?的评论文章，其结尾加,了沉闷而有点挖苦的一段话：“对一切我们已经作了原原本本,的陈述，其目的在于说明：要弄清楚这本书中哪些一般性创新,就是属于分析性的甚至是概念性的，那可不是一件易事。我们,在上面抄录了其中的一些段落，目的就是想用具体的结果来对,这本书做出评价；为此，还是请作者高抬贵手，拿出更多的东,西来吧。擅长调和分析的瑞典数学家Arne Beurling在谈及分,布和时抱怨“他没有唯一性定理。Hrmander在1955年做论文,辩论时，Schwartz的学生Jacques-Louis Lions是他的学位论,文的主审人，他的时年69岁的导师Marcel Riesz也在场。,Riesz并没有读过他的论文，担忧其中模糊不清的分布理论术,语用的太多，但Lions的开场白使他消除了顾虑：“本文的研究,根底是的Hrmander不等式。,