计算莫尔积分的图乘法

单击此处编辑母版标题样式,*,第十三章 能量方法,13,4莫尔积分,13,补充,计算莫尔积分的图乘法,13,4莫尔积分,一、推导：,方式一：,先加,再加,方式二：,同时加,同理：,所以：,其中，,为原载荷引起,的弯矩，,为单位载荷单独作用引起的弯矩，,注意：单位载荷一定要与所求位移在种类和位置上对应,二、莫尔积分的应用：,1、,计算梁发生弯曲变形的位移：,2、,计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移,：,3、,计算圆轴发生扭转变形的位移,：,4、,计算杆发生轴向拉压变形的位移,：,5、,计算绗架节点位移,：,6、,计算结构组合变形的位移,：,三、莫尔积分的应用范围：,线弹性结构,四、,的符号的含义：,1、+：,所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、-：,所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,五、用莫尔积分计算的步骤：,1、,写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程,2、,将结构单独取出,，,在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷,3、,写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程,4、将同一段的同一种内力方程相乘积分,注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同,A,B,D,求,C,点铅垂位移,C,思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?,D,P,B,C,A,a,a,例1:,已知,求:,B,点铅垂方向的位移,解: 1)求约束反力: 为此取,AB,为研究对象:,B,C,A,P,2)列原载荷引起的内力方程:,CD,段:,CB,段:,CA,段:,3)施加单位载荷:,D,B,C,A,1,4)列单位载荷引起的内力方程:,CD,段:,CB,段:,CA,段:,5) 同一段的同一种内力相乘积分,A,B,C,例,2:,分析:,P,原载荷,P,的作用,AB,发生弯曲变形,BC,发生弯曲,压缩变形,A,B,C,1,求,施加单位载荷,单位载荷1的作用,AB,发生弯曲变形,BC,发生弯曲,压缩变形,求,施加单位载荷,A,B,C,1,单位力偶的作用,AB,不发生变形,BC,只发生弯曲变形,见书,P341-,例,13.5,例3: 轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于,A,点的集中力,P,垂直于轴线所在平面,求,P,力作用点的垂直位移.,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷:,3)积分计算位移,3)列单位载荷引起的内力方程:,例,4：试求,P,力作用下，,A,点的竖直位移,分析：,因为力与轴线位于同一平面,所以在,P,力作用下，只有弯曲变形，即只考虑,弯矩,见书,P342-,例,13.6,13,补充计算莫尔积分的图乘法,一、推导：,，若,EI,为常量，则公式可变形为：,二、图乘法的应用：,1、,计算梁发生弯曲变形的位移：,2、,计算圆轴发生扭转变形的位移,：,3、,计算杆发生轴向拉压变形的位移,：,4、,计算结构组合变形的位移,：,三、应用图乘法的注意事项：,1、应用条件:在原载荷和单位载荷引起的内力图中,至少有一个为线性函数,2、,有正负号：,原载荷与单位载荷引起的内力图在,X,轴同侧，为正,原载荷与单位载荷引起的内力图在,X,轴异侧，为负,3、当,为一条光滑的的曲线，,为一条折线时，,必须以折点为界,分段图,乘, 即:,可将,4、当,图很复杂时，,分成若干个简单图形,分部分图乘,5、若梁的抗弯刚度,EI,在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段,6、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，,注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：,的折点；,图是否需要划分,为若干简单图形；,EI,是否阶梯变化；,例,1：有图乘法求,解：1、画原载荷引起的内力图：,（图1）,2、求,施加单位载荷,1,3、画单位载荷引起的内力图,（图2）,4、图乘：,（图1）,5、求,施加单位载荷：,1,5、画单位载荷引起的内力图,（图3）,6、图乘：,B,C,D,A,2a,a,a,P,例,2：求,解：1、画原载荷引起的内力图,B,C,D,A,3Pa,Pa,2、求,施加单位力偶,B,C,D,A,3、画单位载荷引起的内力图,B,C,D,A,1,1,1,4、图乘方法（1）,5、图乘方法（2）,M图,图,注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，,可以是单位载荷引起内力图的面积,可以是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标,谢谢!,本章完,