线性系统理论-2b课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 线性连续系统的运动分析,给定问题,:,线性系统响应：,自由运动（零输入响应）；,强迫运动（零状态响应）。,2-1,线性系统的运动分析,响应为,：,通常,t,0,=0,即给定：,响应为：,e,At,称为矩阵指数函数。,自由运动,考虑,u,(,t,)=0 .,证明,(,),式,:,设,代入方程,e,At,对任何,t,都收敛,。,矩阵指数,e,At,的性质,证明：,(1),按定义，,先证明,(3),、,(4),，,可套出,(2),。,(2),在性质,(4),中,，令,t,1,=t,t,2,= -t,(7),对于非奇异阵,M,有,(,M,-1,AM,),k,=,M,-1,A,k,M,因此，,3.,强迫运动,一般情况,：,系统（完全）响应,：,2-2,的计算方法,方法,1:,Laplace,变换法,考虑,取,Laplace,变换,：,定义,知,(,t,) =,e,At,(,t,),= e,At,线性定常系统的状态转移矩阵,。,因此有,:,例,:,已知系统矩阵,试用拉氏变换法求,e,At,.,对上式取拉氏反变换即得,:,方法,2:,无穷级数法,在一些特殊情况下，可利用,e,At,的定义来求得解析解,。,则,根据,e,At,的性质,(3),，有,例,:,已知系统矩阵,试用无穷级数法求,e,At,.,方法,3:,特征值与特征向量法,（特征值相异）,关键：求非奇异变换阵,M,变换为对角线规范型。,例,:,试将状态方程,解：,.,求特征值：,.,求特征向量和变换矩阵,M,=-1,对应的,e,1,例,:,特征向量,特征多项式,：,特征方程,：,i,(,i=,1,2, ,n,),是,A,的,特征值,。,当,A,为某系统,则,i,就是该系统的自然频率（振型，模态），满足方程,的系统矩阵时,，,列向量,e,k,称为对应于特征值,k,的一个特征向量,；,k,I,-A,称为,A,的,特征矩阵,。,定理,若,A,=(,ij,),n,n,有几个相异的特征值,1, ,1, ,n,则,其中,M,=,e,1,，,e,2,，,e,n,模式矩阵,。,e,k,为,k,(1,k,n),的,特征向量,。,证,：,求,e,k,的一种方法,其中，,的第,j,行第,m,列的代数,余,子式,上述结论的,原理,:,i),都是齐次方程,的解,因此，,只差一个系数，即,ii),按,Laplace,行列式展开公式,又，齐次方程,有非零解,因此，总有,即：（,*,）式总成立,jm,(,m,= 1, ,n,),，,按第,j,行展开的,n,个代数余子式,。,例,特征值：,特征向量求取：,任选,j,=1,，得：,选,j,=2,，得,:,方法,4:,待定系数法,当用待定系数法求距阵指数,e,At,时,，,会涉及到以下三个问题,：,(1),凯利,哈密,(,Cayley,-,hamilton,),定理,依次类推,A,n,A,n+1,A,n+2,都可以用,A,n-1,A,n-2,，,，,A,，,I,的线性组合来表示。,如此可得出如下,结论,：,A,的所有等于和大于,n,的高次幂都可以用,A,的,（,n,-1,）,次多项式来表示,。,改写成有限项表达式，这是因为当,k,n,时的所有高次幂项都是不独立的，即都可以用,A,n-1,A,n-2,A,，,I,的线性组合来表示。,只不过我们要确定这种组合中的各个系数而已。,(2),矩阵指数函数,e,At,的有限项表达式,根据以上分析，有,(3),待定系数,i,(,t,) (,i,=0, 1, ,n,-1),的计算公式,证,明,根据剀利,哈密顿定理可知,，,A,和,都是满足自身的特征方程，这就是说，,A,和,是可以互换的,。,因此，,A,的所有特征值,1, ,2, ,n,都应满足,e,At,的有限项表达式，即有,解此方程组即得证。,例,已知系统矩阵等于,试用待定系数法求,e,At,。,解,(1),求,A,阵的特征值,(3),求,e,At,2),A,阵具有,n,重特征值的情况,此结果与用拉氏变换法计算结果,(,幻灯片,12,、,13),相同。,当,A,阵具有,n,重特征值,1,时，则计算待定系数,的公式为,证明,:,同上述理由，有,将上式对,1,求导一次得,将上式再经,1,求导一次得,依次类推，可得,即,这样可列出关于,的,n,个方程,：,解此方程组，即可得证。,例,已知系统矩阵,试用待定系数法求,e,At,。,解,(1),求,A,的特征值,(2),求待定系数,(3),求,e,At,3),A,阵同时具有重特征值和互异特征值的情况,当,A,阵同时具有重特征值和互异特征值时，,则可根据上述,1,）、,2,）两种情况分别求出待定系数，,然后将它们代入有限项表达式，即可求出,e,At,。,例,已知系统矩阵,试用待定系数法求,e,At,。,解,(1),求,A,的特征值,(2),求待定系数,对于二重特征值,1,=2,，,可得,对于单特征值,3,=3,，,可得,解以上三个方程或直接利用公式可得,(3),求,e,At,将上述所求得的,a,0,(,t,),a,1,(,t,),a,2,(,t,),代入有限项表达式，得,化为规范形两例,例,已知系统矩阵,试用约当标准形法求,e,At,。,解,(1),求,A,的特征值,(2),选定非奇异变换阵,本例,A,为友矩阵（标准形）故可选定非奇异变换阵,(3),求,e,At,例,已知系统矩阵,试用约当标准形法求,e,At,。,解,(1),求,A,的特征值,(2),选定非奇异变换阵,为分块对角线阵。,式中,(2),求,e,At,而根据矩阵指数函数性质，可得,故可将上式改写成,再根据约当标准型,(,下节介绍,),和对角线标准型，可得,与用待定系数法所求的结果完全相同。,由状态转移矩阵求系统矩阵,在已知状态转矩阵,(,t,),情况下确定系统矩阵,A,，,通常有如下几种方法,：,1),证明,2),证明 因为,所以,当,t,=0,时，,证毕,。,3),拉氏变换法,这样即可求出矩阵,A,。,例,已知系统的状态转移矩阵为,试求系统矩阵,A,。,解,解法,1,解法,2,解法,3,2-3,Jordan,规范形,A,有重特征值时,，,不能对角化,；,可以,A,J,，,广义对角化,；,Jordan,阵，是一种广义的对角阵,。,:,记,A,J,即,A,与,J,相似。,J,：,除去其中约当块的排列次序外，是由矩阵,A,唯一决定的。,问题：,找,J,和,T,。,由,A,J,：,例,用初等因子法确定,J,对于,e,=1,，,3,，,4,，,可用求秩法确定,J,；,但对,e,=2,，,用求秩法无法确定,J,，,故用初等因子法,。,例,结果，有一个初等因子,：,(,+2),3,一个初等因子，对应着一个约当块,：,例,:,有,3,个初等因子,：,矩阵的,初等变换,(1),交换,A,(,),的两行,(,列,),；,(2),用不为零数乘,A,(,),的某一行,(,列,),；,(3),用,的多项式,(,),乘,A,(,),的某行,(,列,),加,A,(,),的另一行,(,列,),。,特征值相异时用求初等因子的方法同样可确定对角线阵,例：,初等因子有,3,个：,求变换阵,T,例：,可按求,M,的方法求,T,1,：,增广矩阵,检验：,例,:,对应,e,只有一个约当块。,当对应,e,有,2,个以上约当块时，由,e,-,A,T,1,=0,可解出不止一个独立的向量。,、,满足方程,。,可取,T,1,=,，,但不能取,T,2,=,，,这因为,T,2,还要用于解方程,(3),：,（,I,+,A,),T,3,=,T,2,。,如果,T,2,选得不当，非奇次方程,(3),可能无解,。,因,与,线性组合仍是方程,(1),或,(2),的解,，,使得原系数阵,(,e,I,-,A,),和其增广矩阵的秩相等,；,否则，增广矩阵的秩大于系数阵的秩，方程,(1),无解,。,增广矩阵,2-4,模式激励与抑制,“,模式,”,(“,振型,”,),本身的固有特性，,由,A,的特征值,i,决定,。,设,i,是相异的,：,1,左特征向量,f,i,T,和右特征向量,e,i,由前面讨论,，,e,i,与,i,相对应的右特征向量,，,i,=1, 2, 3, ,n,。,f,i,T,与,i,相对应的左特征向量,，,i,=1, 2, 3, ,n,。,e,i,列向量,；,f,i,T,行向量,。,可得：,指出了左特征向量,比较,：,2,模式激励与仰制,得到,e,i,，,指出了右特征向量。,定理,设 有相异特征值,则 的解为,:,证,：,其中每一项，称为“模式”；,列向量,表示该振型的方向,标量,代表一个,“,振型,”,标量,该振型的激发强度,称为振型分解。,实现的振型共有,n,个,。,相应于每个特征值,i,有一个振型,；,任一个初始条件,x,(0),一般可激发现有振型,，,而任一振型的激励强度,f,i,T,x,(0),与其他振型无关,；,分解式,是唯一的。,如果只激发某一振型,模式抑制,：,外加激励,:,对,A,有异特征值,i,(i,=1, 2, 3, ,n,),的情况,，,有如下的,振型分解性质,：,例,讨论图示电路中， 激励一个模式时的状态。,由电路理论可得状态方程,。,0.25,R,3,R,2,R,1,1,1,1F,1,F,C,1,C,2,_,+,+,_,u,1,u,2,由此得,：,两个独立回路,，,1,= R,1,C,1,= ,2,= R,2,C,2,= 1,(,e,-,t,/,=e,-,t,),0.25,R,3,R,2,R,1,1,1,1,F,1,F,C,1,C,2,_,+,+,_,1,V,1,V,等效为：,4,/,9,1,F,1,F,_,+,+,_,1,V,1,V,1,/,9,1,/,9,1,F,1,F,_,+,+,_,1,V,1,V,1,/,9,1,/,9,0.25,R,3,R,2,R,1,1,1,1,F,1,F,C,1,C,2,_,+,_,1V,1,V,+,2-5,线性时变系统的运动分析,1,自由运动,给出线性时变系统：,自由运动,:,其解为,为状态转移矩阵,;,将状态,2,状态转移矩阵,(,t,t,0,),的性质,等价,（待证）,补证,：,取转置即得。,证：由,7),即得，具体证明留给大家。,对于线性定常系统,:,3.,强迫运动,假定,解为,4,(,t,t,0,),的封闭解,(,解析解,),(2),式为,(1),式的解。,几种特殊情况下可给出,(,t,t,0,),的封闭解析解。,定理,对于方程,其解为：,又设,则当,为方程,(1),的解。,亦即,证： 对,(4),式微分：,即,(4),式为,(1),的解,。,情况,1:,引理,1:,根据矩阵微分关系可得。,引理,2:,(*),式两边对,从,t,0,t,积分即得,。,证明,：,满足,(3),式，故,特例情况,（,都满足,(3),式,）,特例情况,情况,2:,已知,的,n,个线性独立的解向量,则,构成一个基础解阵,:,证明：,因,线性独立，,例,解,1,解,2,是其两个特解，于是可得基础解阵：,参见第,14,张,5,(,t,t,0,),的,Neumann,级数解,方程,与方程,等价,(,Volterra,型向量积分方程,）,。,于是,，,在,(2),中,，,将,x,(,t,),反复迭代求解,:,(3),式称为,Nwumann,级数，是收敛的,(,但收敛比较慢,),。,一个改进算法,：,Kinariwalas,法,：,A,p,(,t,) ,其余部分（视作一个扰动），,于是,将,A,P,(,t,),x,(,t,),看作相当于,B,(,t,),u,(,t,),。,(4),式与,(2),式相同,，,也是一个,Volterra,型,向量积分方程，,于是，又可得,(3),式形式的,Neumann,级数解,。,当,A,P,(,t,),系数阵对,A(t,),影响较小时, (4),式收敛很快,。,