第7章特征理论偏微分方程组课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第章特征理论偏微分方程组,弱间断解与弱间断面,第章 特征理论 偏微分方程组,例子,考虑弦振动方程,则 不是古典解，但它是弱间断解。,第章 特征理论 偏微分方程组,特征方程与特征曲面,设光滑曲面 是方程（)的弱间断面。,可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立。,第章 特征理论 偏微分方程组,方程特征曲面的例子,第章 特征理论 偏微分方程组,方程组的特征理论,第章 特征理论 偏微分方程组,弱间断解与特征线,第章 特征理论 偏微分方程组,第章 特征理论 偏微分方程组,第章 特征理论 偏微分方程组,狭义双曲型方程组的标准型,第章 特征理论 偏微分方程组,将狭义双曲型方程化为标准型的方法：,.,求向量方程 的解。,.,令，,用 左乘（）式得：,第章 特征理论 偏微分方程组,.,第章 特征理论 偏微分方程组,双曲型方程组的 问题,首先指出，并非对一切类型的方程组都可以问题，有例子表明，当特征方程（)有复根时，方程组（)的问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的问题。为便于理解和叙述，这里仅讨论两个自变量的对角型方程组的问题。,第章 特征理论 偏微分方程组,解的存在性和唯一性,第章 特征理论 偏微分方程组,第章 特征理论 偏微分方程组,解的稳定性,第章 特征理论 偏微分方程组,定理,第章 特征理论 偏微分方程组,第章 特征理论 偏微分方程组,问题的化简,首先，把高阶非线性 型组 问题化为一个与其等价的一阶非线性 型组的 问题。,其次，我们可以把一个一阶非线性 型组 问题化为一个与其等价的一阶拟线性 型组的 问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。,问题()化为如下的一阶拟线性 型方程组的问题:,第章 特征理论 偏微分方程组,于是， 定理 可等价地叙述为,型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。,第章 特征理论 偏微分方程组,强函数,第7章 特征理论 偏微分方程组,7.4.4 C-K 定理的证明,（1） 唯一性（幂级数解法）。,（2） 存在性（强函数方法）。,附注 1 该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。,附注 2 由证明知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量的解析函数，则在初始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把这些解粘合在一起，就得到 的一个领域中的解析解。,附注 3 C-K 定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上依赖与解析性假设。,