高中数学排列组合几种基本方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,*,解排列组合的几种基本方法,2015,年,12,月,23,日,相邻元素的排列,，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列,.,1.,捆绑法,例,1,6,人排成一排,.,甲、乙两人必须相邻，有多少种不的排法？, , ,解：,（,1,）,分两步进行：,甲 乙,第一步，把甲乙排列,(,捆绑,),：,第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：, ,几个元素必须相邻时，,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列,.,特殊元素优先考虑,例,2,7,人排成一排,.,甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？, ,解：,分两步进行：,几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插空,.,第,1,步，把除甲乙外的人排列：,第,2,步，将甲乙分别插入到,不同的间隙或两端,中,(,插空,),：,解决一些不相邻问题,时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决,.,2.,插空法：,例,3,5,个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？,几个元素顺序一定的排列问题,，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了,.,3.,消序法,/,倍缩法,(,留空法,/,空位法,),解法,1,：,将,5,个人依次站成一排，有,解法,2,：,先让甲乙之外的三人从,5,个位置选出,3,个站好，有,种站法，,然后再消去甲乙之间的顺序数,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,种站法，留下的两个位置自然给甲乙有,1,种站法,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,变式：,如下图所示,有,5,横,8,竖构成的方格图,从,A,到,B,只能上行或右行共有多少条不同的路线,?,解,:,如图所示,1,2,3,4,5,6,7,将一条路经抽象为如下的一个排法,(5-1)+(8-1)=11,格,:,其中必有四个,和七个,组成,!,所以,四个,和七个,一个排序就对应一条路经,所以从,A,到,B,共有,条不同的路径,.,3.,消序法,(,留空法,),也可以看作是,1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，有,种排法,.,要明确堆的顺序,（分配）,时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列,.,若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆，要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以,m!,若干个不同的元素“等分”为,n,个堆，要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以,n!,非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积,.,分组（堆）分配问题的六个模型：,不分配： 无序不等分；无序等分；无序局部等分；,(,分配：,有序不等分；有序等分；有序局部等分,.),处理问题的原则：,4.,分组（堆）分配问题,例,4,有四项不同的工程，要承包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程,.,共有多少种不同的发包方式？,解法,1,：,要完成承包这件事，可以分为两个步骤：,先将四项工程分为三“堆”，有,种分法；,再将分好的三“堆”依次给三个工程队，,有,3!,6,种给法,.,共有,66,36,种不同的发包方式,.,4.,分组（堆）分配问题,解法,2,：,n,个,相同小球,放入,m (m n),个盒子里，要求每个盒子里,至少有一个小球,的放法 （等价于,n,个相同小球串成一串从间隙里选,m-1,个结点剪截成,m,段,.,）,例,5,某校准备参加今年高中数学联赛，把,16,个选手名额分配到高三年级的,1-4,个教学班，,每班至少一个名额,，则不同的分配方案共有,_,种,.,5.,隔板法（剪截法）：,解：,问题等价于把,16,个相同小球放入,4,个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数问题,.,将,16,个小球串成一串，截为,4,段有,种截断法，对应放到,4,个盒子里,.,因此，不同的分配方案共有,455,种,.,变式,1,：,某校准备参加今年高中数学联赛，把,16,个选手名额分配到高三年级的,1-4,个教学班，,每班的名额不少于该班的序号数,，则不同的分配方案共有,_,种,.,解：,问题等价于先给,2,班,1,个，,3,班,2,个，,4,班,3,个，再把余下的,10,个相同小球放入,4,个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数问题,.,将,10,个小球串成一串，截为,4,段有,种截断法，对应放到,4,个盒子里,.,因此，不同的分配方案共有,84,种,.,5.,隔板法（剪截法）：,变式,2,：,（,1,）求这个方程组的正整数解的组数？,（,2,）求这个方程组的自然数解的组数？,6.,剔除法 （间接法）,从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法,.,（对立事件）,例,6,从集合,0,1,2,3,5,7,11,中任取,3,个元素分别作为直线方程,Ax+By+C=0,中的,A,、,B,、,C,，所得的经过坐标原点的直线有,_,条,.,解：所有这样的直线共有 条，,其中不过原点的直线有 条，,所得的经过坐标原点的直线有,210-180,30,条,.,排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍,.,编号为,1,至,n,的,n,个小球放入编号为,1,到,n,的,n,个盒子里，每个盒子放一个小球,.,要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为,错位排列,.,7.,错位法：,特别当,n=2, 3 , 4 , 5,时的错位数各为,1, 2 , 9 , 44.,（列举）,例,7,编号为,1,至,6,的,6,个小球放入编号为,1,至,6,的,6,个盒子里，每个盒子放一个小球，其中恰有,2,个小球与盒子的编号相同的放法有,_,种,.,解：,选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种，,其余,4,组球与盒子需错位排列有,9,种放法,.,故所求方法有,159,135,种,.,B,巩固练习,2. 5,个人排成一排，其中,甲、乙不相邻,的排法种数是（）,A.6,B.12,C.72,D.144,C,3. 5,个人排成一排，其中,甲、乙相邻,的排法种数是（）,A.72,B.42,C.48,D.56,C,A,4.,