信号分析基础

,北京工业大学机电学院,胥永刚,胥永刚,胥永刚制,第二章 信号分析基础,本章内容：,信号与测试系统,信号的分类与描述,周期信号与离散频谱,瞬变非周期信号与连续频谱,随机信号描述,测试技术基础,典型振动测试系统方框图,2.1,信号与测试系统,信号定义,：,2.1,信号与测试系统,-,信号定义,物理角度，,数学角度，,工程角度。,信号就是承载某种或某些信息的物理量的变化历程。,信号就是函数，就是某一变量随时间或频率或其他变,量而变化的函数。,信号表现为一组数据或波形，这组数据通常是由某一检测仪器，如传感器，从某一物理系统上检测得到，以数据的形式记录在纸上，或存储在某种磁性介质上，或以波形形式显示在仪器的显示屏上。,心电图：利用仪器从人体上获得的心脏跳动的数据，通常显示在仪器上供医生诊断之用，或记录在纸上作为病人病例记录。,2.1,信号与测试系统,-,信号定义,飞机上黑匣子：将各种传感器采集下来的有关飞机飞行状态、发动机工作状态等数据记录下来，以备将来事故分析之用。,2.1,信号与测试系统,-,信号定义,噪声的定义,：噪声也是一种信号，任何干扰对信号的感知和解释的现象称为噪声。,信号表现形式,噪声,干扰,图象,恢复,2.1,信号与测试系统,-,信号与噪声,通常表现为随时间变化的物理量，如：声、光、电、力等。,第二章 信号分析基础,本章内容：,信号与测试系统,信号的分类与描述,周期信号与离散频谱,瞬变非周期信号与连续频谱,随机信号描述,测试技术基础,信号分类主要是依据信号波形特征来划分。,信号波形,：,被测信号的幅度随时间变化的历程称为信号波形。,信号波形,电容传声器,2.2,信号的分类与描述,常见标准信号波形,2.2,信号的分类与描述,为深入理解信号的物理实质，将其进行分类研究。从不同角度观察，信号可分为：,从,信号描述上,-,确定性信号与非确定性信号；,从,信号幅值和能量,-,能量信号与功率信号；,从,连续性,-,连续信号与离散信号；,从,可实现性,-,物理可实现信号与物理不可实现信号。,2.2,信号的分类,与描述,-,分类,1,确定性信号与非确定性信号,可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。,2.2,信号的分类与描述,-,分类,周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号,简单周期信号,复杂周期信号,2.2,信号的分类描述,-,分类,b),非周期信号：再不会重复出现的信号。,准周期信号,:,由多个周期信号合成，但各信号频率不成公倍数。如：,瞬态信号,:,持续时间有限的信号,如,2.2,信号的分类与描述,-,分类,c),非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。,噪声信号,(,平稳,),统计特性变异,噪声信号,(,非平稳,),2.2,信号的分类与描述,-,分类,2,能量信号与功率信号,一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。,a),能量信号,在所分析的区间,能量为有限值的信号称为能量信号，即满足条件：,2.2,信号的分类与描述,-,分类,b),功率信号,在所分析的区间（,-,，），能量不是有限值。但信号的平均功率为有限值，即,一般持续时间无限的信号都属于功率信号。,2.2,信号的分类与描述,-,分类,3,连续信号与离散信号,a),连续信号,:,在所有自变量处都有定义,b),离散信号,:,在若干自变量取值处有定义,采样信号,2.2,信号的分类与描述,-,分类,若自变量为时间：连续时间信号与离散时间信号,时间,幅值,连续,离散,连续,模拟信号,量化信号,离散,被采样信号,数字信号,2.2,信号的分类与描述,-,分类,4,物理可实现信号与物理不可实现信号,物理可实现信号：又称单边信号，满足条件：,即信号在时间小于零的一侧全为零。,时,2.2,信号的分类与描述,-,分类,b),物理不可实现信号：在事件发生前,(t0),就预知信号。,2.2,信号的分类与描述,-,分类,时域描述与频域描述,时域描述：直接观测或记录到的信号，以时间为独立变量，为信号的时域描述。,2.2,信号的分类与描述,-,描述,时域描述与频域描述,频域描述：采用傅立叶变换等方法将时域信号 变换为频域信号,，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。,2.2,信号的分类与描述,-,描述,ms,kHz,时域波形 频谱,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,2.2,信号的分类与描述,-,描述,第二章 信号分析基础,本章内容：,信号与测试系统,信号的分类与描述,周期信号与离散频谱,瞬变非周期信号与连续频谱,随机信号描述,测试技术基础,2.3,周期信号与离散频谱,在有限区间，一个周期信号 当满足狄里赫里条件时，可展开成傅里叶级数。傅里叶级数的三角函数展开式为：,、傅立叶级数三角函数展开式,其中，,周期,圆频率,傅立叶系数,1,）,第一项,为周期信号的常值或直流分量,；,2,） 从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、,次谐波,；,3,） 将信号的角频率,作为横坐标，可分别画出信号幅值,和相角,随频率,变化的图形，分别称之为信号的幅频谱和相频谱图。,4,） 由于,为整数，各频率分量仅在,的频率处取值，因而得到的是关于幅值,和相角,的离散谱线。,2.3,周期信号与离散频谱,变为,其中,周期信号时域描述与频域描述关系图解,2.3,周期信号与离散频谱,周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。,解：,例,2-1,信号,在它的一个周期中的表达式为：,2.3,周期信号与离散频谱,周期方波信号的傅里叶级数表达式：,幅频谱,相频谱,2.3,周期信号与离散频谱,周期信号可以用傅里叶级数中的某几项之和来逼近，且所取的项数越多，亦即,越大，近似的精度越高。,2.3,周期信号与离散频谱,谐波分量幅度,谐波次数,2.3,周期信号与离散频谱,周期信号频谱的特点：,周期信号的频谱是离散的。,(,离散性,),每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，基波频率是诸分量频率的公约数。 （,谐波性,）,各个频率分量的谱线高度表示该谐波分类的幅值或相位角，且幅值呈衰减性。（,收敛性,）,2.3,周期信号与离散频谱,由欧拉公式可知,：,代入式,傅立叶级数三角表达式，,有：,2.3,周期信号与离散频谱,2,、傅立叶级数复指数展开式,令,则,或,2.3,周期信号与离散频谱,是离散频率,的函数，称为周期函数,的离散频谱。,一般为复数，故可写为,求傅里叶级数的复系数,且有,2.3,周期信号与离散频谱,傅里叶级数两种展开式频谱图的对比,三角：单边；复指数：双边；,双边频谱中各谐波的幅值为单边频谱中对应谐波,幅值的一半,2.3,周期信号与离散频谱,解：由傅立叶级数复指数展开式得,例,2,求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为 ，脉冲宽度为,，如图所示。,2.3,周期信号与离散频谱,定义,则变为,可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为,由于,，代入上式得,2.3,周期信号与离散频谱,周期矩形脉冲的频谱,(,T,= 4,),2.3,周期信号与离散频谱,通常将,这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽，用符号,表示：,考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形。,2.3,周期信号与离散频谱,信号脉冲宽度与频谱的关系,脉冲宽度愈窄，信号的带宽愈大，从而使得频带中包含的频率分量愈多。另外，当信号周期不变而脉宽减小时，信号频谱幅值也越小。,2.3,周期信号与离散频谱,信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形 ：,信号周期与频谱的关系,周期愈大，信号谱线的间隔便愈小。若周期无限增大，亦即趋于无限大，原来的周期信号变成非周期信号此时，谱线变得越来越密集，最终谱线间隔趋近于零，整个谱线便成为一条连续的频谱。当周期增大而脉宽不变时，各频率分量幅值相应变小。,2.3,周期信号与离散频谱,周期矩形脉冲信号特点,周期增大时，谱线变密，幅度减小；,脉宽减小时，带宽增加，幅度减小。,周期脉宽（脉冲宽度）,带宽谱线密度幅度,决定,2.3,周期信号与离散频谱,第二章 信号分析基础,本章内容：,信号与测试系统,信号的分类与描述,周期信号与离散频谱,瞬变非周期信号与连续频谱,随机信号描述,测试技术基础,2.4,瞬变非周期信号与连续频谱,设,为,区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式,式中,代入得,2.4 .1,傅立叶变换,当,时，区间,变成,，频率间隔,变为,无穷小量,，离散频率,变成,连续频率,。,得到,将上式中括号中的积分记为：,它是变量,的函数。,2.4 .1,傅立叶变换,重新代入得：,将,称为,的傅里叶变换，而将,称为,的逆傅里叶变换，记为：,2.4 .1,傅立叶变换,但上述条件并非必要条件。因为当引入广义函数概念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。,非周期函数,存在有傅里叶变换的充分条件是,在区间,上绝对可积，即,2.4 .1,傅立叶变换,若将上述变换公式中的角频率,用频率,来替代，则由于,，得,2.4 .1,傅立叶变换,由于,一般为实变量,的复函数，可将其写为,将上式中的,(,或,当变量为,时,),称非周期信号,的,幅值谱,，,或,称,的,相位谱,。,小 结,由傅立叶变换变换式，,一个非周期函数可分解成频率,f,连续变化的谐波的叠加,。式中,是谐波,的系数，决定着信号的,振幅和相位,。,或 为,的,连续频谱,。,2.4 .1,傅立叶变换,例,5,图示为一矩形脉冲,(,又称窗函数或门函数,),，用符号,表示：,矩形脉冲函数,求该函数的频谱。,解：,2.4 .1,傅立叶变换,矩形脉冲函数的频谱,其幅频谱和相频谱分别为 ：,可以看到，窗函数,的频谱,是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个,弧度。,矩形脉冲函数与,sinc,函数,之间是一对,傅里叶变换对,，若用,表示矩形脉冲函数则有：,2.4 .1,傅立叶变换,对称性（亦称对偶性）,线性,尺度变换性,奇偶性,时移性,频移性（亦称调制性）,卷积,时域微分和积分,频域微分和积分,2.4 .2,傅立叶变换的性质,对称性,(,亦称对偶性,),若有,则有,2.,线性,如果有,则,和,2.4.2,傅立叶变换的性质,3.,尺度变换性,如果有,则对于实常数,，有,若信号,在,时间轴上被压缩,至原信号的,，则其,频谱函数在频率轴上将展宽,倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的,。（尺度变换性或时频展缩性）,信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比,。,2.4.2,傅立叶变换的性质,窗函数的尺度变换,( =3 ),3.,尺度变换性,2.4.2,傅立叶变换的性质,4.,奇偶性,(4),为时间,的虚函数,(3),傅立叶变换的反转性,(,为实函数,):,为时间,的实偶函数,( ),， 为,的实偶,函数；,为时间,的实奇函数,( ),， 为,的虚,奇函数,;,2.4.2,傅立叶变换的性质,5.,时移性,如果有,则,例,8,求下图矩形脉冲函数的频谱。,2.4.2,傅立叶变换的性质,5.,时移性,解：该函数的表达式可写为,可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至 点位置所形成。,幅频谱和相频谱分别为,则,2.4.2,傅立叶变换的性质,时移矩形脉冲函数的幅频和相频谱图,幅频谱不因为有时移而有任何改变，时移产生的效果仅仅是相位谱增加了一个随频率呈线性变化的项。,2.4.2,傅立叶变换的性质,6.,频移性,(,亦称调制性,),如果有,则,常数。,时间信号经过调制后的频谱等于将调制前原信号的频谱进行频移，使得原信号频谱的一半的中心位于,处，另一半位于,处。,2.4.2,傅立叶变换的性质,的频谱,6.,频移性,(,亦称调制性,),2.4.2,傅立叶变换的性质,7.,卷积,频域卷积,如果有,则,时域卷积,如果有,则,式中,表示,与,的卷积。,2.4.2,傅立叶变换的性质,卷积图解,2.4.2,傅立叶变换的性质,证明：（时域卷积,）,根据卷积积分的定义有,其傅里叶变换为,由时移性知，,代入上式得,2.4.2,傅立叶变换的性质,时域微分和积分,如果有,则,条件是,。,证明：,(1),阶微分的傅里叶变换公式：,2.4.2,傅立叶变换的性质,(2),设函数,为,其傅里叶变换为,。由于,根据微分特性得,或,亦即,2.4.2,傅立叶变换的性质,9.,频域微分和积分,如果有,则,进而可扩展为,和,式中,若,，则有,2.4.2,傅立叶变换的性质,2.4.3,典型信号的频谱,1.,单位脉冲函数,在,时间内激发有一矩形脉冲,p,(,t,),的幅值为,1/,，面积为,1,。当,0,时，该矩形脉冲,p,(,t,),的极限便称为,单位脉冲函数或,函数,。,性质：,(1),(2),1,由,函数的两条性质，可得,其中,x,(,t,),在,t,=,t,0,时是连续的。,单位脉冲函数,(,t,),的傅里叶变换 ：,即,(,t,),及其傅里叶变换,2.4.3,典型信号的频谱,1,时移单位脉冲函数,(,t-t,0,),的傅里叶变换对：,常数,1,的傅里叶变换对：,2.4.3,典型信号的频谱,单位脉冲函数,(,t,),与任一函数,x,(,t,),的卷积,证明：,推广可得,2.4.3,典型信号的频谱,2.,余弦函数,欧拉公式：,余弦函数的频谱：,正弦函数的频谱：,2.4.3,典型信号的频谱,4.,单位阶跃函数,单位阶跃函数可以根据符号函数表达为：,可得单位阶跃函数的频谱：,0,1,t,0,0,2.4.3,典型信号的频谱,5.,周期函数,周期函数,x(t),的傅里叶级数形式：,一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于,x,(,t,),的各谐波频率上的单位脉冲函数组成,。,x,(,t,),的傅三立叶变换为：,式中,2.4.3,典型信号的频谱,例,12,求单位脉冲序列 的傅里叶变换,解：将,x(t),表达为傅里叶级数的形式,于是有,对两边作傅里叶变换得,得,亦即,2.4.3,典型信号的频谱,一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为,(,在频域中的,),一个周期脉冲序列,。单个脉冲的强度为,f,0,=1/T,0,，且各脉冲分别位于各谐波频率,nf,0,=n/T,0,上，,n=0, 1, 2, ,。,周期脉冲序列函数及其频谱,2.4.3,典型信号的频谱,第二章 信号分析基础,本章内容：,信号与测试系统,信号的分类与描述,周期信号与离散频谱,瞬变非周期信号与连续频谱,随机信号描述,测试技术基础,2.5,随机信号描述,（,1,）概述,（,2,）随机过程的主要特征参数,（,3,）相关分析,（,4,）功率谱分析,2.5.1,概述, 随机信号特点：,-,具有不能被预测的瞬时值；,-,不能用解析的时域模型来加以描述；,-,能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。, 描述随机信号必须采用概率统计的方法：,-,样本函数：随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察，记作 ；,-,样本记录：在有限时间区间上的样本函数。,-,随机过程：同一试验条件下的全部样本函数的集（总体），记为,。,2.5.1,概述,-,均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱密度函数等。,-,均值：,-,均方值：,对随机过程常用的统计特征参数：,这些特征参数均是按照集平均来计算的，即在集中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。,分类：,平稳随机过程； 非平稳过程。,2.5.1,概述, 均值,表示信号的常值分量。,2.5.2,随机过程的主要特征参数,对于一个各态历经过程,，其均值,定义为,1,、均值,变量,的数学期望值；,样本函数 ；,观测的时间。,随机信号的均方值,定义为,变量,的数学期望值。, 均方值描述信号的能量或强度。,的平方根称均方根值,。,2,、均方值,2.5.2,随机过程的主要特征参数,方差,表示随机信号的波动分量，方差的平方根,称为标准偏差。,随机信号的方差,定义为,3,、方差,、 、 之间的关系为,2.5.2,随机过程的主要特征参数,4,、概率密度函数,-,概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间 内的概率对,比值的极限值。,-,概率密度函数,则定义为：,2.5.2,随机过程的主要特征参数,4,、概率密度函数,2.5.2,随机过程的主要特征参数,4,、概率密度函数,概率密度可以直接用来判断设备的运行状态。图示为某一高速滚动轴承工作时振动加速度信号的幅值概率密度函数图，其中兰线为正常轴承的，红线为故障轴承的。由于磨损、腐蚀等故障的出现，轴承振幅增大，谐波增多，反映到概率密度上则使之变得陡峭，同时两旁展宽。因此，比较不同工况下的振动信号图，就可以大致判断设备运行状态是否发生变化。,2.5.2,随机过程的主要特征参数,齿轮打齿的时域波形和概率密度,2.5.2,随机过程的主要特征参数,2.5.2,随机过程的主要特征参数,正常设备的时域波形和概率密度,2.5.2,随机过程的主要特征参数,2.5.3,相关分析,相关概念,自相关函数和互相关函数,相关分析的应用,1,、相关概念,相关,：描述一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的数字特征。,图,2.x,和,y,的相关性,(a),精确相关,(b),中等程度相关,(c),不相关,2.5.3,相关分析,2.,互相关函数与自相关函数,对于各态历经过程，可定义时间变量,与,的互协方差函数为,式中,称,与,的互相关函数，自变量,称为时移。,2.5.3,相关分析,当,时，得自协方差函数,其中,称为,的自相关函数。,2.5.3,相关分析,(1),自相关函数是,的偶函数， ；,而互相关函数通常不是自变量,的偶函数或奇函数，且,，但,(2),当,时，,自相关函数具有极大值，且等于信号的均方值。,而互相关函数的极大值一般不在,处。,自相关函数,和互相关函数,的性质：,2.5.3,相关分析,自相关函数,和互相关函数,的性质：,(3),在整个时移域,内，,的取值范围为：,的取值范围则为：,(4),2.5.3,相关分析,(5),互相关不等式：,定义相关系数,(6),周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两者的频率相同，但丢掉了相角信息如果两信号,和,具有同频的周期成分，则它们的互相关函数中即使,也会出现该频率的周期成分，不收敛。同频相关，不同频不相关。,2.5.3,相关分析,典型的自相关函数和互相关函数曲线,(a),自相关函数,(b),互相关函数,相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西,2.5.3,相关分析,例 求正弦函数,的自相关函数。,解：正弦函数,是一个均值为零的各态历经随机过程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。,令,则,由此得,正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率信息，但失去了原信号的相位信息。,自相关函数可用来检测淹没在随机信号中的周期分量。,2.5.3,相关分析,(1),不同类别信号的辨识,典型信号的自相关函数,窄带随机信号,宽带随机信号,具有无限带宽的脉冲信号,正弦信号,周期信号与随机信号叠加,3.,相关函数的工程意义及应用,2.5.3,相关分析,带钢测速系统,3.,相关函数的工程意义及应用,(2),相关测速和测距,2.5.3,相关分析,案例：自相关测转速,理想信号,干扰信号,实测信号,自相关系数,性质,3,，性质,4,：,提取周期性转速成分。,3.,相关函数的工程意义及应用,2.5.3,相关分析,案例：地下输油管道漏损位置的探测,t,t,3.,相关函数的工程意义及应用,2.5.3,相关分析,1,、自功率谱密度函数,2,、巴塞伐尔,（,Parseval,）,定理,3,、互功率谱密度函数,4,、自谱和互谱的估计,5,、工程应用,2.5.4,功率谱分析,该自相关函数,满足傅里叶变换的条件 对其作傅里叶变换可得,1,、自功率谱密度函数,其,逆变换,为,设,为一零均值的随机过程，且,中无周期性分量，则其自相关函数,在当,时有,2.5.4,功率谱分析,单边功率谱和双边功率谱,称为维纳,辛钦,(Wiener-,Khintchine,),公式。,为,的自功率谱密度函数，简称自谱或功率谱。,功率谱,与自相关函数,之间是傅里叶变换对的关系，亦即,由于,为实偶函数，因此 亦为,实偶函数。,2.5.4,功率谱分析,x,(,t,),为实函数，故,X,( -,f,)=,X,*(,f,),，,于是有,巴塞伐尔定理：,信号在时域中计算的总能量等于它在频域中计算的总能量。,|,X,(,f,)|,2,称能量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。,自谱密度函数与幅值谱之间的关系为,2.5.4,功率谱分析,3,、,互功率谱密度函数,若互相关函数,Rxy,(,),满足傅里叶变换的条件,为信号,x,(,t,),和,y,(,t,),的互功率谱密度函数，简称互谱密度函数或互谱。,根据维纳,辛钦关系，互谱与互相关函数也是一个傅里叶变换对，因此,Sxy,(,f,),的傅里叶逆变换为：,则定义,Rxy,(,),的傅里叶变换,2.5.4,功率谱分析,定义信号,x,(,t,),和,y,(,t,),的互功率为,因此互谱和幅值谱的关系为,正如,Ryx,(,),Rxy,(,),一样，当,x,和,y,的顺序调换时，,Syx,(,),Sxy,(,),。但根据,Rxy,(-,)=,Ryx,(,),及维纳,-,辛钦关系式，不难证明：,其中,2.5.4,功率谱分析,旋转机械的转轴部件从起动、升速到额定转速的过程共经历了全部转速的变化，因此在各个转速下的振动状态可用来对机器的临界转速、固有频率和阻尼比等各参数进行辨识。,起动和停车过程则包含了丰富的信息。是常规运行状态下所无法获得的。,“瀑布图法”：在机械振动或停车过程中将不同转速下振动的功率谱图迭加而形成的一种图。,(2),旋转机械振动特性检测,2.5.4,功率谱分析,旋转机械的瀑布图,2.5.4,功率谱分析,由图可见机器的回转频率,n(r/min),及其各次谐波下谱峰高度，由此来得出机器的临界转速、固有频率及阻尼比等数据。,从图可见，机器临界转速约为,4000r/min,，,机器振动的高次谐波分量很小，主要是回转频率处的谱峰，因此可判断转子存在有较严重的失衡。,此外还可看到图中频率,60Hz,处有一谱峰值，它不随转速升高而改变，判断为电源的脉动干扰。,2.5.4,功率谱分析,功率谱分析在电力系统绝缘子裂纹检测中应用,2.5.4,功率谱分析,功率谱分析在电力系统绝缘子裂纹检测中应用,2.5.4,功率谱分析,无裂纹绝缘子检测信号波形,有裂纹绝缘子检测信号波形,无裂纹绝缘子检测信号的功率谱,有裂纹绝缘子检测信号的功率谱,