5时间序列趋势外推预测

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,时间序列趋势外推预测,1,时间序列是指某种经济统计指标的数值，按时间先后顺序排列起来的数列。,时间序列是时间,t,的函数，若用,Y,表示，则有：,Y=Y,（,t,）。,时间序列分析预测法,时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势,外推预测目标的未来值。,我们对以下几种序列进行分析预测：具有水平趋势的数据序列、具有非水平趋势的序列、具有线性趋势的数据序列和具有线性趋势和季节波动的数据序列,2,9.1,具有水平趋势的时间序列的外推预测,假设某种商品的销售额在某一水平下上下波动。,已知现在的时刻为,t,，求在,t,1,时刻的预测值,3,1,、朴素预测法,所谓朴素预测法就是直接以本月的销售额做为下月销售额的预测值：,L,称为预测期,朴素预测法的优点是简单，成本低，如果序列的变化稳定，波动小就具有一定的预测精度，缺点就是未能充分使用历史的数据信息，受随机波动影响大,4,2,、平均数预测法,将样本算术平均数作为预测值。,这种方法较朴素预测法具有更高的精度，克服了易受随机干扰的影响，充分使用了历史信息，样本越大，精度越高。,5,3,、理论模型常数均值模型,上述方法的理论基础是时间序列的常数均值模型,服从经典假设,该模型可以分成两种,1,、 已知，则系列的最小均方差预测值为,预测误差为：,6,由于 ，所以预测值为无偏预测。预测方差为,预测区间为：,7,若 未知，那么 可以通过最小二乘法求估。则：,预测误差为：,方差为：,8,由于 未知，所以 使用估计值代替,则统计量服从,t,分布：,则预测区间为：,9,预测校正：,如果得到新的观测值后，要进行新的预测就必须根据新得到的数据信息，对原来的预测结果进行校正，作为新的预测值。,假定对时间序列 作出的预测值为,现在新增观测值，要在,n,1,的基础上对 作出预测，预测值记为,或者,10,9.2,有非水平趋势样本序列的趋势外推法,如果时间序列是均值缓慢变动的，则使用局部均值模型。,1.,加权滑动平均预测法,滑动平均预测,对时间序列 要外推预测值为 记,N,为滑动平均时段长，预测值随,n,的变化而变化，称为滑动平均预测值，通过滑动平均可以清除干扰，显示趋势，得到趋势外推预测值。,11,例,1,某市汽车配件销售公司某年,1,月至,12,月的化油器销售量如表所示。试用简单移动平均法，预测下年,1,月的销售量。,化油器销售量及移动平均预测值表,单位：只,月份,t,实际销售量,3,个月移动平均预测值,5,个月移动平均预测值,1,423,2,358,3,434,4,445,405,5,527,412,6,429,469,437,7,426,467,439,8,502,461,452,9,480,452,466,10,384,469,473,11,427,456,444,12,446,430,444,419,452,12,解：分别取,N=3,和,N=5,，按预测公式：,计算,3,个月和,5,个月移动平均预测值。,当,N=3,时,当,N=5,时,计算结果表明：,N=5,时，,MSE,较小，故选取,N=5,。预测下年,1,月的化油器销售量为,452,只。,13,例,2,某商业企业季末库存的资料如下表，试用简单移动平均法对该企业下一季末的库存进行预测,观察期季末库存,n=3,n=5,10.6,10.8,11.1,10.4,10.83,0.43,11.2,10.77,0.43,12,10.9,1.1,10.82,1.18,11.8,11.2,0.6,11.1,0.7,11.5,11.67,0.17,11.3,0.2,11.9,11.77,0.13,11.38,0.52,12,11.73,0.27,11.68,0.32,12.2,11.8,0.4,11.84,0.36,10.7,12.03,1.33,11.88,1.18,10.4,11.63,1.23,11.66,1.26,11.2,11.1,0.1,11.44,0.24,14,解：,1,、分别取,n=3,，,n=5,同时计算移动平均预测值，如表所示。,2,、计算平均绝对误差：,n=3,时，,n=5,时，,很明显,n=5,时的预测误差大于,n=3,时的预测误差，所以取移动平均期数,n=3,。,3,、对下期库存额进行预测。,15,设时间序列为：,加权移动平均公式为,式中：,Mtw,为,t,期加权移动平均数；,Wt,为 的权数，它体现了相应的,y,在加权平均数中的重要性。,利用加权移动平均数来作预测，其预测公式为：,即以第,t,期加权平均数作为第,t+1,期的预测值。,16,例,3,我国,19791988,年原煤产量如表所示，试用加权移动平均法预测,1989,年的产量。,我国原煤产量统计数据及加权移动平均预测值表,单位：亿吨,年份,t,原煤产量,三年加权移动平均预测值,相对误差（,%,）,1979,6.35,1980,6.20,1981,6.22,1982,6.66,6.24,6.31,1983,7.15,6.44,9.93,1984,7.89,6.83,13.43,1985,8.72,7.44,14.68,1986,8.94,8.18,8.50,1987,9.28,8.69,6.36,1988,9.80,9.07,7.45,17,解：取,W1=3,，,W2=2,，,W3=1,，按预测公式：,计算三年加权移动平均预测值其结果列于上表中。,1989,年我国原煤产量的预测值为：,这个预测值偏低，可以修正。其方法是：先计算各年预测值与实际值的相对误差，例如,1982,年为：,18,将相对误差列于上表中，再计算总的平均相对误差：,由于总预测值的平均值比实际值低,9.50%,，所以可将,1989,年的预测值修正为 ：,19,例,4,现仍以例,2,的数据为例，令,n=3,，权数由远到近分别为,0.1,，,0.2,，,0.7,观察期季末库存（万元）,加权移动平均预测值,10.6,10.8,11.1,10.4,10.99,0.59,11.2,10.58,0.62,12,11.03,0.97,11.8,11.68,0.12,11.5,11.78,0.28,11.9,11.61,0.29,12,11.81,0.19,12.2,11.93,0.27,10.7,12.13,1.43,10.4,11.13,0.73,11.2,10.64,0.56,某商业企业季末库存资料,20,解：取,W1=0.7,，,W2=0.2,，,W3=0.1,，按预测公式：,计算,n=3,的加权移动平均预测值其结果列于上表中。下期预测值为：,21,2.,指数平滑法,指数平滑法既不需要存贮很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。,指数平滑法，根据平滑次数不同，有一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等,。,在加权平均算法中，如果所加权数随数据的时限增长而几何方式减小，则 的预测值 可以写为：,其中 由于 则,令 则：,22,简化得到一次指数平滑公式为,：,平滑系数的选择,1,、,a,值就根据时间序列的具体性质在,01,之间进行选择。具体如何选择一般可遵循下列原则：,（,1,）如果时间序列波动不大，比较平稳，则,a,应取小一点，如（,0.10.3,）。,（,2,）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则,a,就取大一点，如（,0.60.8,）。,在实用上，类似移动平均法，多取几个,a,值进行试算，看哪个预测误差小，就采用哪个。,23,例,7,某市,19761987,年某种电器销售额如下表所示。试预测,1988,年该电器销售额。,年份,t,销售额,a=0.2,的预测值,a=0.5,的预测值,a=0.8,的预测值,1976,1,50,51,51,51,1977,2,52,50.8,50.5,50.2,1978,3,47,51.04,51.25,51.64,1979,4,51,50.23,49.13,47.93,1980,5,49,50.38,50.07,50.39,1981,6,48,50.10,49.54,49.28,1982,7,51,49.68,48.77,48.26,1983,8,40,49.94,49.89,50.45,1984,9,48,47.95,44.95,42.09,1985,10,52,47.96,46.48,46.82,1986,11,51,48.77,49.24,50.96,1987,12,59,49.22,50.12,50.99,24,解：采用指数平滑法，并分别取,a=0.2,0.5,0.8,进行计算，初始值,即,按预测模型，计算各期预测值，列于上表中,.,从上表中可以看出，,a=0.2,0.5,0.8,时，预测值是很不相同的。究竟,a,取何值为好，可通过计算它们的均方误差,MSE,，选使,MSE,较小的那个,a,值。,当,a=0.2,时，,当,a=0.5,时，,当,a=0.8,时，,计算结果表明：,a=0.2,时，,MSE,较小，故选取,a=0.2,，预测,1988,年该电器销售额为：,25,9.3,序列有线性趋势的外推预测,对于有线性增长趋势的时间序列，如果采用滑动平均法和指数平滑法去做预测，就会产生滞后，预测值小于实际值。假设线性趋势方程为：,则,如果时间从,t,增加到,t+N,，,如果采用滑动平均法预测得：,因此有必要采用二次滑动平均值预测法,26,二次移动平均法,（,1,）基本原理,为了避免利用移动平均法预测有趋势的数据时产生系统误差，发展了线性二次移动平均法。这种方法的基础是计算二次移动平均，即在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。,27,（,2,）计算方法,线性二次移动平均法的通式为：,m,为预测超前期数,（,5.1,）,（,5.2,）,（,5.3,）,（,5.4,）,28,（,5.1,）式用于计算一次移动平均值；,（,5.2,）式用于计算二次移动平均值；,（,5.3,）式用于对预测（最新值）的初始点进,行基本修正，使得预测值与实际值 之间不存,在滞后现象；,（,5.4,）式中用,其中：,除以,，这是因为,移动平均值是对,N,个点求平均值，这一平均值应落在,N,个点的中点。,29,二、二次指数平滑法,计算公式为：,可用以下直线趋势模型来预测,预测方程为：,30,例,8,仍以我国,19651985,年的发电总量资料为例，试用二次指数平滑法预测,1986,年和,1987,年的发电总量。,年份,t,发电总量,一次平滑值,二次平滑值,1965,1,676,676,676,1966,2,825,720.7,689.4,676,1967,3,774,736.7,703.6,765.4,1968,4,716,730.5,711.7,784.0,1969,5,940,739.4,736.2,757.4,1970,6,1159,903.1,786.3,875.1,1971,7,1384,1047.4,864.6,1070.0,1972,8,1524,1190.4,962.3,1308.5,1973,9,1668,1333.7,1073.7,1516.3,1974,10,1688,1440.0,1183.6,1705.1,1975,11,1958,1595.4,1307.1,1806.3,我国发电总量及一、二次指数平滑值计算表,单位：亿度,31,1976,12,2031,1726.1,1432.8,2007.3,1977,13,2234,1878.5,1566.5,2145.1,1978,14,2566,2084.8,1722.0,2324.2,1979,15,2820,2305.4,1897.0,2603.4,1980,16,3006,2515.6,2082.6,2888.8,1981,17,3093,2688.8,2264.5,3134.2,1982,18,3277,2865.3,2244.7,3294.9,1983,19,3514,3059.9,2629.3,3466.2,1984,20,3770,3272.9,2822.4,3675.0,1985,21,4107,3523.1,3032.6,3916.5,32,解：取,a=0.3,，初始值 都取序列的首项级数值，即 。计算 列于表中，得到 。,又由公式知,t=21,时，,于是得,t=21,时的直线趋势方程为：,预测,1986,年和,1987,年的发电总量为：,33,例,9,某公司,19902001,年的实际销售额如下表所示，据此资料预测,2002,年和,2003,年企业销售额,。,年份,实际销售值,一次平滑值,二次平滑值,1990,33,33.7,33.7,33.7,0,1991,36,33.3,33.5,33.1,-0.3,33.7,1992,32,34.9,34.3,35.5,0.9,32.9,1993,34,33.2,33.6,32.8,-0.7,36.3,1994,42,33.7,33.7,33.7,0.0,32.1,1995,40,38.7,36.7,40.7,3.0,33.8,1996,44,39.5,38.4,40.6,1.7,43.7,1997,48,42.2,40.7,43.7,2.3,42.3,1998,46,45.7,43.7,47.7,3.0,46.0,1999,50,45.9,45.0,46.8,1.3,50.7,2000,54,48.4,47.0,49.8,2.0,48.1,2001,58,51.8,49.9,53.7,2.9,56.55,34,解：由于观察值变动基本呈线性趋势，选用二次指数平滑法。取,=0.6,。初始值取前三期观察值的平均值，其数值为,33.7,。预测过程如下：,1,、计算一、二指数平滑值。如表所示。,2,、计算 和 的值。,则预测模型为：,3,、运用预测模型，确定预测值。即,2002,年及,2003,年的预测值为,56.6,亿元和,59.4,亿元。,35,9.4,序列有线性趋势和季节趋势的外推预测,时间序列分析预测法，是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势，外推预测目标的未来值。时间序列分析法也称历史延伸法或趋势外推法。,编制时间序列要做到：,总体范围一致；,代表的时间单位长短一致；,统计数值的计算方法和计量单位一致。,36,时间序列是指某种统计指标的数值，按照时间先后顺序排列起来的数列。例如某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列等等都是时间序列。时间序列一般用 表示，,t,为时间。,时间序列,长期趋势,季节变动,循环变动,不规则变动,37,时间序列的因素分析,1,、长期趋势：是时间序列的主要构成要素，指由于某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。它反映了事物的主要变化趋势。,2,、季节变动：指由于自然条件和社会条件（生产生活条件）的影响，时间序列在一年内随着季节的转变而引起的周期性变动。,3,、循环变动：是近乎规律性的周而复杂始的变动，是以数年为周期的周期变动。,4,、不规则变动：是指由各种偶然性因素引起的无周期变动。,38,二、时间序列的组合形式,（,1,）加法型,（,2,）乘法型,（,3,）混合型,其中：,Yt,为时间序列的全变动；,Tt,为长期趋势；,St,为季节变动；,Ct,为循环变动；,It,为不规则变动。,39,1,、加法型序列的外推预测法,1.,对样本序列做长度为（,k,1,）的滑动平均，削去随机干扰，记滑动平均的序列为,2.,对于 求出趋势线,3.,将序列 消除趋势的影响，求出削去趋势后的序列值,4,、将 按季节次序重排，假定,t,1,为春季,5,、对季节指数进行检验， ，符合季节指数条件，否则对指数进,行修正。若 ，则,6,、进行预测,40,41,2.,乘法型序列的外推预测,对于乘法型序列,1.,对 序列值分解出长期趋势因素，假设季节长度为,4,，只要将序列做滑动长度为,4,的滑动平均，即可消除随即干扰和季节波动。记滑动平均值为 ， 滑动的序列 只包含趋势因素。,2.,对 分解出季节因素和随机因素 ，,3.,从 中分解季节因素 。为避免直接平均将季节因素也消除掉，需将序列按照春夏秋冬的顺序逐季排列，然后将相同季度的,相加平均消除随机性，保留季节性。如果得到的平均数相加,则需进行季节指数的调整,4,。利用 序列，求出线性趋势方程，记为：,5.,根据,3,、,4,得到的季节指数 和 ，可得预测公式：,42,9.5,不同的滑动平均方法及其在趋势外推的应用,移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置,N,为奇数时，新数列首尾各少（,N-1,）,/2,项；,N,为偶数时，新数列首尾各少,N/2,项。,当,N,为奇数，只需一次移动平均,当,N,为偶数，需再进行二项移动平均即移正平均（或中心化）新数列较原数列项数少,造成部分信息缺损。,N,越大，缺项越多。,偶数项的中心化简单平均数要经过两次移动计算才可得出。,例如：移动项数,N,4,时，,计算的移动平均数对应中项在两个时期的中间：,43,由于这样计算出来的平均数的时期不明确，故不能作为趋势值。,解决办法,：,对第一次移动平均的结果，再作一次移动平均,。,44,偶数项“,移动法则,”：,1.,要取“,2,n,+ 1,”,项；,2.,采用“,首尾取半法,”计算移动平均数；,3.,作为,n,+ 1,项的长期趋势值。,45,33,项移动平均就是对,3,项移动平均值再进行,3,项移动平均，首先进行,3,项移动平均：,46,55,项移动平均,47,对称的,henderson,移动平均,在,X11,中，为了从,TC1,序列中获得趋势循环要素,TC,，必须消除其中的不规则要素,I,，这使用的是,henderson,移动平均法，也称,Henderson,滤波：,Henderson,加权移动有,5,，,9,，,13,，,23,项之别，不规则要素越大，需要的项数也越大，具体推导可见,Kenny and durbin,（,1982,）。,下面给出,5,项平均的公式,前后各差两项,48,中位平均数,在每一个序列中除去最大值和最小值，然后再对余数进行平均，称为中位平均数,49,9.6,温特线性和季节性指数平滑预测法,一、,温特线性和季节性指数平滑法的基本原理,温特线性和季节性指数平滑法利用三个方程式和一个预测方程组成，其中每一个方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的和季节性的），且都含有一个平滑参数。,已知时间序列 ，乘法序列的形式：,满足,50,平滑公式,霍尔特,-,温特斯指数平滑法的三个平滑公式：,51,设定初始值：,52,预测方程,霍尔特,-,温特斯指数平滑法的预测方程为：,是季节长度。,53,平滑系数的确定,1.,三个平滑系数：,、的取值可以相同也可以不同，一般根据经验选定，常在,0.10.2,之间。,2.,理论上可以通过多值试算，也可以应用工具软件帮助实现。,54,