质点运动微分方程方案课件

质点动力学的基本方程,第三篇 动力学,引 言,回顾,静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；,运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；,动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。,动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学,中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。,低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。,动力学的研究对象：,动力学的理论基础：,牛顿定律的适用范围（,1,）不适于微观物体；（,2,）物体的运动速度不能太大。,牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律,动力学分为质点动力学和质点系动力学：,质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。,质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点系,可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统）,本课程重点放在质点系动力学。,牛 顿,牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由,7,种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。,牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。,牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著,自然哲学的数学原理,。这本书出版于,1687,年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。,解决动力学两类基本问题的途径：,直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；,综合应用动力学普遍定理；,应用达朗伯定理。,牛顿力学,动力学的主要任务（解决的基本问题）：,第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；,第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。,第十章 质点动力学的基本方程,10-1,动力学的基本定律,10-2,质点的运动微分方程,10-3,质点动力学的两类基本问题,第一定律（惯性定律）,10-1,动力学的基本定律,不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。,本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动,的性质，即惯性。,说明：,匀速直线运动称为惯性运动。,明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。,第二定律（力与加速度之间的关系的定律）,质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。,即,此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。,质量是质点惯性的度量。,说明：,在地球表面，物体受重力作用，有,P =,m,g,式中，,g,重力加速度，一般取,g,= 9.80 m/s,2,。,第三定律（作用与反作用定律）,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。,动力学基本定律说明：,（,1,）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。,工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动的坐标系为惯性坐标系，,（,2,）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。,10-2,质点的运动微分方程,x,o,z,y,r,i,j,k,F,1,F,n,F,i,a,F,R,a,a,a,M,根据牛顿第二定律，若质点,M,的质量为,m,，受,n,个力,F,1,F,2,.,F,n,作用，,则有,或,而,则,矢量形式的质点运动微分方程。,1.,质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影,x,o,z,y,r,i,j,k,F,1,F,n,F,i,a,F,R,a,a,a,M,将式,向坐标轴投影，得,直角坐标形式的质点运动微分方程,2.,质点运动微分方程在自然轴上的投影,b,n,a,F,(,),(,),m,在质点,M,的运动轨迹上建立自然轴系,M,bn,，,根据点的运动学知，质点的加速度在运动,轨迹的密切面内，即,所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，,则,自然轴系的质点运动微分方程,10-3,质点动力学的两类基本问题,第一类基本问题：,已知质点的运动，求此质点所受的力。,如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。,第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。,求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。,注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意投影的正负号。,1,、求质点的加速度,y,x,o,y,x,解：,例题,1,质点,M,的质量为,m,，运动方程是,x,=,bcost,y,=,dsint,，其中,b,d, ,为常量。求作用在此质点上的力。,i,j,2,、求质点所受的力,由,得,M,讨论：,力的方向永远指向椭圆中心，为,有心力,；,力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。,易知：,求质点的轨迹方程：,从运动方程中消去,t,，得,y,x,o,r,i,j,y,x,M,F,质点所受的力可表示为,例,2,在均匀的静止液体中，质量为,m,的物体,M,从液面处无初速下沉。设液体阻力,F,R,=,，其中 为阻尼系数。试分析该物体的运动规律及其特征。,解：为建立质点,M,的运动微分方程,将参考坐标系的原点固结在该点的起始位置上，,x,轴铅直向下。该质点的受力图如图，则质点,M,的位移、速度、加速度均设为沿,x,轴的正方向。则运动微分方程为,F,R,8.3,质点动力学的两类基本问题,F,R,令,这就是,该物体下沉的运动规律。,运动的起始条件为：,t,= 0,时，,v,0,= 0,，,x,0,= 0,8.3,质点动力学的两类基本问题,该物体下沉速度将趋近一极限值,这个速度称之为物体在液体中自由下沉的,极限速度,讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速度,所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这个道理。,8.3,质点动力学的两类基本问题,例题,3,已知桁车吊的重物重为,G,，以匀速度,v,0,前进，绳长为,l,。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。,解：研究重物，,桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动。,当其摆至,角处，受力如图。,由自然轴系的质点运动微分方程，有,(a),(b),可知，拉力,T,与重物的速度,v,、摆角,有关，,v,0,T,G,n,v,对,(a),式进行分离变量并积分：,l,(c),将,(c),式代入,(b),式，得,当, = 0,时，,G,v,0,G,G,T,G,n,v,l,本例的实际指导意义：,桁车行进的速度不宜过快；,绳子不宜太短；,实际数据例如：,则可求得,式中,G,前的系数即动荷系数。,已求得：突然刹车时，绳子所受的最大拉力为,由此可知：,G,v,0,G,G,T,G,n,v,l,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，,培养逻辑思维能力；,通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，,培养文学情趣；,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,有许多书籍还能培养我们的道德情操，,给我们巨大的精神力量，,鼓舞我们前进,。,