11行列式定义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,9/16/2024,1,绪 论,线性代数是是中学代数的继续和发展。,一、课程内容,“线性”即一次，一次函数、方程、不等式均称为线性的。本课程一重要内容解含,n,个未知数、,m,个方程的任一线性方程组。课程给出了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些新知识，如矩阵(Ch2) 、向量(Ch3)及相关概念。,行列式(Ch1)与矩阵概念是人们从求解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具。矩阵在众多数学分支以及自然科学、现代经济学,、,2,工程技术等方面也有广泛应用。教材在Ch4进一步研究矩阵的有关问题， Ch5也以矩阵为工具,。,二、课程应用,线性问题广泛存在于自然科学、管理科学和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不等式又可以通过引进新变量转化为等式(“线性规划”课程)即线性方程。,因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速,、,准确求解。,9/16/2024,3,三、课程特点,学习方法,五、参考书目,1.练习卷,2.线性代数学习指导,代数繁且抽象。只有一步步稳打稳扎，才能学好.,预习,适当笔记,适时复习,独立作业,及时小结,四、作业要求:,及时、独立完成; 格式; 上交时间.,9/16/2024,4,第一章 行列式,9/16/2024,5,来源: 解线性方程组,考虑用,消元法,解,为了求,x,1,需先消去,x,2,于是,当 时,1.1 行列式的定义,一. 二、三阶行列式,1. 二阶行列式,9/16/2024,6,类似有:,这就是两个未知量两个方程的线性方程组在条件,下的公式解.,公式解的缺点:,不便于记忆,改进方法:,引入新,记号,定义一:,令,并把此式叫做一个二阶行列式.,(,结果是个数,),等式左端是记号,右端是行列式的算法.,(两行两列四元素组成),(两项的代数和),9/16/2024,7,公式解的便于记忆形式,记法:,(2),x,1,、,x,2,分子不同, 其行列式分别是把系数行,列式中,x,1,、,x,2,的系数列换成常数项列,(,保持原有的上下相对位置,),所得行列式.,(1),x,1,x,2,分母的行列式由方程中未知数系数按其原有的相对位置排成“系数行列式”,9/16/2024,8,定义二:,令,并把此式叫做一个三阶行列式.,等式左端是记号,右端是行列式的展式.,a,ij,: 第,i,行第,j,列的元素,它可以由一个很简单的规则来说明即三阶行,列式的对角线规则.,(三行三列九元素组成),(六项的代数和),2. 三阶行列式,9/16/2024,9,可以验证，,三元线性方程组,的解,当,D,0时可以表示为:,9/16/2024,10,其中:,例1,解方程组,D,D,1,D,2,D,3,9/16/2024,11,解,所以:,D,D,1,=,D,2,=,D,3,=,3(-1)(-1),=,121,(-1)21,(-1)(-1)1, 12(-1),321,2,=2212,=1,=12,=9,9/16/2024,12,小结:,引入二,(,三,),阶行列式使二,(,三,),元线性方程组的公式解具有同样的规律. 人们自然想把这一规律推广到,n,(,n,3),个未知量的线性方程组的解法上. 显然,能否推广关键在于怎样恰当地定义,二.,n,阶行列式,1. 二、三阶行列式的推广,四阶行列式：4,2,个元素组成,n,阶行列式：,n,2,个元素组成,n,阶行列式的形式,n,阶行列式的实质,?,9/16/2024,13,表示代数和每项组成?共多少项?各项符号?,观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：,(1) 每项组成:,(2)多少项:,四阶行列式共4! 24项，对角线仅8条，,(3)各项符号:,四阶以上是否适用？,取自不同行不同列的三元之积.,由排列组合知识，共3! 6项.,有多少不同行、不同列的三元之积?,对角线法则.,对角线法则对四阶以上行列式不适用,。,为确定行列式展式中各项符号,先介绍,排列理论,14,(1)排列:,自然数1,2,n,组成的一个有序数组,i,1,i,2,i,n,称为,一个,n,级(元)排列.,例,123,、,231,、,312,、,自然排列:,(2)逆序: 大数码排在小数码前面, 称两者构成一个逆序.,排列中的逆序总数称作,逆序数, 记,2.排列的逆序数,51243,、,41352,、,五级排列.,不是排列.,1242,三级排列,共,3,!,6,种；,一般排列：不按自然数顺序排列.,例2,2+,1+,1,=4;,=0;,=5;,按自然数顺序排列(左数码,1)级排列的集合中，奇、偶排列各占一半。,证:,设,n,!个排列中奇、偶排列分别有,p,、,q,个.,将,p,个奇排列经同一对换如,(1,，,2),可得,p,个偶排列,故,p,q,；,同理可得,q,p,.,所以,p,q,推论,奇,(,偶,),排列可经奇,(,偶,),数次对换变成自然排列,利用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号.,先看三阶行列式中各项符号有何规律.,各项正负号与,列,标排列:,正号:123,231,312,负号:321,213,132,(偶排列),(奇排列),17,定义：用符号,表示的,n,阶行列式指的是,n,!,项的代数和,;,这些项是,一切可能,的取自表(1)的不同行与不同列的,n,个元素的乘积 ；,项 的,符号,为,故,3.,n,阶行列式,记作：,9/16/2024,18,determinant,简记作,易证：,(也可),特别:,n,=1,一阶行列式,(,与绝对值的区别!,),|,a,|,a,19,上三角形,行列式,下三角形,行列式,对角形,行列式,例,3,4.,特殊行列式,a,11,a,22,a,nn,a,1,n,a,2,n-,1,a,n,1,20,例4.,用行列式定义计算：,2005 !,(1),2005 !,2005 !,9/16/2024,21,例5. 设,问,dx,3,y,2,z,1,、,by,3,x,1,z,4,、,ax,1,y,3,z,2,是否,D,中项？符号?,求,f,(,x,),的最高次项.,例6.,dx,3,y,2,z,1,列4321,.,by,3,x,1,z,4,行,1234,列2314.,.,行,1324,ax,1,y,3,z,2,列1132,不是,D,中项,.,行,1234,90,x,4,(或:行,1234,列2134),9/16/2024,22,解: 根据定义,D,是一个4!24项的代数和.,这24项中除了,acfh,adeh,bdeg,bcfg,四项外,其余项都至少含一个因子0,因而等于零.,acfh,对应,列,排列是,1234,adeh,对应,列,排列是,1324,bdeg,对应,列,排列是,4321,bcfg,对应,列,排列是,4231,例7.计算四阶行列式,D,acfh,adeh,bdeg,bcfg,9/16/2024,23,作业,P30：,1、3、4(1),复习1.1,预习1.2,9/16/2024,24,下课,9/16/2024,25,