直线的方向向量与直线的向量方程

返回,3.2,3.2.1,直线的方向向量与直线的向量方程,理解教材新知,把握热点考向,应用创新演练,考点一,考点二,第三章,空间向量与立体几何,考点三,知识点一,知识点二,考点四,知识点三,3,2.1,直线的方向向量与直线的向量方程,问题,1,：当,t,确定时，点,P,的位置是否被确定？,提示：确定,提示：,过点,A,且平行于向量,a,的一条直线,用向量表示直线或点在直线上的位置,(1),给定一个定点,A,和一个向量,a,，再任给,一个实数,t,，以,A,为起点作向量 ,ta,，,这时点,P,的位置被,t,的值完全确定当,t,在实数,集,R,中取遍所有值时，点,P,的轨迹是通过点,A,且平行于,的一条直线,l,，反之，在,l,上任取一点,P,，一定存在一个实数,t,，使,，则向量方程,通常称作直线,l,以,的参数方程,称为该直线的方向向量,向量,a,t,为参数,向量,a,若直线,l,1,的方向向量为,v,1,，直线,l,2,的方向向量为,v,2,，且,v,1,，,v,2,.,问题,1,：若,v,1,v,2,，则,l,1,与,l,2,有什么关系？,提示：平行或重合,问题,2,：若直线,l,的方向向量,v,与,v,1,，,v,2,共面，且,v,1,、,v,2,不共线，则直线,l,与平面,平行吗？,提示：不一定，,l,可能在,内,问题,3,：若平面,，则,v,1,，,v,2,与,什么关系？,提示：,v,1,，,v,2,.,v,1,v,2,v,1,且,v,2,v,xv,1,yv,2,问题,1,：两条直线垂直，对应的方向向量垂直吗？,提示：垂直,问题,2,：两条直线所成的角,与两直线的方向向量的夹角,之间有什么关系？,提示：相等或互补,用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角,设直线,l,1,和,l,2,所成的角为,，方向向量分别为,v,1,和,v,2,，则,l,1,l,2,，,cos,v,1,v,2,|cos,v,1,，,v,2,|,1,直线的方向向量不是唯一的，可以分为同向和反向两类解题时，可以选取坐标最简的方向向量,2,若直线,l,1,，,l,2,的方向向量平行，则包括,l,1,与,l,2,平行和,l,1,与,l,2,重合两种情况,3,求异面直线所成的角时要注意范围,一点通,此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可,1,已知,O,为坐标原点，四面体,OABC,中，,A,(0,，,3,，,5),，,B,(1,，,2,，,0),，,C,(0,，,5,，,0),，直线,AD,BC,，并且,AD,交坐标平面,xOz,于点,D,，求点,D,的坐标,例,2,已知正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,2,，,E,、,F,分别是,BB,1,、,DD,1,的中点，求证：,(1),FC,1,平面,ADE,；,(2),平面,ADE,平面,B,1,C,1,F,.,思路点拨,利用直线的方向向量以及线面平行，面面平行的条件证明,一点通,(1),证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量,平行,(2),用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内,(3),利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行,3,在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,4,，,AD,3,，,AA,1,2,，,P,、,Q,、,R,、,S,分别是,AA,1,、,D,1,C,1,、,AB,、,CC,1,的中点,证明：,PQ,RS,.,5.,如右图，在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,、,F,、,G,分别是,A,1,D,1,、,D,1,D,、,D,1,C,1,的中点,求证：平面,EFG,平面,AB,1,C,.,例,3,在棱长为,a,的正方体,OABC,O,1,A,1,B,1,C,1,中，,E,、,F,分别是,AB,、,BC,上的动点，且,AE,BF,，求证：,A,1,F,C,1,E,.,思路点拨,一点通,利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为,0.,证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量,6,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,AC,的中点，证明：,(1),BD,1,AC,，,(2),BD,1,EB,1,.,思路点拨,先建立空间直角坐标系，求出,A,1,C,与,AD,1,的方向向量再求出方向向量的夹角的余弦值，最后转化为异面直线,A,1,C,与,AD,1,所成的角,精解详析,建立如图所示的空间直角坐标系，,一点通,利用向量求异面直线所成角的步骤为：,(1),确定空间两条直线的方向向量；,(2),求两个向量夹角的余弦值；,(3),确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角,8,已知正四棱锥,P,ABCD,底面边长为,a,，高,PO,的长也为,a,，,E,，,F,分别是,PD,，,PA,的中点，求异面直线,AE,与,BF,所成角的余弦值,解：,如下图，以,O,为原点，过,O,点平行于,AB,、,BC,的直线为,x,轴、,y,轴，,PO,为,z,轴建立空间直角坐标系由已知得,点击下图进入,“,应用创新演练,”,