3.7晶格的非简谐效应

第七节,晶体的非简谐效应,3.7.1 热膨胀,本节主要内容:,3.7.2 热传导,3.7.3 晶体的状态方程和热膨胀,3.7 晶体的非简谐效应,简谐近似：,(1)在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为,3,N,个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；,(2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。,用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。,晶体的非简谐效应：,微扰项,声子间有相互作用,能量交换,系统达到热平衡,两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三个声子。,微扰项,声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒,碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。,-,正常过程(,N,过程),；,(1),-,反常过程(,U,过程),。,(2),3.7.1 热膨胀,热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。,假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置,R,0,附近作振动，离开平衡位置的位移用,表示，势能在,平衡位置附近展开：,0,1.物理图象,R,0,R,0,（1）简谐近似,R,U,(,r,),R,0,两原子间距不变，无热膨胀现象,（2）非简谐效应,两原子间距增大，有热膨胀现象。,由玻尔兹曼统计，原子离开平衡位置的平均位移,2.理论计算,(,c,、,g,均为正常数。),(1)简谐近似：,是,的奇函数,在简谐近似下无热膨胀现象。,(2)非简谐效应:,在非简谐效应下，有热膨胀现象。,推导略,线膨胀系数,当势能只保留到,3,次方项时，线膨胀系数与温度无关。,若保留更高次项，则,线膨胀系数与温度有关。,显然，在简谐近似下，,g,=0，,=0。,3.7.2 热传导,当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温度相等达到新的热平衡, 这种现象称为热传导。,(为正值)为热传导系数或热导率。,负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。,晶体热传导,电子热导,晶格热导,电子运动导热(金属),格波的传播导热(绝缘体、半导体),(1)气体热传导,C,V,单位体积热容,-平均自由程,热运动平均速度,放能,吸能,高温区,低温区,气体分子,碰 撞,碰 撞,1.微观解释,(2)晶格热传导,晶格热振动看成是“声子气体”，,声子数密度大,声子数密度小,扩散,低温区,高温区,C,V,单位体积热容,-声子自由程,声子平均速度,(常取固体中声速),2.讨论,与,T,的关系,1)高温时，,T,D,C,V,单位体积热容，,-声子自由程，,声子平均速度(常取固体中声速)。,基本与温度无关，,C,v,和,与温度密切相关,(2)低温时，,T,D,因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整的晶体， (,D,为,晶体线度)。,实际上热导系数并不会趋向无穷大。,低温时：,3.7.3 晶体的状态方程和热膨胀,由热力学知，压强,P,、,熵,S,、,定容比热,C,V,和自由能,F,之间的关系为：,自由能,F,(,T,，,V,),是最基本的物理量,求出,F,(,T,，,V,)，,其他热力,学量或性质就可以由热力学关系导出。,1.晶体的状态方程,晶格自由能,F,1,=,U,(,V,),F,2,由统计物理知道：,Z,是晶格振动的配分函数。,频率为,i,的格波，配分函数为：,由晶格振动决定,T,=0,时晶格的结合能,若能求出晶格振动的配分函数，即可求得热振动自由能。,忽略晶格之间的相互作用能，总配分函数为：,由于非线性振动，格波频率,i,也是宏观量,V,的函数，所以,式中,表示频率为,i,的格波在温度,T,时的平均能量，而,是与晶格的非线性振动有关与,i,无关的常数，称,为格林艾森数,。,为晶格振动总能量。,对于大多数固体，体积的变化不大，因此可将 在,晶体的平衡体积,V,0,附近展开:,若只取一次方项，则,晶体的状态方程(格林艾森方程,),2.由状态方程讨论晶体的热膨胀,其中,K,是体积弹性模量。,热膨胀是在不施加压力的情况下，体积随温度的变化。上式两边对温度,T,求导得：,上式等号右边第二项是非常小的量可略去，所以,格林艾森定律,。,（1）热膨胀系数与格林艾森数成正比。对于简谐近似，,=0，无热膨胀现象。,热膨胀是非简谐效应，,可作为检验非简谐效应大小的尺度，同样,也可用作检验非简谐效应的尺度。实验测定，对大多数晶体，,值一般在,1,3,范围内。,（2）热膨胀与热振动成正比，所以热膨胀系数,与晶体热容量成正比。,