矩阵的初等变换与线性方程组课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三章,矩阵的初等变换与线性方程组,9/16/2024,1,1,矩阵的初等变换,引例 求解线性方程组,9/16/2024,2,用消元法,9/16/2024,3,9/16/2024,4,令,代入,方程组，得解,9/16/2024,5,消元法的三类变换：,（,1,）对调二个方程的次序；,（,2,）以非零的数,k,乘某个方程；,（,3,）一个方程加上另一个方程的,k,倍,由于三类变换都是可逆的，,因此变换前的方程组与变换后是同解的,9/16/2024,6,定义,1,：,下面三类变换称为矩阵的初等,行变换,:,同样可定义矩阵的初等,列变换,(,把“,r,”,换成“,c,”),初等,行变换,和初等,列变换,统称,初等变换,。,9/16/2024,7,三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一,类的初等变换。,9/16/2024,8,若矩阵,A,经过有限次,初等变换变成,B,，则称,A,与,B,等价，记作,A,B .,矩阵的,等价关系满足：,反身性,A,A,；,对称性,若,A,B,，,则,B,A,；,传递性,若,A,B,，,B,C,，,则,A,C,。,9/16/2024,9,(1),的增广矩阵,线性方程组,9/16/2024,10,9/16/2024,11,行阶梯形,9/16/2024,12,行最简形,令,9/16/2024,13,等价标准形,9/16/2024,14,任一,m,n,矩阵,A,都等价于一个如下的矩阵,称为,A,的,等价标准形,。,9/16/2024,15,2,初等矩阵,定义,2,：,由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称,为初等矩阵。,三类初等变换与三类初等方阵相对应,9/16/2024,16,9/16/2024,17,9/16/2024,18,9/16/2024,19,三类,初等矩阵：,其中,9/16/2024,20,三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置,矩阵都是同一类的初等矩阵。,9/16/2024,21,定理,1,：,设,A,为,m,n,矩阵，则,9/16/2024,22,9/16/2024,23,方阵,A,可逆的充要条件是,A,可以表示为,若干个初等矩阵的乘积。,定理,2,：,证明：,充分性,.,必要性,.,9/16/2024,24,方阵,A,可逆的充要条件是,A E,推论,1,：,推论,2,：,m,n,阵,A,与,B,等价的充要条件是存在,m,阶,可逆阵,P,和,n,阶可逆阵,Q,，使得,PAQ,=,B,注意到,可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。,9/16/2024,25,例,.,9/16/2024,26,即,9/16/2024,27,解：,例：,9/16/2024,28,9/16/2024,29,9/16/2024,30,例：,解：,初等行变换,9/16/2024,31,9/16/2024,32,9/16/2024,33,3,矩阵的秩,定义,3,：,在矩阵,A,中，任取,k,行、,k,列所得的,k,2,个,元素不改变它们的相对位置而得的,k,阶行列式，,称为,A,的一个,k,阶子式,。,A,的一个,2,阶子式：,9/16/2024,34,定义,4,：矩阵,A,的 最高阶非零子式的阶数,称为,A,的秩,，记作,R,(,A,),。,例,4.,求矩阵,A,和,B,的秩,其中,9/16/2024,35,2,阶子式,3,阶子式,|,A,|=0,3,阶子式,4,阶子式都,= 0,R,(,A,) = 2,R,(,B,) = 3,9/16/2024,36,定理,3,若,A,B,则,R,(,A,) =,R,(,B,) .,事实上，若,A,经过一次初等变换变为,B,，,A,的,k,阶子式全等于零,则,B,的,k,阶子式也全等于零。,9/16/2024,37,性质,1.,若,A,的所有,r,阶子式,(,如果有,),全等于零，,则阶数大于,r,的所有子式全等于零。,若,A,的所有,k,阶子式全等于零,则,R,(,A,) ,k,2.,若,A,有一个,k,阶子式非零,则,R,(,A,),k,3.,若,A,为,m,n,矩阵,则,0,R,(,A,),min,m,n,4.,9/16/2024,38,5.,R,(,PAQ,),R,(,A,),其中,P,Q,为可逆矩阵。,9.,若,则,6.,7.,8.,9/16/2024,39,设,则,故,9/16/2024,40,注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩,至多减少一。,将,C,1,看成一个,n,阶矩阵划去了,n,-,r,1,行,n,-,r,2,列，于是有,9/16/2024,41,3,线性方程组的解,9/16/2024,42,化为行最,简形矩阵,不妨假定,9/16/2024,43,( # ),9/16/2024,44,(1),若 ，则,(#),无解。,(2),若,则,(#),有解，并且,当,时，有唯一解。,时，有无穷多解。,9/16/2024,45,非齐次性线性方程组解的条件,定理,4,：,非齐次线性方程组,有解的充要,当,时，有唯一解；,当,时，有无穷多解。,条件是,，并且,9/16/2024,46,例,10,：求解线性方程组,解：,9/16/2024,47,可知方程组无解。,9/16/2024,48,例,11,：求解线性方程组,解：,9/16/2024,49,9/16/2024,50,得,令,故,9/16/2024,51,9/16/2024,52,齐次性线性方程组解的条件,定理,6,：齐次线性方程组 有非零解的,充,要条件是,9/16/2024,53,例,9,：求解齐次线性方程组,解：,9/16/2024,54,9/16/2024,55,9/16/2024,56,矩阵方程有解的条件,定理,6,：矩阵方程,有解的充,要条件是,9/16/2024,57,定理,9,：矩阵方程,有非零解,充,要条件是,有非零解的,有非零解,9/16/2024,58,线性代数答疑辅导时间,:,每周二,12:20,到,13:20,地点,: (,数学系,),致远楼,102,室,9/16/2024,59,