一元二次方程根的分布(讲课)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一元二次方程根的分布的应用,山东省曹县第一中学 高一数学组,对于函数,y=,f(x,),我们把使,f(x,)=0,的实数,x,叫做函数,y=,f(x,),的零点。,方程,f(x)=0,有实数根,函数,y=,f(x,),的图象与,x,轴有交点,函数,y=,f(x,),有零点,函数零点的定义：,等价关系,一、复习,结论,x,y,0,a,b,.,.,零点存在定理,(1),函数,y=,f(x,),在区间,a,b,上的图象是连续不断的一条曲线：,(2),f(a),f(b,)0,）,的 根的分布,1.,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),两根均为正根（负根）,y,x,1,x,2,o,x,例：,x,2,+,（,m-3)x+m=0,求,m,的范围,（,2,）有两个负根,2.,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,一根为正,另一根为负,x,1,x,2,y,o,x,x,1,x,2,y,o,x,或,af,（,0,）,问题的引入：,1,、若关于,x,的方程 的两,个根都大于,1,，则实数 的取值范围 是,.,2,、关于,x,的方程 的两个,根均大于,- 2,小于,4,，求实数 的取值范围,.,问题的解决：,例,1,、若关于,x,的方程 的两个根都大于,1,，则实数 的取值范围是,.,分析,（,1,）,方程有根，与 有关,.,仅仅靠韦达定理是不够的,.,(2),方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图象,数形结合解决,.,此时与 有 有关，及 有关,.,判别式,端点的函数值,对称轴,如图，函数,的图象决定着：,（,1,）最小值的正负，与判别式有关,;,（,2,）对称轴；,（,3,）函数值 的正负,.,问题的解决：,例,1,、若关于,x,的方程 的两个根都大于,1,，则实数 的取值范围是,.,解：令 ，则,问题的解决：,例,2,、关于,x,的方程 的两个根均大于,- 2,小于,4,，求实数,m,的取值范围,.,解：令 ，则,所以,实数,m,的取值范围是,.,问题的解决：,其实,有那么复杂吗,?,例,2,、关于,x,的方程 的两个根均大于,- 2,小于,4,，求实数,m,的取值范围,.,另解,:,原,方程的两个根分别为,而 ，,所以 ，由此可得,.,所以,实数,m,的取值范围是,.,问题的启示：,学会具体问题具体分析,.,对于这道题而言,后一种办法比较简单,但是要会前一种通法,.,例如,关于,x,的方程,在区间 上有两个不同的解,求实数 的 取值范围,.,用后一种方法解答比较困难,.,两种方法都要会,我们提倡具体问题具体分析,哪一种解法简单就用哪一种,.,问题的根源：方程根的分布问题， 与对应的二次函数图象有关,.,（,1,）,函数的性质决定函数的图象,函数的图象反映函数的性质,.,（,2,）方程有根，与,判别式,有关,.,对应的二次函数图象与 轴有交点,.,（,3,）方程有什么样的根，与,端点的函数值,有关，与二次函数图象的,对称轴,有关,.,仅仅靠韦达定理是不够的,.,注,:,抛物线就象一根电线,函数值（包括最小值）就象铆钉一样,决定着它的走向,.,结论：我们从上面的例子总结一下解决这类问 题的步骤：,1.,根据题意大致画出对应的二次函数的图象,。,2.,列出不等式组,(,一般重点考虑下面四个方面,),判别式 对称轴 端点 开口方向,3.,解不等式组，得出结论。,思路说明,考虑：,a0,的一元二次方程，当二次项,系数小于,0,时，先化为正。,强调：把一元二次方程化为,标准形式,：,ax,2,+bx+c=0 (,a0,),一、若关于,x,的方程,ax,2,+,bx,+ c=0(a0),的两个根都小于,m,，,求,a,b,c,满足的条件。,1,类型一：,二、若关于,x,的方程,ax,2,+,bx,+ c=0(a0),的一个根大于,m,另一个根小,m,求,a,b,c,满足的条件。,类型二：,例,3,、若关于,x,的方程,3kx,2,-2x-4k-2=0,的两根一个小于,1,，另一根大于,1,，,试求实数,k,的取值范围。,1,例,1,、若关于,x,的方程,3kx,2,-2x-4k-2=0,的两根一个小于,1,，另一根大于,1,，,试求实数,k,的取值范围。,1,三、若关于,x,的方程,ax,2,+,bx,+ c=0(a0),的一个根在,(,m,n,),，,另一根在,(,p,q,),，,求,a,b,c,满足的条件。,1,类型三：,例,4,、若关于,x,的方程,3x,2,-5x+a=0,的一根大于,-,2,而小于,0,，另一根大于,1,而小于,3,，试求实数,a,的取值范围。,1,四、若关于,x,的方程,ax,2,+,bx,+ c=0(a0),有且仅有,一个根在,(,m,n,),，,求,a,b,c,满足的条件。,类型四：,五、若关于,x,的方程,ax,2,+,bx,+ c=0(a0),的两个根都在,(m,，,n),内,求,a,b,c,满足的条件。,1,类型五：,例,4,、已知关于,x,的方程,4x,2,-4x+m=0,在,-1,，,1,上,有两个根，求,m,的取值范围。,1,一元二次方程根的分布,（一）与,0,比较,（,1,）有两正根,（,2,）有两负根,（,3,）一正一负,（二）与,k,比较,（,1,）有两个大于,k,的根,（,2,）有两个小于,k,的根,（,3,）一个大于,k,，一个小于,k,（,4,）有一个根在区间,(k,1,k,2,),内,（,5,）区间,(k,1,k,2,),内有两个根,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,（,a0,）,的 根的分布,两个正根,两个负根,一正根,一负根,一根为零,一正一负，且负的绝对值大,C,0,考虑：,判别式、,两根之和、,两根之积,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,（,a0,）,的 根的分布,两个根都小于,k,两个根都大于,k,一个根小于,k,一个根大于,k,y,x,k,o,y,x,k,o,y,x,k,o,f(k,)0,）,的 根的分布,两个根都在（,k,1,k,2,),内,两个根有且仅有一个,在,(k,1,k,2,),内,x,1,k,1,k,2,x,2,y,x,k,2,o,k,1,y,x,k,2,o,k,1,y,x,k,2,o,k,1,考虑：,判别式,、,开口方向、,对称轴、,端点值的正负,1,练习：,x,2,+,（,m-3)x+m=0,求,m,的范围,（,1,） 两个根都小于,1,（,2,） 两个根都大于,（,3,） 一个根大于,1,，一个根小于,1,（,4,） 两个根都在（,0 , 2,）内,（,5,） 两个根有且仅有一个在（,0 , 2,）内,（,6,） 一个根在（,-2,，,0,）内，另一个根在 （,2,，,4,）内,