必修三--2.3.1变量之间的相关关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3变量间的相关关系,基础知识框图表解,变量间关系,函数关系,相关关系,散点图,线性,相关,线,性,回归方程,问题提出和探究,在中学校园里，有这样一种说法：,“,如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.,”,问题：,按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着,一种,相关,关系,，,这种说法有没有根据呢？,上述两个变量之间的关系是,一种非确定性关系,，,我们把这种关系,称之为,相关关系,。,一、变量之间的相关关系,不同点：,函数关系是一种,确定,的关系；而,相关关系是一种,非确定,关系.,问题：,相关关系与函数关系的异同点,？,相同点：,均是指两个变量的关系,课堂练习,判断,下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？,哪些是函数关系？,正方形边长与面积之间的关系；,作文水平与课外阅读量之间的关系；,人的身高与体重之间的关系；,人的身高与视力之间的关系；,商品销售收入与广告支出经费之间的关系；,粮食产量与施肥量之间的关系；,匀速行驶的车辆的行驶距离与时间,在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：,其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？,探究,思考：,对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,为了确定人体脂肪含量和年龄之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.,以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量,，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？,O,45,50,55,60,65,20,25,30,35,40,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为,散点图,.,观察散点图的大致趋势， 两个变量的,散点图,中点,的分布的位置是,从左下角到右上角,的区域，我们称这种相关关系为,正相关,。,O,45,50,55,60,65,20,25,30,35,40,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,O,思考：,如果两个变量成,负相关,，其散点图有什么特点？,结论：,散点图中的点散布在,从左上角到右下角,的区域.,注：,若两个变量散点图呈上图，则不具有相关关系。,例1、,以下是2000年某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：,房屋面积,（平方米）,61,70,115,110,80,135,105,销售价格,（万元）,12.2,15.3,24.8,21.6,18.4,29.2,22,画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.,房屋面积,（平方米）,61,70,115,110,80,135,105,销售价格,（万元）,12.2,15.3,24.8,21.6,18.4,29.2,22,结论：,销售价格与房屋面积这两个变量是,正相关,的.,如果散点图中点的分布,从,整体,上看,大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有,线性相关关系,，这条直线就叫做,回归直线,。,这条回归直线的方程，简称为,回归方程,。,二、回归直线,O,45,50,55,60,65,20,25,30,35,40,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,1.,如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有,函数关系,2.,如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有,相关关系,3.,如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有,线性相关关系,只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系,有关说明,三、如何具体的求出这个回归方程呢？,O,45,50,55,60,65,20,25,30,35,40,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画,“,从整体上看，各点与直线的偏差最小,”,。,如果散点图中点的分布,从,整体,上看,大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有,线性相关关系,，这条直线就叫做,回归直线,。,思考：,对一组具有线性相关关系的样本数据：(x,1,，y,1,)，(x,2,，y,2,)，,，(x,n,，y,n,)，设其回归方程为,可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？,.,方案1,:,先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出,它的斜率和截距，得回归方程。,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,年龄,脂肪含量,0,5,10,15,20,25,30,35,40,如图 ：,.,方案2,:,在图中选两点作直线，使直线两侧的点,的个数基本相同。,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,年龄,脂肪含量,0,5,10,15,20,25,30,35,40,方案3,:,如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图,我们还可以找到,更多的方法，但,这些方法都可行,吗,?,科学吗？,准确吗？怎样的,方法是最好的？,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,年龄,脂肪含量,0,5,10,15,20,25,30,35,40,我们把由一个变量的变化,去推测另一个变量的方法,称为,回归方法。,设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（x,1,，y,1,），（x,2,，y,2,），,，（x,n,，y,n,）,设所求的回归直线方程为 其中,a，b,是待定的系数。当变量x取x,1,，x,2,，,，x,n,时，可以得到,（i=1，2，,，n）,它与实际收集得到的 之间偏差是,（i=1，2，,，n）,探索过程如下：,这样，用这n个偏差的和来刻画,“,各点与此直线的整体偏差,”,是比较合适的。,(x,1,， y,1,),(x,2,，y,2,),(x,i,，y,i,),(x,n,，y,n,),根据有关数学原理分析，当,时，总体偏差 为最小，这样,就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做,最小二乘法,.,（其中，b是回归方程的斜率，a是截距）,0.577,65-0.448= 37.1,利用,计算器或计算机,可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为,由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的,回归值,.若某人65岁，则其体内脂肪含量的百分比,约,为多少？,能不能说他体内脂肪含量一定是37.1？,若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在37.1（0.577,65-0.448= 37.1）附近的可能性比较大。但不能说他体内脂肪含量一定是37.1,原因,：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本,估计的,，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于x，预报值,能等于实际值y,例,:,有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：,1、画出散点图；,2、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；,3、求回归方程；,4、如果某天的气温是2摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。,1、散点图,2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。,3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式1求出回归方程的系数。Y= -2.352x+147.767,4、当x=2时，Y=143.063 因此，某天的气温为2摄氏度时，这天大约可以卖出143杯热饮。,例2、（07广东）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量,x,(吨)与相应的生产能耗,y,(吨标准煤)的几组对应数据.,X,3,4,5,6,y,2.5,3,4,4.5,（1）请画出上表数据的散点图；,（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程,y,= ;,（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？,（参考数值：3,2.5+4,3+5,4+6,4.566.5）,所求的回归方程为,（2）,解：,（3）,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降,低 (吨),本节重点知识回顾,1、相关关系,（1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。,（2）相关关系与函数关系的异同点。,相同点：两者均是指两个变量间的关系。,不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴随关系）。,（3）相关关系的分析方向。,在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断。,2、两个变量的线性相关,（1）回归分析,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。,（2）散点图,A、定义；B、正相关、负相关。,3、回归直线方程,注,:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则这两个变量之间不具有相关关系.,3、回归直线方程,（1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。,（2）最小二乘法,(3)利用回归直线对总体进行估计,练习2-1、 观察两相关量得如下数据:,x,-1,-2,-3,-4,-5,5,3,4,2,1,y,-9,-7,-5,-3,-1,1,5,3,7,9,求两变量间的回归方程.,解：列表：,i,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,x,-1,-2,-3,-4,-5,5,3,4,2,1,y,-9,-7,-5,-3,-1,1,5,3,7,9,x,iyi,9,14,15,12,5,5,15,12,14,9,计算得：,所求回归直线方程为,注意：求回归直线方程的步骤：,第一步：列表,第二步：计算：,第三步：代入公式计算b，a的值,第四步：列出直线方程。,练习2-2、:,给出施化肥量对水稻产量,影响的试验数据：,施化肥量x,15,20,25,30,35,40,45,水稻产量y,330,345,365,405,445,450,455,(1)画出上表的散点图;,(2)求出回归直线并且画出图形.,从而得回归直线方程是,解：(1)散点图（略）,(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格,20475,18000,15575,12150,9125,6900,4950,x,i,y,i,455,450,445,405,365,345,330,y,i,45,40,35,30,25,20,15,x,i,7,6,5,4,3,2,1,i,(图形略),故可得到,4、利用回归直线方程对总体进行估计,练习2-3、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握,钢水含碳量和,冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量X与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：,x（0.01%）,104,180,190,177,147,134,150,191,204,121,Y（min）,100,200,210,185,155,135,170,205,235,125,（1）作出散点图，找规律。,（2）求回归直线方程。,（3）预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？,画图,3,解,: (1),作散点图,从图可以看出,各点分布在一条直线附近,即它们线形相关.,(2)列出下表,并计算,i,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,x,i,104,180,190,177,147,134,150,191,204,121,y,i,100,200,210,185,155,135,170,205,235,125,x,iyi,10400,36000,39900,32745,22785,18090,25500,39155,47940,15125,设所求的回归直线方程为,其中a,b的值使,的值最小.,所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51,(3)当x=160时, 1.267.160-30.51=172,归纳：,1.,求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：,第一步，计算平均数 ,第二步，求和 , (列表）,第三步，计算,第四步，写出回归方程,2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.,3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得,“,回归方程,”,，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的,“,回归方程,”,是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.,整体上最接近,方案一：,采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。,三、如何具体的求出这个回归方程呢？,O,45,50,55,60,65,20,25,30,35,40,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,方案二:,在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。,三、如何具体的求出这个回归方程呢？,O,45,50,55,60,65,20,25,30,35,40,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,方案三:,在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。,三、如何具体的求出这个回归方程呢？,O,45,50,55,60,65,20,25,30,35,40,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫,最小二乘法,。（参看如书P88-P89）,O,45,50,55,60,65,20,25,30,35,40,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,