1.2.2组合(第二课时)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,.2.2,组合,第二课时,复习巩固：,1,、组合定义,:,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素,并成一组,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）,个元素的所有组合的个数，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,组合数,，用符号,表示,.,2,、组合数,:,3,、组合数公式,:,注,:1,公式特征：下标相同而上标差,1,的两个组合数之和，等于下标比原下标多,1,而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数,2,此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用,例,4,：在,100,件产品中有,98,件合格品，,2,件次品。产品检验时,从,100,件产品中任意抽出,3,件。,(1),一共有多少种不同的抽法,?,(2),抽出的,3,件中恰好有,1,件是次品的抽法有多少种,?,(3),抽出的,3,件中至少有,1,件是次品的抽法有多少种,?,(4),抽出的,3,件中至多有一件是次品的抽法有多少种？,说明：,“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,变式练习,按下列条件，从,12,人中选出,5,人，有多少种不同选法？,（,1,）甲、乙、丙三人必须当选；,（,2,）甲、乙、丙三人不能当选；,（,3,）甲必须当选，乙、丙不能当选；,（,4,）甲、乙、丙三人只有一人当选；,（,5,）甲、乙、丙三人至多,2,人当选；,（,6,）甲、乙、丙三人至少,1,人当选；,组合应用题,组合（二）,（,3,）从我们班的,33,位男、,23,位女同学中各选出,2,人分别去参加四项活动,则不同的分配方案有多少种,?,例,(1),从我们班的,56,位同学中选出,4,人去参加一项活动,则不同的分配方案有多少种,?,(2),从我们班的,56,位同学中选出,4,人分别去参加四项活动,则不同的分配方案有多少种,?,任务分配问题,:,复习,:,排列,先取,再排,组合,只取,不排,1.,排列,与,组合,的区别,:,2.,排列,与,组合,的联系,:,组合是排列的一个步骤之一,;,排列的本质是先组合后排列,(,全排列,).,3.,排列数,与,组合数,公式,:,例,1.,在产品检验中，常从产品中抽出一部分,进行检查,.,现有,100,件产品，其中,3,件次品，,97,件,正品,.,要抽出,5,件,进行检查，根据下列各种要求，,各有多少种不同的抽法？,(1),无任何限制条件；,(2),全是正品；,(3),只有,2,件正品；,(4),至少有,1,件次品；,(5),至多有,2,件次品；,(6),次品最多,.,解答：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,，或,（,5,）,（,6,）,反思,：,“,至少,”“,至多,”,的问题，,通常用分类法 或间接法求解。,练习,1,、,在,100,件产品中有,98,件合格品，,2,件次品。产品检验时,从,100,件产品中任意抽出,3,件。,(1),一共有多少种不同的抽法,?,(2),抽出的,3,件中恰好有,1,件是次品的抽法有多少种,?,(3),抽出的,3,件中至少有,1,件是次品的抽法有多少种,?,例,2,在,MON,的边,OM,上有,5,个异于,O,点的点,ON,上有,4,个异于,O,点的点,以这十个点,(,含,O,),为顶点,可以得到多少个三角形,?,N,O,M,A,B,C,D,E,F,G,H,I,变式,1:,将,3,封信全部投入,2,个邮筒中，每个邮筒至少投一封,有多少种不同的投法？,方法一,:,从,3,封信中选,2,封分别投入到,2,个信箱中去,再将剩余的一封从,2,个邮筒中选一个投进去,.,甲,乙,a,b,a,c,b,a,c,a,b,c,c,b,c,a,b,c,c,b,a,c,b,a,c,b,b,c,a,b,a,b,c,a,a,c,b,a,方法二,:,先从,3,封信中选,2,封作为一组、另外一封作为,一组,再将两组信分别投到两个邮筒中。,甲乙,丙,甲丙,乙,乙丙,甲,丙,甲乙,乙,甲丙,甲,乙丙,A,B,解题感悟：,任务分配问题,先分组后排列,分组问题,:,1.,不均匀分组,:,把,n,个不同元素分成,a,b,c,不均匀,三组的分,法共有 种,.,2.,均匀分组,:,把,n,个不同元素分成,m,m,m,均匀,(,平均分,),三,组的分法共有 种,.,任务分配问题,:,往往采用 “,先分组,后分配,(,即 后排列,) ”,例,3,6,本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：,（,1,）分给甲、乙、丙三人，每人,2,本；,解：,（,1,）根据分步计数原理得到：,种,例,3,6,本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：,(2),分为三份，每份,2,本；,解析：,(2),分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种,方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每,份两本，设有,x,种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、,丙三名同学有 种方法根据分步计数原理,所以,可得：,因此，分为三份，每份两本一共有,15,种方法,所以,点评：,本题是分组中的,“,平均分组,”,问题,一般地：将,mn,个元素均匀分成,n,组（每组,m,个元素）,共有,种方法,例,3,6,本不同的书，按下列要求各有多少种不同,的选法：,（,3,）分为三份，一份,1,本，一份,2,本，一份,3,本；,（,4,）分给甲、乙、丙三人，一人,1,本，一人,2,本，,一人,3,本；,解：,（,3,）这是,“,不均匀分组,”,问题，一共有,种方法,（,4,）在（,3,）的基础上再进行全排列，所以一共有,种方法,例,3,6,本不同的书，按下列要求各有多少种不同,的选法：,（,5,）分给甲、乙、丙三人，每人至少,1,本,解：,（,5,）可以分为三类情况：,“,2,、,2,、,2,型,”,的分配情况，有,种方法；,“,1,、,2,、,3,型,”,的分配情况，有,种方法；,“,1,、,1,、,4,型,”,，有,种方法，,所以，一共有,90+360+90,540,种方法,第一类,:,每组,2,人,共有,种,;,第二类,:,一组,1,人,一组,2,人,一组,3,人 共有,种,;,第三类,:,有两组各,1,人,有一组,4,人 共有,种,;,思考,:,把,6,个人分成,3,组,共有多少种分法,?,元素相同问题隔板策略,例,4.,有,10,个运动员名额，再分给,7,个班，每,班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为,10,个名额没有差别，把它们排成,一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，,可把名额分成份，对应地分给个,班级，每一种插板方法对应一种分法,共有,_,种分法。,一班,二班,三班,四班,五班,六班,七班,将,n,个相同的元素分成,m,份（,n,，,m,为正整数）,每份至少一个元素,可以用,m-1,块隔板，插入,n,个元素排成一排的,n-1,个空隙中，所有分法数为,练习、,（,1,）,10,个优秀指标分配给,6,个班级，每个班级至少,一个，共有多少种不同的分配方法？,（,2,）,10,个优秀指标分配到,1,、,2,、,3,三个班，若名,额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？,分析,：,（,1,）这是同种元素的,“,不平均分组,”,问题,.,本小题可,构造数学模型 ，用,5,个隔板插入,10,个指标中的,9,个空隙，,即有,种方法。按照第一个隔板前的指标数为,1,班的,指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为,2,班的指,标，以此类推，因此共有,种分法,.,（,2,）先拿,3,个指标分给二班,1,个，三班,2,个，,然后，问题转化为,7,个优秀指标分给三个班，,每班至少一个,.,由（,1,）可知共有,种分法,注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的,4,个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有,种分法,.,例,5,（,1,）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共,有多少种不同的放法？,（,2,）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空,盒的放法有多少种？,解：,（,1,）根据分步计数原理：一共有 种方法；,（,2,）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个,“,捆绑,”,在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从,四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以，,一共有 ,144,种方法,应用举例,例,1,将,6,本不同的书按下列要求分发，求各有多少种不同的方法：,（,1,）按,1,，,2,，,3,的本数分成,3,组； （,2,）按,1,，,2,，,3,的本数分发给,3,个人；,（,3,）平均分发给,3,个人； （,4,）平均分成,3,组；,（,5,）按,1,，,1,，,4,的本数分成,3,组； （,6,）按,1,，,1,，,4,的本数分发给,3,个人,.,60,360,90,15,15,90,例,2,将,3,名医生和,6,名护士分配到,3,所学校为学生体检，每所学校去,1,名医生和,2,名护士，求共有多少种不同的分配方案？,540,例,3,从某,4,名男生和,5,名女生中任选,5,人参加某项社会实践活动，要求至多选,4,名女生，且男生甲和女生乙不同时入选，求共有多少种不同的选法？,90,例,5,将,8,名工程技术人员平均分到甲、乙两个企业作技术指导，其中某,2,名工程设计人员不能分到同一个企业，某,3,名电脑编程人员也不能分到同一个企业，求共有多少种不同的分配方案？,例,6,将,20,个大小相同的小球放入编号为,1,，,2,，,3,的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，求共有多少种不同的放法？,36,120,例,4,马路上有编号为,1,，,2,，,3,，,，,10,的十盏路,灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中,3,盏灯,关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在,两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的,关灯方法？,解：,（插空法）本题等价于在,7,只亮着的路灯之间,的,6,个空档中插入,3,只熄掉的灯，故所求方法总数,为,种方法,例,5,一生产过程有,4,道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等,6,名工人中安排,4,人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排,1,人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排,1,人，则不同的安排方案共有（ ）,A,24,种,B,36,种,C,48 D,72,种,B,例,6,甲、乙、丙,3,位志愿者安排在周一至周五的,5,天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ）,A. 20,种,B. 30,种,C. 40,种,D. 60,种,A,例,7,、在如图,7x4,的方格纸上（每小方格均为正方形）,（,1,）其中有多少个矩形？,（,2,）从,A,出发，只能向右或者向下走，到,B,有多少走法？,课堂练习：,A,B,1,按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；,2,对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；,3,对于含,“,至多,”,、,“,至少,”,的问题，宜用排除法或分类解决；,4,按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题,.,课堂小结,5.,需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将,3,个人分成,3,组，每组一个人，显然只有,1,种分法，而不是 种,一般地，将,m,、,n,个不同元素均匀分成,n,组，有,种分法；,1.,排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：,选派问题,、,抽样问题,、,图形问题,、,集合问题,、,分组问题,，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步,.,2.,理解组合数的性质,3.,解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）,.,思悟小结,