4刚体的平面运动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,运 动 学,刚体的平面运动,平面基本力系,车轮的运动,刚体平面运动的概述,曲柄连杆机构,刚体平面运动的概述,行星齿轮机构,刚体平面运动的概述,一平面运动的定义,在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变具有这种特点的运动称为刚体的平面运动,刚体平面运动的概述,刚体的平面运动可以简化为平面图形,S,在其自身平面内的运动,二平面运动的简化,刚体上任一点都在与该固定平面平行的平面内运动,刚体平面运动的概述,平面图形,S,在始终在其自身平面内运动,平面图形,S,的位置可用其上任一线段如,AB,来确定，,而线段,AB,的位置又可用,A,点的坐标,x,A,、,y,A,和线段,AB,与,x,轴的夹角,来确定。,点,A,称为,基点,。,平面图形位置的确定,刚体平面运动方程,刚体平面运动方程,当平面图形,S,运动时，坐标,x,A,、,y,A,和夹角,一般都是随时间,t,而变化的，分别为时间,t,的单值连续函数，即,这就是平面图形,S,的,运动方程，也就是,刚体平面运动的运动方程,。,刚体平面运动的分解,在左面的图中，如果平面图形,S,上的,A,点固定不动，则刚体将作定轴转动。,又若在左面的图中，如果平面图形,S,上的,角保持不变，则刚体作平移。,故由此可知,刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。,车轮的平面运动可以看成是车轮,随同车厢,的平动和,相对车厢,的转动的合成,相对运动,:,车轮相对车厢（动系,Ax,y,）的转动,绝对运动,:,车轮对于静系的平面运动,牵连运动,:,车厢（动系,Ax,y,),相对静系的平动,动系上的原点称为,基点,刚体平面运动的概述,车轮的平面运动,随基点,A,的平动,绕基点,A,的转动,刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动,刚体平面运动的概述,平面运动,平移,(,牵连运动,),转动,(,相对运动,),刚体的平面运动可分解为随同基点的平移和相对基点的转动。,曲柄连杆机构,刚体平面运动的概述,刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。,以,A,为基点,:,随基点,A,平动到,A,B,后,绕基点转,角到,A,B,以,B,为基点,:,随基点,B,平动到,A,B,后,绕基点转 角到,A,B,AB,A,B, ,A,B,刚体平面运动的概述,刚体平面运动简化与分解,平面运动分解,特别强调,1.,刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转,动时，,基点的选择是任意的,。,平移的轨迹、各点的,速度,和,加速度,都与基点的位置有关。,转动的,角速度,和,角加速度,都与基点的位置无关。,注意上面二条的含义是指,:,2.,刚体的平面运动分解成平动和转动时，其平动部分与基点的,选择有关；而,转动部分与基点的选择无关,。,y,x,O,S,平面运动的速度分析,y,x,v,BA,v,A,v,A,B,A,1.,基点法,设在平面运动刚体上取点,A,为基点，已知其速度为,v,A,，平面图形,S,也即平面运动刚体的角速度为,，分析图形上任一点,B,的,速度,。,将,B,点的运动视为点的合成运动。,绝对运动, 未知。,相对运动,绕基点,A,的圆周运动。,v,r,=,v,BA,= AB,牵连运动,随基点,A,的平动，,v,e,=,v,A,。,动点,B,点,。,定系,固连于地面。,动系,以,A,点为原点的平移系,Ax,y,。,v,A,基 点 法,基点法,:,平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和,.,y,x,O,S,y,x,v,BA,v,A,v,A,B,A,平面运动的速度分析,v,B,v,a,=,v,B,，,v,e,=,v,A,，,v,r,=,v,BA,v,B,=,v,A,+,v,BA,根据速度合成定理,注意到,则有,有 结 论,：,应用速度合成定理,v,B,=,v,A,+,v,BA,上式等号两侧 分别向,AB,连线上投影,，,因为,v,BA,垂直于,AB,，,所以,v,BA,在,AB,上投影等于零。,速度投影定理：,平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,则有,S,B,v,A,v,A,v,BA,v,B,A,平面运动的速度分析,速度投影法,2,.,速度投影法,例,1,已知：曲柄连杆机构,OA=AB=l,取柄,OA,以匀 转动。 求：当,=45,时,滑块,B,的速度及,AB,杆的角速度,根据速度投影定理,不能求出,速度投影法,解：,机构中,OA,作定轴转动,AB,作平面运,动,滑块,B,作平动,。,基点法,研究,AB,，以,A,为基点,做点速度平行四边形,例,2,如图所示的行星轮系中，大齿轮,固定，半径为,r,1,，行星齿轮,沿轮,只滚而不滑动，半径为,r,2,。系杆,OA,角速度为。求：轮,的角速度,及其上,B,，,C,两点的速度。,24,、,解,: 1,、轮,作平面运动 基点：,A,例,3,椭圆规尺的,A,端以速度,v,A,沿,x,轴的负向运动，如图所示，,AB=l,。求：,B,端的速度以及尺,AB,的角速度。,解：,AB,作平面运动，以,A,为基点,例,如图已知轮心以,v,O,匀速直线运动，且纯滚动。杆的,DE,长为,2,R,。,试求在这瞬时杆,DE,的角速度。,例题,4-3,A,B,C,DE,O,x,D,v,O,O,E,R,2,R,解,：,先求,B,点的速度。,以,O,点为基点分析,B,点的速度，有,A,B,C,DE,O,x,D,v,O,O,E,R,v,BO,v,O,v,B,2,R,考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有,O,1,C,O,M,x,y,r,x,O,另外，又以,B,作为基点分析,D,点的速度，有,也可以用投影法，有,A,B,C,DE,O,x,D,v,O,O,E,R,v,BO,v,O,v,B,v,DB,v,B,v,D,2,R,是否存在速度为零的点？,基点法,速度投影定理,优点：既能求速度，也能求,。,缺点,:,计算比较繁琐。,优点：计算简便，快捷。,缺点,:,无法求出图形的角速度,。,求刚体平面运动速度的瞬心法,如何解释,这种现象？,求刚体平面运动速度的瞬心法,离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而,离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。,只要,，,每一瞬时平面图形上都,唯一存在,一个速度为零的点。,证明,:,（,1,）存在性,选,A,为基点，则 上任一点,M,的速度,因此，在,AL,上存在一点,P,，其速度为零。,定理,求刚体平面运动速度的瞬心法,一、定义,某一瞬时平面图形上速度等于零的点称为图形在,该瞬时的瞬时速度中心，简称,速度瞬心,（,instantaneous center of velocity),。,（,2,）唯一性,(,反证法）,定义,求刚体平面运动速度的瞬心法,方向：,选取速度瞬心,P,为基点,由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心,位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。,大小：,BP,，指向与 转向相一致,速度瞬心法,求刚体平面运动速度的瞬心法,过速度瞬心,P,的任一直线上各点的速度分布有何,特点,？,就,速度分布,而言,，平面图形的运动可视为,绕该瞬时的速度瞬心作瞬时定轴转动,。（,P160,图,6-4,）,思考,求刚体平面运动速度的瞬心法,1.,已知平面图形上一点,A,的速度,和图形角速度,。,2.,已知平面图形上任意两点,A,、,B,的速度方向,。,求刚体平面运动速度的瞬心法,二 平面图形上瞬心的确定,3.,已知平面图形沿固定面纯滚动,速度瞬心,P,：,平面图形与固定面的接触点,。,轮缘上各点相继与固定面接触成为不同瞬时的速度瞬心,求刚体平面运动速度的瞬心法,特例,1,两垂线共线。,特例,2,两垂线平行,图形作瞬时平移,P,瞬心外分,AB,连线,瞬心内分,AB,连线,求刚体平面运动速度的瞬心法,例,1,沿直线,轨道,作纯滚动的车轮,已知,:,车轮半径为,R,， 轮心,O,点的速度为 。,求,:,轮缘上点,B,、,C,、,D,的速度。,解：,车轮作平面运动。,接触点,A,为,速度瞬心,。,车轮的角速度为,（,1,）,计算简便,（,2,）,速度分布直观,瞬心法,现在，你能解释这种现象了吗？,离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而,离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。,找出下列平面运动刚体（,AB,）的速度瞬心。,B,A,O,（,2,）,B,A,O,1,O,2,（,1,）,练习题,平面运动的速度分析,B,A,O,v,A,（,4,）,B,A,O,v,O,（,3,）,平面运动的速度分析,找出下列平面运动刚体,AB,的速度瞬心。,练习题,例,2,曲柄,滑块机构,已知,:,曲柄,OA,以匀角速度 转动。,， 。,求,:,当,=60,，,90 ,时，滑块,B,的速度及连杆,AB,的角速度。,解：,研究连杆,AB,，,P,为,瞬心,。,（,2,）当,=90,时，滑块,B,的速度及连杆,AB,的角速度为多少？,该瞬时，连杆,AB,的,速度瞬心,P,在无穷远处，,。,AB,上各点的速度相等。,该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作,平移时的一样图形在该瞬时的运动称为,瞬时平移,。,瞬时性：,不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有,加速度。,速度瞬心的特点,平面运动的速度分析,速度,瞬心特点,唯一性,：,某一瞬时只有一个速度瞬心；,瞬时转动特性：,平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。,注意瞬时平移与平移的区别：,瞬时平移各点的速度相同， 但是加速度不同。,例矿石轧碎机的活动夹板,AB,长,600mm,，由曲柄,OE,借连杆组带动，使它绕,A,轴摆动，如图所示。曲柄,OE,长,100 mm,，角速度为,10rad/s,。连杆组由杆,BG,，,GD,和,GE,组成，杆,BG,和,GD,各长,500mm,。,求：当机构在图示位置时，夹板,AB,的角速度。,解,: 1,、杆,DE,作平面运动，瞬心为,C,1,。,2,、杆,BG,作平面运动，瞬心 为,C,。,平面运动的加速度分析,取,A,为基点，,B,为动点，将平动坐标系固结于,A,点，则,B,点的相对运动为圆周运动，牵连运动为平动,由,牵连运动平动,时加速度合成定理,基点法,(,加速度合成法,),求平面图形内各点的加速度,已知：图形,S,内一点,A,的加速度 和图形,的,（某一瞬时）。,求： 该瞬时图形上任一点,B,的加速度。,其中：，方向,AB,，指向与,一致；,，方向沿,AB,，指向,A,点。,即,平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和,。这种求解加速度的方法称为,基点法,。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。,求平面图形内各点的加速度,大小 ？,w,2,方向 ？, ,故应先求出,（）,解：轮,O,作平面运动，,P,为速度瞬心，,（）,例,1,半径为,R,的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心,O,点的速度,及加速度,求车轮与轨道接触点,P,的加速度,分析,由此看出，,速度瞬心,P,的加速度并不等于零,，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心,P,的加速度指向轮心,（ 与 等值反向） 即,以,O,为基点，有,做出加速度矢量图,例,曲柄滑块机构，,OA,r,，,AB,l,，,曲柄以匀角速度,0,绕,O,轴转动。求：图示瞬时，滑块,B,的加速度,a,B,和连杆,AB,的角加速度,AB,。,0,90,o,30,o,O,B,A,例题,4-11,0,90,o,30,o,O,B,A,v,A,v,B,解：,应用速度分析的多种方法可求得连杆,AB,的角速度,AB,，此处视为已知。,连杆,AB,作平面运动。,1.,速度分析,0,90,o,30,o,O,B,A,a,B,2,加速度分析,a,A,a,A,a,n,BA,a,t,BA,A,点的加速度,:,选点,A,为基点，则滑块,B,的加速度,其中，,连杆的角加速度,AB,尚属未知。暂时假定,AB,沿逆钟向，故 如图所示。,各加速度如图所示。,滑块,B,的加速度,a,B,的方向为水平并假定向左，大小待求。,0,90,o,30,o,O,B,A,a,B,a,A,a,A,a,n,BA,a,t,BA,2.,加速度分析,其中，,分别沿,BA,和,AB,的方向投影上式，得,由此求得滑块,B,的加速度,连杆,AB,的角加速度,（逆时针）,例,如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄,OD,以匀角速度,绕,O,轴转动，,OD,=,AD,=,BD,=,l,，,求当 时，规尺,AB,的角加速度和,A,点的加速度。,y,O,B,A,x,D,例题,4-13,y,O,B,A,x,D,曲柄,OD,绕,O,轴转动，规尺,AB,作平面运动。,AB,上的,D,点加速度 ，,设规尺,AB,的角速度为,AB,，可由基点法或瞬心法求得,a,D,解,：,其中 的大小 ， 方向沿,AB,。,a,t,AD,大小未知，垂直于,AD,，其方向暂设如图。因为,A,点作直线运动，可设,a,A,的方向如图所示。,取,AB,上的,D,点为基点，,A,点的加速度,a,D,a,A,则,y,O,B,A,x,D,a,D,a,D,a,A,将上式在,y,轴上投影，得,由上式解得,y,x,规尺,AB,角加速度,由于,a,A,为负值，故,a,A,的实际方向与原假设的方向相反,。,对式,将上式在,x,轴上投影，得,例,3,曲柄滚轮机构 滚子半径,R,=15cm,n,=60 rpm,求：当,=60,时,(,OA,AB,),滚轮的,，,解,：,OA,定轴转动,A,B,杆和轮,B,作平面运动,研究,AB,：,（）,P,为其速度瞬心,分析,:,要想求出滚轮的,先要求出,v,B,a,B,P,2,P,1,v,B,P,2,为轮速度瞬心,取,A,为基点，,指向,O,点,大小 ？,？,方向, ,作加速度矢量图，将上式向,BA,线上投影,）,(,）,(,研究轮,B,：,P,2,为其速度瞬心,解：,(,a,),AB,作平动，,例,2,已知,O,1,A,=,O,2,B,图示瞬时,O,1,A,/,O,2,B,试问,(,a,),(,b,),两种情况下,1,和,2,，,1,和,2,是否相等？,(,a,),(,b,),1,1,2,2,(,b,),AB,作平面运动,图示瞬时作瞬时平移,此时,向,AB,连线投影,1,2,