复变函数5.3解析函数在无穷远点的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.3,解析函数在无穷远点的性质,一、,点为孤立奇点的定义及分类,二、,点为孤立奇点的性质,定义,5.4,设函数,f,(,z,),在无穷远点,(,去心,),邻域,N,-,:+|,z,|0,内解析,则称点,为,f,(,z,),的一个孤立奇点,.,设点,为,f,(,z,),的孤立奇点,利用变换,z,/,=1/,z,在去心邻域,:,(5.12),5.3,解析函数在无穷远点的性质,于是,(1),对于扩充,z,平面上无穷远点的去心,邻域,N-,有扩充,z,平面上的原点的去心邻域,;,(2),在对应点,z,与,z,平面,上,函数,(3),或两个极限都不存在,.,定义,5.5,若,z,/,=0,为,的可去奇点,(,解析点,),m,阶极点或本性奇点,则我们相应地称,z,=,为,f,(,z,),的可去奇点,(,解析点,),m,阶极点或本性奇点,.,设在去心邻域,K,-0:0|,z,|1/,r,内将,展成罗朗阶数,:,令,z,=1/,z,根据,(5.12),则有,其中,(5.13),(5.13),为,f,(,z,),在无穷远点去心邻域,N-,:,0r|,z,|+,内的罗朗展式,.,对应,在,z,=0,的,主要部分,我们称,为,f,(,z,),在,z,=,的主要部分,.,(1),f,(,z,),在,z,=,的主要部分为,(3),f,(,z,),在,z,=,的某去心邻域,N-,内有界,.,定理,5.3,(,对应于定理,5.3),f,(,z,),的孤立奇点,z,=,为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立,:,(1),f,(,z,),在,z=,的 主要部分为零,定理,5.4,(,对应于定理,5.4),f,(,z,),的孤立奇点,z,=,为,m,阶极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立,:,定理,5.5,(,对应于定理,5.5),f,(,z,),的孤立奇点,为极点的充要条件是,定理,5.6,(,对应于定理,5.6),f,(,z,),的孤立奇点,为本性奇点的充要条件是下列任何一条成,立,:,(1),f,(,z,),在,z,=,的主要部分有无穷多项正幂,(2),f,(,z,),在,z,=,的某去心邻域,N-,内能,表成,其中 在,z,=,的邻域,N,内解析,且,(3)g(,z,)=1/,f,(,z,),以,z,=,为,m,阶零点,(,只要令,g(,)=0).,不等于零,;,(2),广义不存在,(,即当,z,趋向于,时,f,(,z,),不趋向于任何,(,有限或无穷,),极限,).,例,5.11,例,5.12,将多值函数,的在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗阶数,例,5.14,求出函数,的全部奇点,并判断其类型,(,含点,),例,5.15,问函数,在,z,1,的区新邻域内能否展开为洛朗阶数,例,5.16,设,f,(z,),在,0|,z,-,a|R,内解析，且不恒为零；又若,f,(z,),有一列异于,a,但却以,a,为聚点的零点。试证,a,必为,f,(,z,),的本性奇点,