粘性流体力学4边界层理论

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,北京航空航天大学,北京航空航天大学,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,粘性流体力学,阎 超,第四章 边界层理论,概述,边界层方程,边界层分离,边界层方程的近似解,边界层的控制与减阻,专题讨论,定义,粘性很小的流体以大雷诺数运动时，在大部分流场上可以略去粘性作用，但在物面附近的很薄一层的流体内必须考虑粘性的作用。这一个薄层流体，称为,边界层,。,概述,概述,Prandtl (1904),首先提出了边界层概念，边界层被称为,:Mile stone of the Modern Fluid Mechanics,。,Mr.Prandtl,创立边界层理论后，在建立阻力计算方法、研究阻力物理图形方面都取得了很大成绩。,reading,划分,紧贴壁面非常薄的一层，该层内速度梯度很大，这一薄层称为,边界层,。,边界层以外的流动区域，称为,主体区或外流区,。该区域内流动速度梯度很小，即粘性应力很小，故这一区域的流体流动可近似看成是理想流体流动。,概述,概述,边界层的形成和发展,平板边界层,流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在,Re,c,=2,10,5,3,10,6,概述,圆管内边界层,层流时,Le/d=0.05Re,，,Re=,ubd/,；,湍流时,Le=40,50d,概念,边界层概念溯源,矛盾,十九世纪末，流体力学的研究工作有两个互不沟通的方向：一是理论流体力学（亦称水动力学），用数学方法研究流体对固体物的绕流，当时已达到较高的水平。但计算结果往往与实验结果不一致。例如圆柱体绕流，计算结果是没有阻力，但实验表明有阻力。于是，在流体力学史上留下了达朗倍尔疑题(,d,Alembert,s Paradox)；,二是水力学，主要是用实验方法进行研究，将实验结果归纳成经验公式或半经验公式应用于工程实际，但缺乏理论基础。,概念,理论流体力学的计算结果与实验结果不一致的原因是在运动方程中没有将流体的粘性考虑进去。计及流体粘性而由,Navier,与,Stokes,分别于1821及1845年建立起来的,Navier-Stokes,方程，又因过于复杂而不可能求解。所以，流体力学的发展遇到了困难。一方面是无粘流理论解决不了实际问题，另一方面是粘流理论无法求解（蠕流有解，但没有实用价值）。边界层概念提出来以后，把这两方面的困难都解决了。,概念,解决,德国空气动力学家普朗特(,Ludwig Prandtl),在汉诺威大学执教时，用水槽对流动现象进行了大量的观察研究。他发现，在大雷诺数前提下，粘性系数很小的流体在大部分流场上的流谱与无粘流的流谱是一致的，差别主要在物面附近。因此，他提出了,“,边界层,”,概念，即：将大雷诺数下的流场分或两部分处理。在,“,边界层,”,以外，仍用无粘流理论来处理问题，而在边界层之内则考虑流体的粘性。,概念,意义,理论方面,由于边界层很薄，粘流的运动方程在边界层内可以大大简化，以至于可以得到一些有用的解析解。,边界层概念提出来以后，既挽救了无粘流理论，使其在大部分流场上可以应用，也挽救了粘流理论，使其得以求得解答。,工程应用方面,尤其是在航空工程中，小粘性、大雷诺数的流动问题是非常多的，完全可以用边界层理论来解决。这样，边界层概念对流体力学的发展起了很大的作用。,当然，现在已经进入了二十一世纪，计算技术与计算机发展得很快，人们已经可以用数值法直接求解,N-S,方程。但在研究物理现象时，边界层概念仍然是很有用的。,概念,边界层概念是,Prandtl,于1904年在德国海德堡召开的第三届国际数学大会上宣读的论文中正式提出的，论文题目是,“,论粘性很小的流体运动,”,（,ber Fl,ssigkeits bewegung bei sehr kleiner Reibung）。,参加此次大会的,G,ttingen,大学数学系主任克莱因（,F.Klein）,教授称赞,Prandtl,的文章是本届大会的最优秀论文，并邀请,Prandtl,到,G,ttingen,大学去组建应用力学系。此后，,Prandtl,就一直在,G,ttingen,工作，直到1953年去世。他研究边界层时用过的水槽原件，现在作为文物陈列在法兰克福的德国国家博物馆内。,在近代流体力学史上，没有一种别的理论能像边界层理论一样产生了因此巨大而深远的影响。,reading,概念,边界层举例,机翼跨声速绕流,M=0.85,无粘,粘性,概念,翼型上的速度分布,物体表面上,流动速度为0，离开表面很小的距离，速度就有很快的增长，因此，边界层内速度梯度很大，粘性作用强烈。,边界层,速度就和自由流速差不多，速度梯度很小，可以忽略粘性作用。,边界层,位流区,边界层方程,推导,设直匀流,V,平行流过一长度为,l,的平板，坐标系如图：,当某个,y,处的速度为层外自由流速(,V),的99%时，该点到物体表面的距离称为,边界层在该点的厚度,，记为,。显然,是,x,的函数，,(,x),。,设边界层很薄：,(,x),l,此时的二维不可压,N-S,方程为,边界层方程,量级分析,取,V,和,l,为特征速度和特征长度，所以,x,l,（,这里,表示两端有相同的量级），,y ，x,方向的速度,uV,连续方程中各项量级应相等：,所以：,边界层方程,根据,NS,方程，可以假设非定常项与惯性项同量级，可推知局部速度发生变化的时间量级为,l,/V,于是：,根据,NS,方程，压力项总是与惯性项同量级；根据边界层定义，层内粘性力与惯性力具有同一量级 ，即分别有：,便可以得到：,所以为使,l，,必须使,Re1，,这时边界层方程才成立,。,边界层方程,根据上述量纲估计，引入如下无量纲量：,这些无量纲量及其导数都是同一量级，将他们带入二维不可压,NS,方程，整理后，可得：,边界层方程,由上述知，边界层方程成立的条件是必须使,Re1，,所以忽略去上方程中1/,Re,以上的小量，并将有量纲带回，则有边界层方程,这表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是,x,的函数:,p=pe(x) ,下标,e,表示边界层外边缘的量。,边界层方程,pe(x),可由边界层外无粘区的压力分布来决定。无粘区的速度只有,x,方向的分量,Ue，,则无粘区,NS,方程简化为：,将该式带入上述边界层方程，这样,NS,方程在边界层内简化为,边界层方程,边界层方程,方程,边界条件：,固壁无滑移条件：,x0,，,y=0 : u=v=0,外流无粘条件：,x0,，,y, ,: u(x,y,t),Ue(x,t),上游条件：,x0）,作用下，层内流体质点受到,“,逆压,”,和,“,粘性,”,两方面的阻滞，使动能迅速损失，就会在某处耗尽所有动能而滞止下来又由于愈靠近物面，流速愈小，所以这种情形总是在物面附近首先发生,一旦这种情形发生，根据连续性要求，下游流体便在,“,逆压,”,梯度作用下发生倒流两股流体相汇的结果是回流流体把从上游来的流体,“,挤,”,出物面，使边界层内流体进入流体深处这种现象称为,边界层分离,边界层,分离,图示,压力梯度分布,边界层,分离,速度梯度分布及速度型,边界层分离,分离的条件,边界层定常分离点一定发生在逆压梯度区，因为在物面上速度为零，定常边界层方程简化为：,存在粘性和逆压力梯度是流体发生分离的必要条件,。,边界层分离,分离判拒,可将分离点定义为紧邻壁面的顺流和倒流流体的分界点，即,这就是普朗特的,二维定常边界层分离判据,。,目前，三维定常分离判据和非定常判据还在探索中。,边界层分离后会将势流区向外推移很大的距离，边界层假设不再成立，边界层方程不再适用。,边界层分离,图例,机翼绕流分离,翼面无分离,翼面分离,边界层分离,分离控制,边界层分离,边界层分离,边界层分离,边界层分离,边界层分离,边界层分离,边界层分离,边界层分离,边界层分离,边界层分离,边界层方程的近似解,分类,一般情况下，边界层方程无解析解。,目前，常用3种方法得到边界层方程的近似解,相似性解,动量积分方程方法,CFD（,计算流体力学）,边界层方程的近似解,基本定义,边界层的位移厚度,相比较无粘流，由于边界层的存在使自由流流线向外推移的距离（形象的说：对于无粘流动，由于边界层的存在，好像使物体增加了该厚度，而流量保持不变）：,动量损失厚度,同样，粘性引起动量的损失，也可以定义一动量损失厚度或简称动量厚度，它表示由于边界层的存在损失了该厚度的自由流流体的动量流率,：,边界层方程的近似解,理论解,由于边界层方程与,NS,方程相比作了一定的简化，既没有能使原方程线化也没有能使它降阶，所以在1904年发表后的几年内并没有有效的应用。,直到1908年平板边界层精确解的发现，得到了阻力与来流速度的3/2幂成正比的规律。,这是在流体力学发展史上，首次能够用理论方法准确地计算大雷诺数绕流问题的摩擦阻力，因此平板边界层解在边界层理论中具有特殊重要的意义。,边界层方程的近似解,边界层相似解法,理论依据,由无量刚边界层方程可知，方程中不含,Re,数，也就是说其解不依赖,Re,数，所以对于两个不同,Re,数，但具有相同无量刚边界条件的流动，在边界层内流场图像应满足一个相似变换关系。这个原则称为,Re,数相似原理,。,边界层方程的近似解,经典举例,-,Blasius,解,研究均匀定常来流沿无穷长平板的流动：由于边界层很薄，外部势流区中速度处处近似等于来流速度,U=Ue，,势流区的压力在,x,方向上的梯度为零,边界层方程为：,边界条件,边界层方程的近似解,以边界层厚度为特征量，引入无量纲坐标,假定无量纲流向速度由无量纲变量唯一确定，即,相应的流函数是,由此可以得到相应的法向速度,边界层方程的近似解,其中 。将以上速度表达式带入边界层方程后，整理得到,这是一个关于,f,的三阶非线性常微分方程，这就是著名的,Blasius,方程,，其边界条件为：,很多人提出过不同的,Blasius,方程解法，至今仍有人研究。现在一般使用泰勒级数展开解法,边界层方程的近似解,Blasius,方程的解图,边界层方程的近似解,应用,知道了边界层内的速度分布，就可以计算出所需要的其它量，如磨擦阻力、边界层厚度、涡量等边界层重要特性。,适用,目前只有少量流动可以用的边界层相似解法，大量的流动是非相似的。,边界层方程的近似解,动量积分方程方法,基本思想,利用边界条件先给出边界层内用未知单参数表示的近似速度剖面，再利用建立起来的积分关系确定该参数沿流向的变化，从而求出整个问题的解。,该方法的基础是卡门动量积分关系式,描述,动量积分法是将引人了薄剪切层近似的动量方程、能量方程以及连续方程分别沿剪切层厚度方向积分，把这些二维偏微分方程变为关于某些典型参数的常微分方程，再利用一些通过实验建立的经验关系式，最后解出这些典型参数沿流向的变化。,边界层方程的近似解,具体求解的步骤,首先，略去边界层厚度，用位流理论求出物面的速度分布 ，并认为这个速度分布就是边界层边界处的速度分布,（,1,）,并按伯努利方程求出边界层边界处的压强分布,。由 得知，这个就是物面上的压强分布。由此即可求得,（,2,）,边界层方程的近似解,其次，找补充关系式,因把（,1,）和（,2,）式代入动量积分关系式以后，一个方程中还有三个未知数,V,，,和,W,，故尚需找两个补充关系式。办法是根据具体的物理情况或根据实验假设边界层内的速度分布曲线（即速度型）,（,3,）,层流时，即可由牛顿摩擦定律得到第二个补充关系式,（,4,）,边界层方程的近似解,第三步，将（,3,）及（,4,）式代入如下形式的动量积分关系式,使该式成为的一个常微分方程，此方程一般是容易求解的。,边界层方程的近似解,由此可见，这种解法的关键在于速度型是否假设得正确。当然，绝对正确是做不到的，但完全可以做到相当精确。所以，卡门动量积分法是一种近似方法，但精确度可以相当高。,这一方法最早是由冯,卡门于1921年引人的，他得出了著名的动量积分方程。1958年，赫德（,Head）,对连续方程积分引入了裹入方程（,entrainment），,这些方程不仅可用于近似计算，也可用于定性分析。,目前，能量积分方程用得很少，不拟进一步讨论。,边界层的控制与减阻,必要性,根据边界层理论,流体流过物体表面时,只需要考虑物体表面极薄的一层剪切层的粘性，那么研究边界层形成机理，对减少阻力有着极大的意义。,现代飞行器、舰船对速度提出了更高要求，随着速度的增大，摩擦阻力急剧增加，对减阻提出了迫切的要求。,边界层的控制与减阻,减阻机理,如想达到粘性减阻，首先要实现壁的光滑减阻，就要改变层流边界层和湍流边界层中层流附面层的内部结构：,减小层流边界层和层流附面层贴近边界处的流速梯度值和流体对边界的剪力，减小通过粘性直接发散的能量值，达到减阻。,增大层流边界层和层流附面层的厚度，从而达到减阻。,边界层的控制与减阻,阻力,&,边界层分离,在边界层发生分离前后，阻力大小有很大不同。产生这种差异的原因如下,分离位置,边界层分离前，流体能量耗散在,层内流体剪切力做功,上；,分离后，更大一部分能量耗散在,分离漩涡和尾迹区,中；卡门涡系的发展情况将会过来影响流态，造成阻力的差异。,边界面的粗糙程度,决定微观的分离和边界的无数小旋涡几何尺寸的差异，从而决定流体能量消散的差异和阻力的差异。,边界层的控制与减阻,控制边界层的方法,使物体边界随流体运动而运动,吹气法,防止层流边界层分离,吸气法,使转捩点向下游推移,在边界上注入物理力学性质不同的气体或液体,冷却固体表面以稳定边界层,选择合适的外型型线产生理想的压力分布，使转捩点向下游推移,航空与水下运动等外流领域只广泛研究了方法,3,和,6,小结,边界层,应用,控制减阻,求解,边界层方程,现象,边界层分离,边界层理论专题讨论,范围,边界层及其控制是目前国内外流体力学、空气动力学的研究热点和前沿问题。,要求,希望同学们广泛阅读国内外有关的论文、书籍、报告等，写出论文，重点是自己的见解和感受。,推荐的方向：,边界层减阻,减阻方式及其效果，如仿生减阻,边界层分离及其控制,包括边界层吹吸、振荡或俯仰、加装旋转体、 声激励、旋涡发生器、多段翼等等,激波、边界层干扰,边界层计算,边界层理论专题讨论,建议暂时不要涉及的边界层方面的问题,层流边界层控制,边界层转捩,高难度题目,从,“,哥伦比亚,”,号航天飞机失事谈边界层气动加热,边界层理论专题讨论,建议研究方式,参阅新出版的流体力学、空气动力学、飞行器设计等方面的书籍、刊物，刊物方面如,中文,国际航空（普及性知识）,航空知识（普及性知识）,航空学报（专业性知识）,力学进展（专业性知识）,空气动力学学报（专业性知识）,力学学报（专业性知识）,边界层理论专题讨论,英文,AIAA Paper,AIAA Journal,Journal of Aircraft,Journal of Fluid Mechanics,