三角函数

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,讲,两角和与差及,二倍角的三角函数,1.,两角和与差的三角函数公式,tan() =,coscos sinsin,cos() =,sincoscossin,sin() =,sin2 =,2sincos,=,cos,2,-sin,2,=,2cos,2,-1,=,1-2sin,2,cos2,tan2=,2.,二倍角公式,二倍角余弦公式的变式,:,1,降幂公式：,2,升幂公式：,3.,半角公式,四辅助角公式,:,(,其中 角所在的象限由,a,b,的符号确定，,角的值由 确定,),【,分析,】,注意角之间的关系,切化弦,从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异,寻找解题思路,同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉,.,1,、三角函数的化简求值,求,2sin50+ sin10(1+ tan10),的值,.,知识点,【,解析,】,原式,=, 2sin50+sin10(1+ ) sin80,=(2sin50+sin10 ) sin80,=(2sin50+2sin10 ) cos10,=(2sin50+ ) cos10,= cos10 =,=2 = .,对于给角求值问题往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有,:,(1),化为特殊角的三角函数值,;,(2),化为正、负相消的项，消去求值；,(3),化分子、分母出现公约数进行约分求值,.,对应演练,求下列各式的值,:,（,1,）,;,（,2,）,(1),原式,（,2,）原 式,答案：,B,练习,二 、 三角函数的给值求值问题,【,分析,】,观察发现 ，进而可,利用差角的余弦求解,.,知识点,设,【,解析,】,因为,所以,所以,所以,对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论,.,应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要会拆角、拼角等技巧,.,对应演练,已知,tan=4 ,cos(+)= - , , ,均为锐角,求,cos,的值,.,tan= ,且,为锐角, ,即,sin= cos,又,sin,2,+cos,2,=1,sin= ,cos= .,0, ,0+,sin(+)= .,而,=(+)-,cos=cos,(+)-,=cos(+)cos+sin(+)sin,【,分析,】,欲求,+,先求,+,的一个三角函数值,再由,的范围确定出,+,的值,.,三 、 给值求角问题,若,sin= ,sin= ,且,为锐角,求,+,的值,.,【,解析,】,为锐角,且,sin= ,sin = ,cos= ,cos= .,cos(+)=coscos-sinsin= .,又,均为锐角,0+,+= .,(1),通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,可遵照下列原则,:,已知正切函数值,选正切函数,;,已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是,(0,，,),，选正、余弦皆可；若角的范围是（,0,，,），选余弦较好；若角的范围是,( ),，选正弦较好,.,(2),解这类问题的一般步骤为,:,求角的某一个三角函数值,;,确定角的范围,;,根据角的范围写出所求的角,.,对应演练,已知,0 , 0 ,且,3sin=sin(2+),4tan =1-tan,2,求,+,的值,.,由,4tan =1- tan,2,得,由,3sin,(+)-,=sin,(+)+,得,tan(+)=2tan,tan(+)=1.,又,0 , 0,0+,+=,练习,求证：,【,分析,】,先转换命题，只需证,:,sin(2+)-2cos(+)sin=sin,再利用角的关系,:2+=(+)+,(+)-,=,可证得结论,.,四、三角函数式的化简与证明,【,证明,】,sin(2+)-2cos(+)sin,=sin,(+)+,-2cos(+)sin,=sin(+)cos+cos(+)sin-,2cos(+)sin,=sin(+)cos-cos(+)sin,=sin,(+)-,=sin,sin(2+)-2cos(+)sin=sin,。,( * ),将,( * ),式两边同除以,sin,得,-2cos(+)=,证明三角恒等式常用以下方法,:,（,1,）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”；,（,2,）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子；,（,3,）把要证的等式进行等价变形,;,（,4,）作差法，证明其差为,0.,对应演练,化简,sin,2,sin,2,+cos,2,cos,2,- cos2cos2.,解法一,：（复角单角，从“角”入手）,原式,=sin,2,sin,2,+cos,2,cos,2,- (2cos,2,-1)(2cos,2,-1),=sin,2,sin,2,+cos,2,cos,2,- (4cos,2,cos,2,-2cos,2,-2cos,2,+1),=sin,2,sin,2,-cos,2,cos,2,+cos,2,+cos,2,-,=sin,2,sin,2,+cos,2,sin,2,+cos,2,-,=sin,2,+cos,2,- =1- =,解法二,:(,从“名”入手，异名化同名）,原式,=sin,2,sin,2,+(1-sin,2,)cos,2,- cos2cos2,=cos,2,-sin,2,(cos,2,-sin,2,)- cos2cos2,=cos,2,-sin,2,cos2- cos2cos2,=cos,2,-cos2,（,sin,2,+ cos2,）,= -cos2sin,2,+ (1-2sin,2,),= - cos,2,= .,解法三,:(,从“幂”入手，利用降幂公式先降次）,原式,=,解法四,:(,从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）,原式,=(sinsin-coscos),2,+,2sinsincoscos- cos2cos2,=cos,2,(+)+ sin2sin2- cos2cos2,=cos,2,(+)- cos(2+2),=cos,2,(+)- ,2cos,2,(+)-1,=,1.,巧用公式变形,:,和差角公式变形,:tanxtany=tan(xy)(1 tanxtany);,倍角公式变形,:,降幂公式,cos,2,= ,sin,2,= ;,配方变形,：,1sin=,（,sin cos,）,2,1+cos=2cos,2,1-cos=2sin,2,.,2.,利用辅助角公式求最值、单调区间、周期,.,y=asin+bcos= sin(+),其中,tan=,有： ,|y|.,3.,重视三角函数的“,三变,”，即 “,变角,、,变名,、,变式,”：,变角,：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；,变名,：尽可能减少函数名称；,变式,：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等,.,在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形,.,4.,已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧,:,把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化,.,5.,熟悉三角公式的整体结构,灵活变换,.,本学案要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形,.,习题一：公式的直接应用,习题二：公式的变形应用,习题三,:,角的变化及转换,三角函数的综合应用,已知,、,为锐角，向量,a,= (cos,sin,),b,=(cos,sin,),c,(1),若,a,b,= ,a,c,= ,求角,2,-,的值,;,(2),若,a,=,b,+,c,，求,tan,的值,.,解,（,1,）,a,b,=,（,cos,，,sin,）,（,cos,，,sin,）,=cos,cos,+sin,sin,（,1,）已知三角函数值求角，一定要,注意角的范围,.,（,2,）求有关角的三角函数问题，有时构造等式，,用方程的思想解决更简单、实用,.,已知向量,a,= (sin,-2),与,b,=(1,cos,),互相垂直,其中,(1),求,sin,和,cos,的值,;,解,